최대전력 전달 정리

📖 5분 정리무료 공개이론 근거 정리

1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 7번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2011년 1차 · 2012년 3차 · 2013년 2차 · 2015년 2차 · 2016년 1차 · 2021년 3차

2 쉬운 설명

최대전력 전달 정리는 부하가 전원으로부터 가장 큰 전력을 받으려면 부하를 어떻게 맞춰야 하는지에 관한 정리이다. 저항만 있는 회로에서는 부하저항을 전원 쪽 저항과 같게 맞추고, 교류에서 리액턴스까지 맞출 수 있으면 부하 임피던스를 전원 쪽 임피던스의 켤레복소수로 맞춘다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

이 장에서는 기전력(전원 전압)을 $E$ , 전원 쪽 저항(내부저항)을 $r$ , 부하저항을 $R_{L}$ 로 쓴다. 문항에 따라 전압을 $V$ , 전원 쪽 저항을 $R$ 이나 $R_1$ 로도 쓰는데 같은 양이다. 변압기 문항의 $R_2$ 는 2차 쪽 부하저항이며 아래 마지막 문단에서 따로 다룬다. 부하저항이 아주 작으면 전류는 크지만 부하에서 쓰는 전력이 작고, 아주 크면 전류가 작아져 전력이 작아진다. 그 사이에 전력이 가장 큰 점이 있으며 그 조건이 $R_{L}=r$ 이다. 이때 전류는 $I=\frac{E}{2r}$ 이고 부하의 최대전력은 $P_{m}=\frac{E^{2}}{4r}$ 이다.

계산 순서는 이렇다. 직렬회로이므로 전체 저항으로 나눈 전류 $I=\frac{E}{r+R_{L}}$ 를 구하고, 부하 전력을 $P=I^{2}R_{L}=\frac{E^{2}R_{L}}{(r+R_{L})^{2}}$ 로 쓴다. 이 전력이 최대가 되는 $R_{L}$ 을 찾으면 $R_{L}=r$ 이다. 이 값을 전력식에 넣으면 $P_{m}=\frac{E^{2}r}{(r+r)^{2}}=\frac{E^{2}r}{4r^{2}}=\frac{E^{2}}{4r}$ 이다. 「 $r$ 과 같게 맞추면 $4r$ 로 나눈다」로 기억해 두면 된다.

전원 쪽에 리액턴스 $X$ 가 있고 부하가 순저항뿐이면 조건이 $R_{L}=r$ 과 달라진다. 전원 내부 임피던스( $Z_{s}$ 로 쓴다)가 저항 $R$ 과 리액턴스 $X$ 로 이루어지면 전류를 막는 크기가 $\sqrt{(R+R_{L})^{2}+X^{2}}$ 이어서 부하 전력은 $P=\frac{E^{2}R_{L}}{(R+R_{L})^{2}+X^{2}}$ 이다. 분모를 $R_{L}$ 로 나누면 $R_{L}$ 과 $\frac{R^{2}+X^{2}}{R_{L}}$ 의 곱이 일정해서, 두 값이 같을 때 합이 가장 작고 전력이 가장 크다. 따라서 순저항 부하의 조건은 $R_{L}=|Z_{s}|=\sqrt{R^{2}+X^{2}}$ , 곧 전원 임피던스의 크기와 같은 값이다.

부하 임피던스까지 고를 수 있는 교류 회로에서는 저항 성분은 같게 하고, 리액턴스는 크기가 같고 부호가 반대가 되어 서로 상쇄되게 맞춘다. 전원 쪽 임피던스가 $Z_{s}=R+jX$ 이면 부하는 $R-jX$ 이며, 이것이 켤레복소수 조건 $Z_{L}=\overline{Z_{s}}$ 이다(부하 임피던스를 $Z_{L}$ 로 쓴다). 켤레복소수는 허수부의 부호만 바꾼 값이다. 발전기 $0.3+j2\,\Omega$ 와 선로 $1.7+j3\,\Omega$ 가 직렬이면 임피던스를 더한 $2+j5\,\Omega$ 의 켤레복소수 $2-j5\,\Omega$ 이 부하이다.

이상 변압기로 정합을 취하는 문항도 같은 정리를 쓴다. 정합은 전원이 부하에 줄 수 있는 전력을 가장 크게 만드는 연결이다. 이상 변압기는 손실이 없는 이상적인 변압기이고, 변압비가 $n:1$ 이면 2차 쪽 부하저항 $R_2$ 는 1차 쪽에서 보면 $n^{2}R_2$ 와 같다. 그래서 전원 쪽 저항 $R_1$ 과 맞추는 정합 조건은 $R_1=n^{2}R_2$ 이다. 전원 쪽 저항 1 kΩ, 부하저항 10 Ω 이면 단위를 Ω 로 맞춰 $n^{2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{1000}{10}=100$ 이고 $n=\sqrt{100}=10$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 부하를 내부저항과 맞추면(

R_{L}=r

) 최대전력은

\displaystyle \frac{E^{2}}{4r}

암기팁 최대전력 전달 = 부하 임피던스가 전원 쪽 임피던스의 켤레복소수와 같을 때. 순저항 부하는

R_{L}=|Z_{s}|=\sqrt{R^{2}+X^{2}}

함정 주의 「순저항 부하」와 「리액턴스를 상쇄할 수 있는 부하」를 섞지 않는다.

R_{L}=R

은

X

가 0 이거나 부하에서

X

를 따로 상쇄할 수 있을 때의 조건이다.

순저항 전원(기전력 $E$ , 내부저항 $r$ )에서 $R_{L}=r$ 이면 최대전력은 $\frac{E^{2}}{4r}$ 이다. 조건은 맞는데 값이 $\frac{E^{2}}{3r}$ 이면 최대전력 값이 다르다. $R_{L}=2r$ 은 조건( $R_{L}=r$ )과 다르다. $R_{L}=r$ 일 때보다 부하저항이 커서 전력이 최대점보다 작아진다. 조건( $R_{L}=2r$ )과 값( $\frac{E^{2}}{3r}$ )이 모두 틀린 보기도 있다.
전압 $V$ , 저항 $R$ 로 쓴 문항에서도 $R_L=R$ 일 때 부하 전력이 최대이고, 이 값을 넣으면 $\frac{V^{2}R}{(2R)^{2}}=\frac{V^{2}}{4R}$ 이다. 분모가 다른 $\frac{V^{2}}{2R}$ 는 오답이다. 저항 $R$ 이나 $2R$ 은 저항의 단위 $\Omega$ 로 나타내는 양이어서 전력이 될 수 없다.
전원 임피던스가 $R+jX$ 이고 부하가 순저항뿐이면 $R_{L}=\sqrt{R^{2}+X^{2}}$ 이다. $\sqrt{R^{2}-X^{2}}$ 는 $X$ 가 $R$ 보다 크면 실수가 되지 않는다. 조건식의 부호가 다르다. $R_{L}=R$ 은 $X$ 가 0 이거나 부하에서 $X$ 를 따로 상쇄할 수 있을 때의 조건이다. 순저항 부하로는 $X$ 를 상쇄하지 못한다. $R+X$ 는 단순한 합인데, 저항과 리액턴스는 직각 방향의 양이어서 $\sqrt{R^{2}+X^{2}}$ 로 합쳐야 한다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

부하가 순저항뿐인 경우( $R_{L}=|Z_{s}|$ )와, 부하 임피던스에서 리액턴스까지 맞출 수 있는 경우( $Z_{L}=\overline{Z_{s}}$ )를 구분한다. 뒤의 경우에는 저항 성분이 같고 리액턴스가 서로 상쇄된다.
켤레복소수는 허수부의 부호만 바꾼 값이다. 전원 쪽 합성 임피던스가 $2+j5\,\Omega$ 이면 부하는 $2-j5\,\Omega$ 이다. 발전기와 선로가 직렬이면 먼저 임피던스를 더한 뒤 켤레를 취한다. 선로가 $1.1+j3$ 이고 발전기가 $0.3+j2$ 이면 합이 $1.4+j5$ 이므로 부하는 $1.4-j5$ 이다.
이상 변압기 정합은 $R_1=n^{2}R_2$ 이다. kΩ 은 먼저 Ω 로 단위를 맞춘다( $R_1=1\,\mathrm{k\Omega}=1000\,\Omega$ ). $n^{2}$ 을 구한 뒤에는 제곱근을 취해 $n$ 을 얻는다.