저항과 정전용량의 관계(RC=ρε)

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 9번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2011년 2차 · 2012년 1차 · 2012년 2차 · 2017년 1차 · 2017년 3차 · 2019년 1차 · 2020년 3차 · 2022년 1차

2 쉬운 설명

같은 전극 배치에서 전극 사이 매질의 저항 $R$ 과 정전용량 $C$ 를 곱하면 전극의 모양과 크기에 관계없이 $RC=\rho\varepsilon$ 가 된다. $\rho$ 는 저항률(고유저항), $\varepsilon$ 은 유전율이다. 정전용량 값에서 유전체의 저항을 구하거나, 정전용량 식에서 저항 식을 얻을 때 쓴다.

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평행판 콘덴서에서 극판 면적이 $S$ , 간격이 $d$ 이면 $R=\rho\frac{d}{S}$ 이고 $C=\varepsilon\frac{S}{d}$ 이다. 두 식을 곱하면 $S$ 와 $d$ 가 약분되어 $RC=\rho\varepsilon$ 만 남는다. $R=\rho\varepsilon C$ 는 $C$ 가 분자에 있어 틀리고, $RC=\frac{\varepsilon}{\rho}$ 는 $\rho$ 가 분모에 있어 틀린다. $RC\rho\varepsilon=1$ 은 $RC=\frac{1}{\rho\varepsilon}$ 이라는 뜻이라 역시 틀리다.

콘덴서의 유전체는 완전한 절연체가 아니어서 누설전류가 아주 조금 새어 나간다. $RC=\rho\varepsilon$ 에서 $R=\frac{\rho\varepsilon}{C}$ 를 얻고 옴의 법칙을 쓰면 $I=\frac{V}{R}=\frac{CV}{\rho\varepsilon}$ 이다. 정전용량이 클수록, 전압이 클수록, 고유저항이 작을수록 누설전류가 커진다.

누설전류를 숫자로 구할 때는 순서대로 풀면 된다. 먼저 비유전율에 $\varepsilon_{0}=8.855\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ 를 곱해 유전율을 구한다. 비유전율이 2.2 이면 $\varepsilon=\varepsilon_{s}\varepsilon_{0}=2.2\times8.855\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ 이다. 이 값과 고유저항 $10^{11}\,\Omega\cdot\mathrm{m}$ , 용량 $200\,\mu\mathrm{F}$ 을 $R=\frac{\rho\varepsilon}{C}$ 에 넣으면 $R\approx9.74\times10^{3}\,\Omega$ 이다. 여기에 $500\,\mathrm{kV}$ 를 걸면 $I=\frac{V}{R}=\frac{500\times10^{3}}{9.74\times10^{3}}\approx51.3\,\mathrm{A}$ 이다.

동심 구 사이의 저항은 $\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ 이다. 구가 반구이면 전류가 지나는 면이 절반이라 통로가 절반이므로 저항은 2 배인 $\frac{1}{2\pi k}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ 이 된다. 지름이 10 cm 와 20 cm 이면 반지름은 $a=0.05\,\mathrm{m}$ , $b=0.1\,\mathrm{m}$ 이고 $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=10$ 이다. 도전율 $k=10^{-3}\,\mathrm{\mho/m}$ 일 때 $R=\frac{10}{2\pi\times10^{-3}}\approx1590\,\Omega$ 이다. 구 전체 식을 그대로 쓰지 말고 반구인지 먼저 확인한다.

정전용량 식을 알면 $RC=\rho\varepsilon$ 로 저항 식이나 컨덕턴스 식을 바로 얻는다. 동축케이블은 $C=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}$ 에서 $\varepsilon$ 자리에 도전율 $\sigma$ 를 넣은 $G=\frac{2\pi\sigma}{\ln(b/a)}$ 가 단위 길이당 컨덕턴스이다. 컨덕턴스는 저항의 역수 $G=\frac{1}{R}$ 이다. 반구 접지극은 공 모양 전극의 정전용량 $4\pi\varepsilon a$ 의 절반인 $2\pi\varepsilon a$ 를 $R=\frac{\rho\varepsilon}{C}=\frac{\rho\varepsilon}{2\pi\varepsilon a}$ 에 넣어 $\varepsilon$ 가 지워지면 $R=\frac{\rho}{2\pi a}$ 가 된다.

3 이 개념이 나온 기출문제

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4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

RC=\rho\varepsilon

— 곱하면 전극 모양(

S

d

)은 지워지고 매질의 성질만 남는다. 누설전류는

RC=\rho\varepsilon

로

R

을 구하고

\displaystyle I=\frac{V}{R}

로 푼다.

암기팁 공(구)은

4\pi

, 반구는

2\pi

이다. 동심 구의 계수는

\displaystyle \frac{1}{4\pi k}

, 반구는

\displaystyle \frac{1}{2\pi k}

, 반구 접지저항은

\displaystyle R=\frac{\rho}{2\pi a}

로 외운다.

함정 주의 동심 구 사이는

\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{b}

, 멀리 떨어진 두 구 사이는

\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}

로 부호가 다르다. 구인지 반구인지, 동심인지 떨어져 있는지부터 가른다.

저항과 정전용량의 관계는 $RC=\rho\varepsilon$ 이다. $R=\rho\varepsilon C$ ( $C$ 가 분자), $RC=\frac{\varepsilon}{\rho}$ ( $\rho$ 가 분모), $RC\rho\varepsilon=1$ ( $RC=\frac{1}{\rho\varepsilon}$ 이라는 뜻) 은 모두 틀린 형태이다.
콘덴서 유전체의 누설전류는 $R=\frac{\rho\varepsilon}{C}$ 를 구한 뒤 $I=\frac{V}{R}=\frac{CV}{\rho\varepsilon}$ 로 구한다. 분모에 $\rho\varepsilon$ 가 오고 분자에 $C$ 와 $V$ 가 온다.
누설전류를 숫자로 구할 때는 비유전율에 $\varepsilon_{0}=8.855\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ 를 곱해 유전율부터 만든다. 그다음 $R$ , $I$ 순서로 구하며, 비유전율 2.2 · 고유저항 $10^{11}\,\Omega\cdot\mathrm{m}$ · $200\,\mu\mathrm{F}$ · $500\,\mathrm{kV}$ 이면 $51.3\,\mathrm{A}$ 이다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

동심 구는 $\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ , 반구는 전류 통로가 절반이라 $\frac{1}{2\pi k}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ 이다. 구 전체가 아니라 반구로 계산해야 하는 문제를 놓치지 않는다. 지름이 주어지면 반지름으로 바꿔 넣는다.
서로 멀리 떨어진 두 구 사이 저항은 $\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ 로 괄호 안이 더하기이다. 동심 구는 빼기이다. 이 식은 구 사이 거리가 반지름보다 충분히 클 때의 식이다.
동축 원통의 컨덕턴스는 정전용량 식에서 $\varepsilon$ 자리에 $\sigma$ 를 넣은 $G=\frac{2\pi\sigma}{\ln(b/a)}$ 이다. 반구 접지극의 접지저항은 $R=\frac{\rho}{2\pi a}$ 이다.