회로의 전달함수(RC·RLC)

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 11번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2013년 1차 · 2013년 2차 · 2014년 2차 · 2015년 2차 · 2015년 3차 · 2017년 3차 · 2018년 3차 · 2020년 2차

2 쉬운 설명

회로의 전달함수는 출력의 라플라스 변환을 입력의 라플라스 변환으로 나눈 값이다. 회로 소자를 라플라스 영역의 임피던스로 바꾸어 구한다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

라플라스 영역에서는 저항을 $R$ , 코일을 $Ls$ , 콘덴서를 $\frac{1}{Cs}$ 라는 임피던스로 다루면 옴의 법칙을 그대로 쓸 수 있다. 직렬이면 더해서 $Z=R+Ls+\frac{1}{Cs}$ 이다. 코일의 전압은 $v=L\frac{di}{dt}$ 이고 미분은 $s$ 를 곱하는 것이므로 $LsI(s)$ 이다. 문항에 따라 코일은 $sL$ , 콘덴서는 $\frac{1}{sC}$ 로 쓰기도 하며 같은 값이다. 입력 전압은 $V(s)$ 또는 $E_{i}(s)$ , 출력 전압은 $E_{0}(s)$ 등으로 문항마다 다르게 쓰지만 역할은 같다.

입력이 전압이고 출력이 전류이면 전달함수는 임피던스의 역수이다. 저항 $R$ 과 콘덴서 $C$ 의 직렬회로에서 입력을 전압 $V(s)$ , 출력을 전류 $I(s)$ 로 하면 초기 전하가 0 일 때 $\frac{I(s)}{V(s)}=\frac{1}{R+\frac{1}{Cs}}=\frac{Cs}{RCs+1}$ 이고, 분자와 분모를 $C$ 로 나누면 $\frac{s}{R\left(s+\frac{1}{RC}\right)}$ 이다. $\frac{1}{RCs+1}$ 은 콘덴서 양단 전압의 비, $\frac{RCs}{RCs+1}$ 은 저항 양단 전압의 비이고, $\frac{s}{RCs+1}$ 은 분자의 $C$ 가 빠진 식이다.

저항 $R$ , 코일 $L$ , 콘덴서 $C$ 가 직렬인 회로에서 입력 $E_{i}(s)$ 에 대한 출력 전류 $I(s)$ 의 전달함수는 $\frac{I(s)}{E_{i}(s)}=\frac{1}{R+Ls+\frac{1}{Cs}}$ 이다. 분자와 분모에 $Cs$ 를 곱한 뒤 분모를 $s$ 의 차수 순서로 쓰면 $\frac{Cs}{LCs^{2}+RCs+1}$ 이다. $s^{2}$ 항의 계수는 $LC$ , $s$ 항의 계수는 $RC$ 이므로 분모가 $RCs^{2}+LCs+1$ 인 보기는 틀리다. 분모는 같아도 분자가 1 인 식은 전류가 아니라 콘덴서 양단 전압의 전달함수에 해당한다.

출력이 소자 하나의 양단 전압이면 전압 분배를 쓴다. 직렬회로에서 전압은 임피던스 비로 나뉘므로, 전달함수는 전체 임피던스 중 출력 소자가 차지하는 몫이다. 직렬 $R$ , $L$ , $C$ 에서 출력이 콘덴서 양단이면 $\frac{1}{LCs^{2}+RCs+1}$ 이고, 출력이 $R$ 양단이면 $\frac{RCs}{LCs^{2}+RCs+1}$ 이다. 두 경우 모두 전체 임피던스는 $R+Ls+\frac{1}{Cs}$ 이고, 분자와 분모에 $Cs$ 를 곱해 분수를 정리한다.

콘덴서가 입력과 직렬이고 출력을 저항 $R$ 양단에서 꺼내는 RC 회로의 전달함수는 $\frac{R}{R+\frac{1}{Cs}}$ 이며 정리하면 $\frac{RCs}{1+RCs}$ 이다. 문항에 따라 같은 식을 $CRs$ 또는 $sRC$ 의 순서로도 쓰며 값은 같다. 제어 요소는 전달함수의 모양으로 가린다. 적분요소는 $\frac{1}{Ts}$ , 미분요소는 $Ts$ , 1차 지연요소는 $\frac{1}{1+Ts}$ 꼴이고 이 회로에서 $T=RC$ 이다. 분자의 $s$ 는 미분, 분모의 $1+Ts$ 는 1차 지연이어서 1차 지연 미분요소이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 저항은

R

· 코일은

Ls

· 콘덴서는

\displaystyle \frac{1}{Cs}

— 직렬이면 전압을 더한다.

암기팁 직렬 RLC:

\displaystyle Z=R+Ls+\frac{1}{Cs}

, 전류 전달함수 =

\displaystyle \frac{1}{Z}=\frac{Cs}{LCs^{2}+RCs+1}

함정 주의 같은 RC 직렬회로라도 출력이 전류인지, 저항 양단 전압인지, 콘덴서 양단 전압인지에 따라 전달함수가 다르다. 전류의 전달함수

\displaystyle \frac{Cs}{RCs+1}

에서 분자의

C

가 빠진

\displaystyle \frac{s}{RCs+1}

이 보기에 있었다.

전달함수는 출력을 입력으로 나눈 값이다. 입력이 전압이고 출력이 전류이면 직렬 임피던스의 역수이고, 출력이 소자 양단 전압이면 전체 임피던스 중 그 소자의 몫(전압 분배)이다.
직렬 RLC 에서 입력 전압에 대한 전류의 전달함수는 $\frac{Cs}{LCs^{2}+RCs+1}$ 이다. 분모는 $s^{2}$ 항에 $LC$ , $s$ 항에 $RC$ 이다. 분모가 같고 분자가 1 인 식은 전류가 아니라 콘덴서 양단 전압의 전달함수에 해당한다.
직렬 RLC 에서 출력이 콘덴서 양단이면 $\frac{1}{LCs^{2}+RCs+1}$ , 출력이 $R$ 양단이면 $\frac{RCs}{LCs^{2}+RCs+1}$ 이다. 출력이 어느 소자 양단인지 먼저 확인한다.

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RC 직렬에서 입력이 전압이고 출력이 전류이면 $\frac{I(s)}{V(s)}=\frac{Cs}{RCs+1}$ 이다. $\frac{1}{RCs+1}$ 은 콘덴서 양단 전압의 비이고 $\frac{RCs}{RCs+1}$ 은 저항 양단 전압의 비이므로, 전류와 전압의 비가 아니다.
R-L 직렬회로를 입력 $I(s)$ , 출력 $E(s)$ 의 블록선도로 옮기면 $E(s)=RI(s)+LsI(s)$ 이다. 가지는 $R$ 과 $Ls$ , 합산점 부호는 둘 다 $+$ 이다. $Ls$ 대신 $\frac{1}{Ls}$ 를 쓴 가지나 $-$ 부호는 틀리다.
분자 $s$ 는 미분, 분모 $1+Ts$ 는 1차 지연이다. 콘덴서가 직렬이고 출력이 저항 양단인 RC 회로의 $\frac{RCs}{1+RCs}$ 는 1차 지연 미분요소이고, $RC\ll1$ 이면 분모를 1 로 볼 수 있어 $\frac{sRC}{1+sRC}\approx sRC$ 이므로 미분요소로 본다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 3차 회로이론 및 제어공학 72번 — RC 직렬의 전압 대 전류 전달함수다음 회로에서 입력을 V(t), 출력을 i(t)로 했을 때의 입출력 전달 함수는? (단, 스위치 s는 t=0인 순간에 회로 전압을 공급한다.)[그림51]계산해설 보기 →2014년 2차 회로이론 및 제어공학 64번 — RLC 직렬의 전류 전달함수그림과 같은 RLC 회로에서 입력전압

e_{i}

(t), 출력 전류가 i(t) 인 경우 이 회로의 전달함수 I(s)/

E_{i}

(s) 는?[그림49]계산해설 보기 →2018년 3차 회로이론 및 제어공학 61번 — R-L 직렬회로의 블록선도다음의 회로를 블록선도로 그리는 것 중 옳은 것은?[그림20]옳은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 8개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

RC 회로의 전달함수

저항에서 출력을 꺼내는 RC 회로의 전달함수는

\frac{sRC}{1+sRC}

이며

RC\ll1

이면 미분요소로 본다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 4문항이 인용

R-L 직렬회로의 전압 관계

직렬회로의 전압은

E(s)=RI(s)+LsI(s)

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

RC 직렬회로의 전달함수

라플라스 영역에서 콘덴서의 임피던스

\frac{1}{Cs}

를 쓰면

\frac{I(s)}{V(s)}=\frac{1}{R+\frac{1}{Cs}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

RLC 직렬회로의 전달함수

전류를 출력으로 하는 전달함수는 임피던스의 역수 Cs/(LCs²+RCs+1) 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

라플라스 영역 임피던스와 분압

라플라스 영역에서

L\to sL

C\to\frac{1}{sC}

로 두고 분압하면 LC 직렬에 R 양단 출력인 회로의 전달함수는

\frac{RCs}{LCs^{2}+RCs+1}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

전압 분배 법칙

직렬회로에서 각 부품에 걸리는 전압은 그 부품의 임피던스에 비례한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

전압분배 법칙과 s영역 임피던스

직렬회로에서 각 소자의 전압은 전체 전압에 그 소자 임피던스가 전체 임피던스에서 차지하는 비율을 곱한 값이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

직렬 회로의 전압 분배와 전달함수

라플라스 영역에서

L

C

R

의 임피던스는

sL

\frac{1}{sC}

R

이며 직렬 회로의 출력은 임피던스 비로 나뉜다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

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