대칭좌표법(영상·정상·역상분)

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 17번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 1차 · 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2014년 2차 · 2015년 1차 · 2015년 3차 · 2018년 1차 · 2019년 1차 · 2019년 3차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

대칭좌표법은 크기나 위상이 제각각인 불평형 3상 전압·전류를 영상분·정상분·역상분이라는 세 개의 평형 성분으로 나누어 다루는 방법이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

영상분은 세 상에 크기와 위상이 같게 걸리는 성분이고, 정상분은 원래 상순서(a→b→c)로 도는 성분, 역상분은 그와 반대 순서로 도는 성분이다. 대칭분은 이 세 가지뿐이다. 계산에는 연산자 $a$ 를 쓴다(상 이름은 「a상」처럼 쓰고 연산자는 $a$ 로 쓴다). $a=1\angle 120^{\circ}=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}$ ( $j$ 는 허수 단위)로 크기가 1 이고 곱하면 위상이 120° 앞서며, $a^{2}$ 은 240° 앞선다. $a^{3}=1$ 이고 $1+a+a^{2}=0$ 이다.

세 성분은 전압에서 $V_{0}=\frac{1}{3}(V_{a}+V_{b}+V_{c})$ , $V_{1}=\frac{1}{3}(V_{a}+aV_{b}+a^{2}V_{c})$ , $V_{2}=\frac{1}{3}(V_{a}+a^{2}V_{b}+aV_{c})$ 로 구한다(아래 첨자 0·1·2 가 영상·정상·역상). 전류도 같은 모양이어서 영상분은 $I_{0}=\frac{I_{a}+I_{b}+I_{c}}{3}$ , 정상분은 $I_{1}=\frac{1}{3}\left(I_{a}+aI_{b}+a^{2}I_{c}\right)$ , 역상분은 $I_{2}=\frac{1}{3}\left(I_{a}+a^{2}I_{b}+aI_{c}\right)$ 이다.

영상분은 세 상을 모두 더해 3으로 나눈 평균이다. 앞에서 본 것처럼 $j$ 가 붙은 부분이 허수부, 붙지 않은 부분이 실수부이다. 복소수로 주어진 전류는 실수부끼리, 허수부끼리 따로 더한 뒤 3으로 나눈다. 세 상 전류가 $25+j4$ , $-18-j16$ , $7+j15$ A 이면 실수부의 합이 $25+(-18)+7=14$ , 허수부의 합이 $4+(-16)+15=3$ 이므로 $I_{0}=\frac{14+j3}{3}=4.67+j1$ 이다.

순시치로 주어진 세 상 전류의 영상분도 같은 방식이다(소문자 $i$ 는 순시치). $i_{0}=\frac{1}{3}(i_{a}+i_{b}+i_{c})$ 에서 $i_{a}=90\sin\omega t$ 이고 $i_{b}=90\sin(\omega t-90^{\circ})=-90\cos\omega t$ , $i_{c}=90\sin(\omega t+90^{\circ})=90\cos\omega t$ 이면 b상과 c상의 코사인 항이 서로 상쇄되어 a상만 남는다. 영상분은 그 3분의 1인 $\frac{1}{3}\times90\sin\omega t=30\sin\omega t$ 이다.

전압 불평형률은 정상분에 대한 역상분의 비율을 백분율로 나타낸 값이다. 역상전압 50 V, 정상전압 250 V, 영상전압 20 V 이면 $\frac{50}{250}\times100=20\,\%$ 이다. 영상전압 20 V 는 이 계산에 쓰지 않는다. 보기의 10 %, 15 % 는 20 % 보다 작고 25 % 는 20 % 보다 큰 값이어서 맞지 않는다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 영상

V_{0}

: 그대로 더함 / 정상

V_{1}

a,a^{2}

/ 역상

V_{2}

a^{2},a

암기팁 전압 불평형률(%) = 역상분 ÷ 정상분 × 100 — 영상분은 쓰지 않는다.

함정 주의 영상분

\displaystyle I_{0}=\frac{I_{a}+I_{b}+I_{c}}{3}

은 세 전류를 더한 뒤 3으로 나누는 것이다. 3으로 나누기 전 값을 고르지 않도록 한다.

식의 자리를 구분한다. 영상분은 그냥 더하고, 정상분은 b상에 $a$ ·c상에 $a^{2}$ , 역상분은 b상에 $a^{2}$ ·c상에 $a$ 를 곱하며 셋 모두 $\frac{1}{3}$ 이 붙는다. 정상분과 역상분은 $a$ 와 $a^{2}$ 의 자리가 서로 바뀐 꼴이다.
대칭분은 영상분 $E_{0}$ , 정상분 $E_{1}$ , 역상분 $E_{2}$ 세 가지뿐이다( $E$ 는 상전압을 $E_{a}$ , $E_{b}$ , $E_{c}$ 로 쓴 문항의 기호로, $V$ 와 같은 양이다). 「틀린 것」을 고르는 문항에서 $E_{3}=\frac{1}{3}(E_{a}^{2}+E_{b}^{2}+E_{c}^{2})$ 처럼 상전압을 제곱해 더하는 식은 세 대칭분 어디에도 해당하지 않으므로 틀린 보기이다.
영상분을 복소수로 구할 때는 실수부와 허수부를 따로 계산한다. 앞의 예에서 실수부는 $\frac{25-18+7}{3}=\frac{14}{3}\approx4.67$ , 허수부는 $\frac{4-16+15}{3}$ 로 1 이다. 보기 $2.67+j$ 는 실수부가, $4.67+j2$ 는 허수부가 다르고, $2.67+j2$ 는 둘 다 다르다.

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세 상 전류의 합이 0 이면 영상분이 없다. 평형 3상이면 세 전류의 합이 0 이어서 영상분도 0 이다. △결선 부하에는 중성선이 없어 세 선의 전류 합이 0 이므로(키르히호프 전류법칙) 영상분 전류는 0 이다. 한편 $V_b=a^{2}V_a$ , $V_c=aV_a$ 인 대칭 3상 전압은 정상분이 $V_1=V_a$ 이고 영상분과 역상분은 0 이다.
순시치 문제는 서로 상쇄되는 항부터 찾는다. 크기가 같고 위상이 $+90^{\circ}$ , $-90^{\circ}$ 로 반대인 두 상은 더하면 0 이다. 영상분은 합을 3으로 나눈 것이므로 보기 $90\sin\omega t$ 는 3으로 나누기 전 값, $30\cos\omega t$ 는 사인과 코사인을 바꿔 쓴 값, $90\cos\omega t$ 는 함수 종류와 나누기를 모두 다르게 처리한 값이다.
정상분·역상분을 숫자로 구할 때는 $a$ , $a^{2}$ 를 곱한 항을 직각좌표로 바꿔 실수부·허수부를 따로 더한 뒤 3으로 나눈다. 한 문항에서는 $a^{2}I_{b}=-2.12+j24.32$ , $aI_{c}=-7.16-j7.60$ 으로 $I_{2}=1.91+j6.24\,\mathrm{A}$ 였고, 정상분의 크기를 물은 문항에서는 $I_{1}$ 가 약 $6.4+j0.09$ 여서 약 6.4 A 였다. 크기와 각도로 주어진 전류는 $a^{2}$ 를 곱할 때 각도에 240°, $a$ 를 곱할 때 120° 를 더하며, 한 문항의 역상분은 $2.51\angle96.55^{\circ}$ 였다.