영상전하법과 영상전하의 힘

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 23번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2011년 1차 · 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2013년 2차 · 2013년 3차 · 2014년 1차 · 2014년 2차 · 2015년 2차 · 2015년 3차 · 2016년 1차 · 2016년 2차 · 2016년 3차 · 2017년 2차 · 2018년 1차 · 2018년 3차 · 2019년 1차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

영상전하법은 도체 표면에 유도된 전하가 만드는 효과를, 도체를 치우고 도체 반대편 대칭 위치에 놓은 가상의 전하 하나(영상전하)로 바꿔 전계와 힘을 계산하는 방법이다. 영상전하는 계산을 돕는 가상의 전하이지 실제로 있는 전하가 아니다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

점전하 $Q$ 를 무한 평면도체 가까이에 두면 영상전하는 평면 반대쪽 같은 거리에 놓이고, 크기는 같고 부호만 반대인 $-Q$ 이다. 부호가 같다면 도체 표면에서 전기장이 수직으로 들어간다는 경계조건이 성립하지 않고, 크기가 다르다는 설명도 영상전하법의 기본 성질과 맞지 않는다. 실제 공간은 평면의 $Q$ 쪽뿐이다.

실제 전하와 영상전하 사이의 거리는 도체 면까지 거리의 두 배이므로 쿨롱의 법칙에 두 배 거리를 넣어야 한다. 점전하가 평면에서 $d$ 떨어져 있으면 거리는 $2d$ 이고, 힘은 $\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}d^{2}}$ 이며 부호가 반대라 흡입력이다. 이 점전하를 무한원까지 옮기는 일은 거리 $x$ 일 때의 힘을 $d$ 부터 무한대까지 적분해 구한다.

대지 위 높이 $h$ 에 평행하게 걸린 매우 긴 선전하도 같은 방식으로 푼다. 대지는 도체이므로 지면 아래 같은 깊이에 영상 선전하 $-\lambda$ 가 있다고 보고, 두 선 사이 거리는 $2h$ 이다. 단위 길이당 힘은 $F=\frac{\lambda^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}h}$ 이고 $h$ 가 분모에 한 번만 들어 있으므로 힘은 $h$ 에 반비례한다. $h$ 가 커지면 영상 선전하가 멀어져 끌어당기는 힘이 약해진다.

접지된 구도체 밖에 점전하 $Q$ 가 있으면 영상전하는 구 내부에서 점전하와 구의 중심을 잇는 직선 위에 놓이고, 위치는 반지름 $a$ 와 중심에서 점전하까지의 거리 $d$ 로 정해진다. 이 영상전하의 전하량은 $Q'=-\frac{a}{d}Q$ 로 부호만 반대일 뿐 크기는 같지 않다. 점전하가 구 밖에 있어 $a<d$ 이므로 영상전하는 원래 전하보다 작고, 부호가 반대라 두 전하 사이의 힘은 항상 흡입력이다.

영상전하의 크기와 개수는 경계의 모양과 매질에 따라 달라진다. 두 도체판 사이의 각이 $\theta$ ( $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ 가 정수)이면 영상전하는 $\frac{360^{\circ}}{\theta}-1$ 개이고, 직각(90°)이면 $4-1=3$ 개이다. 판을 한 번 건널 때마다 부호가 바뀐다. 유전율이 다른 두 유전체의 경계에서 전하가 유전율 $\varepsilon_{1}$ 쪽에 있을 때 영상전하의 크기는 원래 전하의 $\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}$ 배가 되어, $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}$ 이면 같은 부호라 반발력이 생기고 $\varepsilon_{1}$ 이 더 작으면 반대 부호라 흡인력이 생긴다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 무한 평면도체의 영상전하는

-Q

이다. 거울에 비친 반대 부호의 전하라고 기억하고, 실제 전하와 영상전하 사이 거리는 원래 거리의 2배로 센다.

암기팁 접지된 구의 영상전하는 위치가

\displaystyle \frac{a^{2}}{d}

, 전하량이

\displaystyle Q'=-\frac{a}{d}Q

이다. 부호만 반대고 크기는 다르다.

함정 주의 영상전하의 크기는 「항상 같다」가 아니다. 무한 평면도체는 크기가 같고, 접지된 구도체는

\displaystyle \frac{a}{d}

배로 작아진다. 보기가 두 경우를 섞어 쓰는지 확인한다.

무한 평면도체의 영상전하는 크기가 같고 부호만 반대인 $-Q$ 이다. 「 $-Q$ 보다 작다」「 $Q$ 보다 크다」(크기가 다름)·「 $Q$ 와 같다」(부호가 같음)는 보기는 틀린 설명이다.
접지된 구도체의 영상전하는 크기가 점전하와 같지 않다. $Q'=-\frac{a}{d}Q$ 이고, 영상전하는 구 내부에서 점전하와 구 중심을 이은 직선 위에 놓이며 위치는 $a$ 와 $d$ 로 정해진다. 「크기는 같고 부호는 반대」라고 한 보기가 틀린 설명이다.
접지된 구도체와 점전하 사이의 힘은 영상전하가 반대 부호이므로 항상 흡입력이다. 「조건적」「반발력」이라는 보기는 틀린 설명이다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

영상전하까지의 거리는 도체 면까지 거리의 두 배( $2d$ , $2h$ )이다. 점전하의 힘은 $\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}d^{2}}$ 이고, 선전하의 단위 길이당 힘은 $F=\frac{\lambda^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}h}$ 이므로 $h$ 에 반비례하며 $h^{2}$ 이 아니다.
평면도체 앞 점전하를 무한원까지 옮기는 일은 힘을 $d$ 부터 무한대까지 적분한 $\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}d}$ 이다. 전하의 위치에너지는 영상전하와의 상호작용 에너지의 절반만 취하며 항상 음수이다.
직각으로 만나는 두 도체판의 영상전하는 3개이다. 유전체 경계에서 전하가 있는 쪽의 유전율이 더 크면( $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{2}$ ) 반발력, 더 작으면 흡인력이 작용한다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 2차 전기자기학 12번 — 무한 평면도체의 영상전하점전하 Q[C] 에 의한 무한 평면도체의 영상전하는?옳은 것 고르기해설 보기 →2016년 1차 전기자기학 8번 — 대지 위 선전하의 힘과 높이대지면 높이 h[m]로 평행하게 가설된 매우 긴 선전하(선전하 밀도λ[C/m])가 지면으로부터 받는 힘[N/m]은?옳은 것 고르기해설 보기 →2022년 1차 전기자기학 18번 — 접지 구도체 영상전하 설명반지름이 a(m)인 접지된 구도체와 구도체의 중심에서 거리 d(m) 떨어진 곳에 점전하게 존재할 때, 점전하에 의한 접지된 구도체에서의 영상전하에 대한 설명으로 틀린 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 12개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

영상전하법

접지 도체 평면 위 점전하는 평면 반대쪽 같은 거리에 반대 부호의 영상전하가 있는 것과 같은 전계를 만들며, 둘 사이 거리는 2d로 계산한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 10문항이 인용

영상법

접지 평면도체 앞 전하

Q

의 힘은 반대편

-Q

와의 쿨롱 힘

\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon(2a)^{2}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 9문항이 인용

경계면에 작용하는 힘

전계가 경계면에 평행하면 단위 면적당 힘은 두 매질의 에너지 밀도 차 ½(ε₁−ε₂)E² 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

선전하의 영상법

높이

h

의 선전하는

-\lambda

의 영상 선전하와 거리

2h

에서

F=\frac{\lambda^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}h}

의 힘을 받는다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

영상법(유전체 경계면)

유전체 경계면 근처의 선전하는 크기

\frac{\varepsilon_{r1}-\varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2}}\rho

의 영상선전하로 바꿔 힘을 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

영상법(자성체)

무한 평면 자성체 앞 직선 전류는 반대쪽 같은 거리의 영상전류

\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu+\mu_{0}}I

로 바꾸어 힘을 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

영상전하법에 의한 유전체 경계면의 힘

유전체 표면 근처 점전하에 작용하는 힘은 전하량의 제곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

영상전하법에 의한 전하의 위치에너지

접지된 무한평면도체 앞의 전하는 영상전하와 상호작용하며, 그 위치에너지는 W=-e²/(16πε0r)로 항상 음수다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

유전체 경계면에 작용하는 힘

경계면에 수직으로 전계가 작용할 때 단위 면적당 힘은

\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\varepsilon_{2}}-\frac{1}{\varepsilon_{1}}\right)D^{2}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

유전체 경계면에서의 영상전하

유전율이 다른 두 유전체의 경계 근처에 있는 점전하는, 경계 반대편에 놓인 영상전하 Q'=Q(ε₁-ε₂)/(ε₁+ε₂)가 만드는 힘과 같은 힘을 받는다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

접지된 구도체에 대한 영상전하법

접지된 반지름 a의 구 바깥 거리 d에 점전하 Q가 있으면, 영상전하는 구 중심에서 a²/d 위치에 −(a/d)Q의 크기로 생긴다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

평면 도체의 영상법

도체 평면에서

x

떨어진 점전하

Q

는 반대쪽

x

에 놓인

-Q

와 같은 힘

\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}x^{2}}

을 받는다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 31문항 중 1문항이 인용

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