불 대수 간소화

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 20번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2010년 3차 · 2012년 3차 · 2013년 2차 · 2013년 3차 · 2014년 2차 · 2016년 1차 · 2016년 2차 · 2016년 3차 · 2017년 3차 · 2018년 3차 · 2019년 3차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

불 대수는 0(거짓)과 1(참) 두 값만 다루는 대수로, AND 는 곱 $A\cdot B$ , OR 는 합 $A+B$ , NOT 은 변수 위의 줄 $\overline{A}$ 로 쓴다. 논리식 간소화는 같은 동작을 하는 더 짧은 식으로 줄이는 일이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

AND 는 입력이 모두 1 일 때만 1 을 내고, OR 는 하나라도 1 이면 1 을 내며, NOT 은 입력을 뒤집는다. 회로는 입력에서 출력 쪽으로 게이트마다 식을 하나씩 쓰고 이어 붙여 읽는다. 곱 $A\cdot B$ 는 $AB$ 로도 쓰고, 부정은 문항에 따라 $A'$ 로 적기도 하지만 이 장에서는 막대로 쓴다. 법칙의 $A$ , $B$ , $C$ 는 임의의 논리 변수이며 문항에 따라 $x$ , $y$ 로도 적는다.

AND 두 개를 OR 로 합친 회로에서 한 AND 의 입력이 $\overline{A}$ 와 $B$ , 다른 AND 의 입력이 $A$ 와 $\overline{B}$ 이면 출력은 $Y=A\overline{B}+\overline{A}B$ 이다. 두 입력이 서로 다를 때만 1 이 되는 배타적 논리합(XOR)이다. 또 $A$ 와 $B$ 가 AND 로 묶이고 $C$ 가 NOT 을 거친 뒤 둘이 OR 로 합쳐지면 $X=(A\cdot B)+\overline{C}$ 이다.

기본 법칙은 $A\cdot\overline{A}=0$ , $A+\overline{A}=1$ , $A+A=A$ , $A\cdot A=A$ , $A+1=1$ 이다. $A$ 와 $\overline{A}$ 는 둘 중 하나가 반드시 0 이므로 곱은 0, 합은 1 이다. $A=0$ 과 $A=1$ 을 직접 넣어 보면 이 법칙들을 쉽게 확인할 수 있다.

식을 줄일 때는 한 번에 세 항을 다 보려 하지 않고 공통 문자가 있는 두 항부터 묶는다(2010-07-25 시행 67번 해설). 어떤 변수만 윗줄 유무가 다르고 나머지가 같은 두 항은 $X\overline{Y}+XY=X$ 로 묶어 그 변수를 없앤다. 묶은 뒤에는 흡수법칙 $A+AB=A$ , $(A+B)\cdot B=B$ , $A+\overline{A}B=A+B$ 를 쓴다. 분배법칙 $A+BC=(A+B)(A+C)$ 로 $\overline{A}+AB$ 를 $(\overline{A}+A)(\overline{A}+B)$ 로 바꾸면 $\overline{A}+A=1$ 이라 $\overline{A}+B$ 가 남는다.

드모르간 법칙은 $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$ , $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$ 이며, 막대를 옮길 때 합과 곱이 서로 바뀐다. 2021-03-07 시행 65번은 $\overline{A}+\overline{B}\cdot\overline{C}$ 에서 먼저 $\overline{B}\cdot\overline{C}=\overline{B+C}$ 로 바꾸고, $\overline{A}+\overline{B+C}$ 에 법칙을 한 번 더 써서 $\overline{A\cdot(B+C)}$ 로 묶는다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

A\cdot\overline{A}=0

A+\overline{A}=1

. 공통 인자를 묶고 (변수 + 부정)을 1 로 지운다.

암기팁 드모르간: 막대를 쪼개거나 합칠 때 + 와 · 가 서로 바뀐다.

함정 주의 막대가 변수 하나에만 있는지 식 전체에 있는지에 따라 뜻이 다르다.

\overline{A}+\overline{B}\cdot\overline{C}

와

\overline{A\cdot(B+C)}

는 드모르간 법칙을 두 번 써야 이어지고, 합과 곱의 자리가 어긋난 식은 다른 식이다.

회로의 출력식을 먼저 쓴 뒤 보기를 맞춘다. 2012-08-26 시행 61번에서 첫 항이나 둘째 항이 $\overline{A}\,\overline{B}$ 인 보기는 두 입력이 모두 반전되어 들어가는 AND 게이트가 그림에 없어 틀리다. $\overline{A}+\overline{B}$ 는 $\overline{AB}$ 와 같은 NAND 식인데 그림은 AND 두 개와 OR 한 개로 이루어져 있다.
2017-08-26 시행 63번의 정답은 $X=(A\cdot B)+\overline{C}$ 이다. AND 의 출력에 NOT 이 붙고 $C$ 에는 NOT 이 없는 보기는 반대이다. $A$ 와 $B$ 가 OR 로 묶이고 그 결과와 $C$ (또는 $\overline{C}$ )가 AND 로 묶인 보기는 그림이 $A,B$ 가 AND 이고 마지막이 OR 이라 틀리다.
2021-03-07 시행 65번의 오답 보기 중 $\overline{A+B\cdot C}$ 는 $\overline{A}\cdot(\overline{B}+\overline{C})$ 라 합과 곱의 자리가 다르다. $\overline{A\cdot B+C}$ 는 $(\overline{A}+\overline{B})\cdot\overline{C}$ 라 $\overline{A}$ 에도 $\overline{C}$ 가 곱해져, $A=0$ , $C=1$ 이면 문제의 식은 1, 이 식은 0 이다. $\overline{A\cdot B}+C$ 는 $\overline{A}+\overline{B}+C$ 로 $C$ 에 막대가 없고 $\overline{B}$ 와 $C$ 가 합으로 이어진다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

틀린 식 고르기는 기본 법칙과 대조한다. $A\cdot\overline{A}=1$ 은 틀린 식이고 $A\cdot\overline{A}=0$ 이 맞다(2019-08-04 시행 69번). $(A+B)\cdot B=B$ 는 $B$ 가 0 이면 AND 가 0, $B$ 가 1 이면 OR 출력이 1 이라 AND 도 1 이어서 $B$ 와 같다. 의심되면 0 과 1 을 넣어 진리표로 확인한다.
NOR 는 OR 한 뒤 전체를 뒤집고, NAND 는 AND 의 출력을 뒤집는다. 게이트를 차례로 식으로 쓰고 드모르간 법칙을 쓴다. 첫째 NOR 에 $A$ , $B$ 를 넣고 그 출력과 $B$ 를 둘째 NOR 에 넣은 회로는 $\overline{\overline{A+B}+B}=A\overline{B}$ 로 줄고(2016-03-06 시행 65번), 같은 연결의 NAND 두 개는 $\overline{\overline{AB}\cdot B}=AB+\overline{B}=A+\overline{B}$ 로 줄어든다(2016-08-21 시행 66번).
공통 인자를 묶고 변수와 부정의 합을 1 로 지운다. 2020-09-26 시행 67번은 네 항 모두의 공통 $\overline{A}C$ 를 묶으면 나머지가 $B$ 와 $D$ 의 모든 조합의 합이라 1 이 되어 $Y=\overline{A}C$ 이다. $(A+B)(\overline{A}+B)$ 는 괄호를 일반 대수처럼 곱해 펴면(분배법칙) $A\overline{A}+AB+B\overline{A}+BB$ 이고, $A\overline{A}=0$ , $BB=B$ , $AB+B\overline{A}=B(A+\overline{A})=B$ 이므로 $B$ 로 줄어든다(2022-04-24 시행 63번).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2012년 3차 회로이론 및 제어공학 61번 — 회로의 출력식 구하기다음 논리회로의 출력은?[그림42]옳은 것 고르기해설 보기 →2017년 3차 회로이론 및 제어공학 63번 — 논리회로가 나타내는 식 고르기다음 논리회로가 나타내는 식은? [그림50]옳은 것 고르기해설 보기 →2021년 1차 회로이론 및 제어공학 65번 — 회로와 등가인 논리식 고르기[그림69] 와 등가인 논리식은?옳은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 15개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

드모르간 법칙

\overline{P+Q}=\overline{P}\cdot\overline{Q}

를 이용해 NOR 식을 곱의 꼴로 줄인다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 4문항이 인용

불 대수의 간소화

B+\overline{B}=1

A+AB=A

A+\overline{A}B=A+B

같은 규칙으로 논리식을 줄인다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 2문항이 인용

논리 게이트와 불 대수

AND 는 논리곱, OR 는 논리합, NOT 은 부정이며 회로를 차례로 읽어 논리식을 만든다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

논리게이트와 논리식

AND 는 논리곱, OR 는 논리합, NOT 은 부정이다. 회로를 따라 게이트마다 식으로 옮긴다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

논리회로의 불 대수 간소화

공통 문자로 항을 묶는 방법과 흡수법칙(A+A'B=A+B)을 순서대로 적용해 논리식을 최소 항으로 간소화한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

드모르간 법칙을 이용한 논리식 간소화 — Augustus De Morgan

NOR·NAND로 구성된 회로는 드모르간 법칙을 반복 적용해 AND·OR·NOT의 조합으로 정리할 수 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

불 대수 간소화(흡수법칙)

A·B'+A'·B+A·B는 불 대수 정리를 거치면 A+B(OR)와 같아진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

불 대수와 논리게이트

AND 는 곱, OR 는 합, NOT 은 보수로 쓴다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

불 대수의 간소화 법칙

y+\overline{y}=1

이고

A+\overline{A}B=A+B

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

불 대수의 기본 법칙

A\cdot\overline{A}=0

A+\overline{A}=1

A+A=A

A\cdot A=A

A+1=1

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

불 대수의 묶기 규칙

X\overline{Y}+XY=X

이며, 이를 반복하면 곱항들을 간단한 식으로 줄일 수 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

불 대수의 분배법칙과 보수 법칙 — George Boole

AĀ=0, A+Ā=1, 분배법칙을 이용하면 (A+B)(Ā+B)=B로 간소화된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

불 대수의 흡수 법칙

(A+B)\cdot B=A\cdot B+B=B

로 정리되어 출력은 B 와 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

불 대수의 흡수법칙

B·(A + B) = B. 한 변수가 다른 항 전체를 흡수한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

트랜지스터 논리 회로

컬렉터를 묶어 출력으로 쓰고 이미터를 접지한 두 트랜지스터는 입력 중 하나라도 1 이면 출력이 0 이 되는 NOR 동작을 한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 20문항 중 1문항이 인용

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