비정현파와 고조파(왜형률)

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 24번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2011년 1차 · 2012년 2차 · 2012년 3차 · 2013년 3차 · 2014년 2차 · 2014년 3차 · 2015년 1차 · 2015년 2차 · 2015년 3차 · 2016년 2차 · 2017년 2차 · 2018년 1차 · 2019년 1차 · 2019년 2차 · 2019년 3차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

비정현파(왜형파)는 사인파가 아닌 일그러진 주기 파형으로, 직류분과 기본파, 기본파 주파수의 정수 배인 고조파의 합으로 나타낸다.

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이렇게 나누어 쓰는 것이 푸리에 급수이다. 직류분 $a_{0}$ 에 코사인 항의 합(크기 $a_{n}$ )과 사인 항의 합(크기 $b_{n}$ )을 더한 꼴이며, $n$ 은 기본파의 몇 배인 고조파인지를 나타내는 번호이다. 기본파는 크기가 아니라 주파수로 가린다. 전류가 크기 56, 25, 30, 40 인 사인 항들로 이루어졌다면 $\sin\omega t$ 항의 56 이 기본파이고 $\sin2\omega t$ · $\sin3\omega t$ · $\sin4\omega t$ 항의 25·30·40 이 고조파(제2·제3·제4고조파)이다(문항에 따라 $\omega$ 를 $w$ 로 적기도 하나 같은 각주파수이다).

비정현파의 실효값은 직류분과 각 성분 실효값의 제곱을 모두 더한 값의 제곱근이다( $V=\sqrt{V_{0}^{2}+V_{1}^{2}+V_{3}^{2}+\cdots}$ , 아래 첨자는 성분의 차수로 0 은 직류분, 1 은 기본파). 사인파 성분의 실효값은 최댓값을 $\sqrt{2}$ 로 나눈 값이고 직류분은 그 값 자체가 실효값이며, 위상은 실효값에 영향을 주지 않는다. 직류분 3 V, 기본파 실효값 5 V, 제3고조파 실효값 10 V 이면 $\sqrt{3^{2}+5^{2}+10^{2}}=\sqrt{134}\approx11.6\,\mathrm{V}$ 이다.

왜형률은 기본파에 비해 고조파가 얼마나 섞였는지, 곧 파형이 사인파에서 얼마나 일그러졌는지를 나타낸다. 기본파의 실효값이 $I_{1}$ , 고조파의 실효값이 $I_{2}$ , $I_{3}$ , … 이면 $\frac{\sqrt{I_{2}^{2}+I_{3}^{2}+\cdots}}{I_{1}}$ 이다(전압도 같은 비). 고조파를 제곱해 더한 뒤 제곱근을 취해 하나로 합친 크기를 기본파로 나눈다. 기본파 56 에 제2·제3·제4고조파 25, 30, 40 이 섞였다면 $25^{2}+30^{2}+40^{2}=625+900+1600=3125$ , $\sqrt{3125}\approx55.90$ 이고 기본파 56 으로 나누면 약 0.998, 곧 1.0 이다.

RL 직렬회로에 비정현파 전압을 가하면 각 고조파를 따로 계산한다. 저항 $R$ 은 그대로이고 코일의 리액턴스는 주파수에 비례해 $n$ 고조파에서 $n\omega L$ 이 되며 임피던스는 $Z_{n}=\sqrt{R^{2}+(n\omega L)^{2}}$ 이다. 그 차수 전류의 실효값은 그 차수 전압의 실효값을 $Z_{n}$ 으로 나눈 값이다.

평균전력(유효전력)은 같은 차수의 전압 성분과 전류 성분끼리만 만들어진다. 서로 다른 주파수의 전압과 전류는 곱해서 평균을 내면 0 이기 때문이다. 같은 차수 성분의 전력은 $P_n=\frac{V_{mn}I_{mn}}{2}\cos\theta_n$ 이고( $V_{mn}$ , $I_{mn}$ 은 $n$ 차 전압·전류의 최댓값, $\theta_n$ 은 그 차수에서 전압과 전류의 위상차), 차수별 전력을 모두 더한 것이 전체 평균전력이다. 이 합을 $P=\sum_{n}\frac{V_{n}I_{n}}{2}\cos\theta_{n}$ 꼴로 적은 식에서는 $V_{n}$ , $I_{n}$ 이 최댓값이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

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4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

\text{왜형률}=\sqrt{\text{고조파들의 제곱의 합}}\div\text{기본파 크기}

. 고조파가 없으면 0 이고 많이 섞일수록 커진다.

암기팁

n

고조파: 리액턴스는

n\omega L

, 실효값은 최댓값 ÷

\sqrt{2}

. 비정현파의 실효값은 성분별 실효값 제곱의 합의 제곱근이고 위상은 관계없다. 그림으로 주어진 파형은

\sqrt{\text{(순시값)}^{2}\text{의 한 주기 평균}}

으로 구하며 구간별로 제곱 평균을 나누어 더한다.

함정 주의 왜형률을 구할 때 나누는 값은 기본파 크기이다. 제4고조파 크기(위 예의 40)로 나눈 1.4 는 맞지 않는다.

왜형률의 분모는 기본파이다. 위 예에서 보기 1.4 는 $\sqrt{3125}\approx55.9$ 를 기본파 56 대신 제4고조파 40 으로 나눈 값( $\frac{55.9}{40}\approx1.4$ )이고, 0.5 와 0.1 은 계산값 약 1.0 과 맞지 않는다. 고조파를 합친 크기(약 55.9)가 기본파(56)와 거의 같아 왜형률이 1 에 가깝다. 기본파 100 V, 제3고조파 40 V, 제5고조파 30 V 인 다른 문항에서는 $\sqrt{40^{2}+30^{2}}=50\,\mathrm{V}$ 를 100 V 로 나눈 0.5, 곧 50 % 이다. 최댓값끼리의 비는 실효값끼리의 비와 같아 최댓값을 그대로 써도 되고, 위상각은 크기 계산에 쓰지 않는다.
실효값은 성분별로 따로 구해 제곱해 더한 뒤 제곱근을 취한다: $I=\sqrt{I_{1}^{2}+I_{3}^{2}+\cdots}$ . 기본파 $30\sin\omega t$ 와 제3고조파 $40\sin(3\omega t+45^{\circ})$ 의 합이면 실효값의 제곱이 각각 450, 800 이어서 $450+800=1250$ 의 제곱근 $25\sqrt{2}\,\mathrm{A}$ (약 35.4 A)이다. 위상 $45^{\circ}$ 는 영향이 없다. 보기 25 A 는 이보다 작고 50 A 는 크며, $50\sqrt{2}\,\mathrm{A}$ 는 약 70.7 A 로 정답의 2배이다.
식에 적힌 숫자가 최댓값인지 먼저 본다. $R=4\,\Omega$ , $\omega L=1\,\Omega$ 에서 제5고조파 전압이 $40\sin5\omega t$ 이면 최댓값 40 V 의 실효값은 $40\div\sqrt{2}\approx28.28\,\mathrm{V}$ , 리액턴스는 $5\omega L=5\times1=5\,\Omega$ , 임피던스는 $\sqrt{41}\approx6.40\,\Omega$ 이므로 전류는 약 $4.42\,\mathrm{A}$ 이다. 식에 $\sqrt{2}$ 가 곱해져 있으면 그 앞의 숫자가 실효값이다. 묻는 차수의 성분만 계산한다. 이 RL 예에서 보기 5.66 A, 6.25 A, 8.0 A 는 계산 결과 4.42 A 보다 크다.

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전력은 같은 차수끼리만 구해 더한다. 위상을 비교하려면 모두 사인으로 맞춘 뒤 위상차를 구한다(한 문항에서 제5고조파 전류가 코사인으로 적혀 있었다). 다른 문항에서는 제5고조파의 위상차가 $90^{\circ}$ 여서 $\cos90^{\circ}=0$ 으로 기여가 없고, 기본파 $1000\,\mathrm{W}$ , 제3고조파 $-125\,\mathrm{W}$ , 제5고조파 $0\,\mathrm{W}$ 를 더한 $P=1000-125+0=875\,\mathrm{W}$ 였다.
반파 대칭 $f(t)=-f\left(t+\frac{T}{2}\right)$ 인 파형에는 직류분과 짝수 고조파가 없고 홀수 고조파만 있다. 고조파를 고르는 문항에서는 보기 중 제2·제4·제6고조파는 짝수라 없고 홀수인 제5고조파만 들어 있다. 기함수( $f(-t)=-f(t)$ , 원점 대칭)는 사인 항만 남는다. 한 문항의 사각파(0 부터 $T/2$ 까지 $+a$ , $T/2$ 부터 $T$ 까지 $-a$ )는 기함수이고 반주기마다 부호만 바뀌어 기수파(홀수 차, 짝수 차는 우수파)의 사인 항만 포함한다. 일반식을 고르는 문항에서는 직류분 $a_{0}$ 이 있는지, 코사인 합과 사인 합이 하나씩 있는지를 본다(그 문항의 보기 ①② 는 $a_{0}$ 이 없고 ③ 은 사인 항이 없었다).
소비전력은 저항에서만 생긴다. $R=4\,\Omega$ , $\omega L=3\,\Omega$ 에 기본파 100 V, 제3고조파 50 V(실효값)를 가한 한 문항에서는 기본파 전류 20 A, 제3고조파 임피던스 $\sqrt{97}\approx9.85\,\Omega$ , 전류 약 5.08 A 로 $P\approx1600+103=1703\,\mathrm{W}$ 였다. 역률은 유효전력을 피상전력(전압 실효값 × 전류 실효값)으로 나눈 값이다. 다른 문항에서 유효전력 776.4 W, 피상전력 약 1,301 VA 이면 역률은 59.7 % 이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 1차 회로이론 및 제어공학 74번 — 고조파 전류의 왜형률비정현파 전류 i(t)=56sinωt+25sin2ωt+30sin(3ωt+30°)+40sin(4ωt+60°) 로 주어질 때 왜형률은 약 얼마인가?계산해설 보기 →2019년 2차 회로이론 및 제어공학 76번 — 기본파+제3고조파 실효값전류 I=30sinωt+40sin(3ωt+45°) (A)의 실효값(A)은?계산해설 보기 →2020년 3차 회로이론 및 제어공학 71번 — RL 회로 제5고조파 전류RL 직렬회로에 순시치 전압 v(t)=20+100sinωt+40sin(3ω+60°)+40sin5ωt(V)를 가할 때 제5고조파 전류의 실효값 크기는 약 몇 A인가? (단, R=4Ω, ωL=1Ω이다.)계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 17개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

비정현파의 실효값

비정현파의 실효값은 직류분과 각 고조파 실효값의 제곱을 모두 더한 값의 제곱근이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 5문항이 인용

비정현파의 평균전력

비정현파의 평균전력은 같은 차수 성분의 전력을 합한

P=\sum_{n}\frac{V_{n}I_{n}}{2}\cos\theta_{n}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 3문항이 인용

비정현파의 고조파 해석

비정현파 전압은 기본파와 고조파로 나누어 성분별로 전류를 구하며,

n

고조파의 리액턴스는

n\omega L

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 2문항이 인용

비정현파의 왜형률

비정현파는 기본파와 여러 고조파의 합으로 나타낼 수 있고, 왜형률은 고조파 성분 실효값의 제곱합의 제곱근을 기본파 실효값으로 나눈 값으로 정의된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 2문항이 인용

RL 회로의 고조파별 임피던스

제n고조파에서 코일의 리액턴스는 nωL로 커지며, 각 고조파 전류는 그 주파수에서의 임피던스로 전압을 나누어 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

반파 대칭 파형의 고조파

반파 대칭 파형은 직류분과 짝수 고조파가 없고 홀수 고조파만 포함한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

비정현파 교류의 전력

서로 다른 주파수 성분의 곱은 평균 전력이 0 이어서 유효전력은 같은 차수 성분의 전력의 합이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

비정현파 교류회로의 고조파별 계산

비정현파는 고조파마다 따로 계산하며 n고조파의 유도성 리액턴스는

n\omega L

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

비정현파와 왜형률

왜형률은 기본파 실효값에 대한 전체 고조파 실효값(각 고조파 크기의 제곱합의 제곱근)의 비로 정의된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

비정현파의 고조파별 계산

각 고조파는 따로 계산하며, 제

n

고조파의 유도 리액턴스는

n\omega L

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

비정현파의 고조파별 해석

비정현파 전압은 기본파와 고조파의 합이며 각 고조파는 그 주파수의 임피던스

Z_{n}=\sqrt{R^{2}+(n\omega L)^{2}}

로 따로 계산한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

비정현파의 전력

비정현파의 평균 전력은 같은 주파수의 전압·전류 성분끼리 구한 전력의 합이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

비정현파의 중첩과 고조파별 임피던스

비정현파는 고조파별로 따로 풀어 합칠 수 있으며, n고조파에서 리액턴스는 nωL로 커진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

실효값의 정의

V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^{2}\,dt}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

왜형률

비정현파에서 왜형률은

\frac{\sqrt{I_{2}^{2}+I_{3}^{2}+\cdots}}{I_{1}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

푸리에 급수 — 푸리에

주기 파형은

a_{0}+\sum a_{n}\cos nwt+\sum b_{n}\sin nwt

로 나타낸다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

푸리에 급수와 파형의 대칭

기함수는 사인항만, 반주기마다 부호만 바뀌는 파형은 홀수 차 고조파만 포함한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

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