Y-Δ 등가 변환

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 5번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2014년 1차 · 2019년 2차 · 2020년 1차 · 2021년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

Y-Δ 등가 변환은 세 저항이 별(Y) 모양으로 한 점에 모인 회로와 삼각형(Δ) 모양으로 이어진 회로를, 바깥 단자 a, b, c에서 보았을 때 똑같이 동작하도록 서로 바꾸는 것이다.

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Y에서 Δ로 바꿀 때 Δ의 한 변 저항은 Y의 세 저항을 두 개씩 곱해 더한 값을 마주 보는 Y 저항으로 나눈 값이다. $R_{\Delta}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{\text{마주 보는 저항}}$ 에서 $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ 은 Y의 세 저항, $R_{\Delta}$ 는 Δ의 한 변 저항이다. 마주 보는 저항은 그 변의 양 끝 단자에 닿지 않는 Y 저항이다. Y의 세 저항이 같을 때만 위 식이 $R_{\Delta}=3R_Y$ 로 간단해지고( $R_Y$ 는 그때의 Y 저항) Y에서 Δ로는 3배, 거꾸로 Δ에서 Y로는 $\frac{1}{3}$ 이 된다.

Δ에서 Y로 바꿀 때 Y의 한 임피던스는 그 꼭짓점에 닿는 Δ의 두 변의 곱을 Δ 세 변의 합으로 나눈 값이다. 꼭짓점 a에 붙는 Y의 임피던스를 $Z_{a}$ 라 하자. 임피던스의 허수부는 코일이면 $+j$ , 콘덴서이면 $-j$ 이고, $j$ 는 제곱하면 $-1$ 이 되는 허수 단위이다. 한 문항에서 Δ의 세 변이 a-b 사이 $j6$ , a-c 사이 $4+j2$ , c-b 사이 $-j8\,[\Omega]$ 이면 세 변의 합은 4 Ω, a에 닿는 두 변의 곱은 $-12+j24$ 이므로 $Z_{a}=\frac{-12+j24}{4}=-3+j6\,[\Omega]$ 이다.

선간전압이 $V$ 이고 선마다 $R$ 이 직렬로 있으며 끝이 $R$ 세 개의 Δ로 묶인 평형 3상 회로에서 Δ 한 변의 전류 $I$ 는, Y로 바꿔 구한 선전류를 상전류로 되돌려 얻는다. Δ의 $R$ 세 개를 Y로 바꾸면 한 가지가 $\frac{R}{3}$ 이어서 한 상은 $R+\frac{R}{3}=\frac{4R}{3}$ 이다. 한 상의 전압이 $\frac{V}{\sqrt{3}}$ 이므로 선전류는 $\frac{V/\sqrt{3}}{4R/3}=\frac{\sqrt{3}\,V}{4R}$ 이다. $I$ 는 Δ 한 변의 상전류이므로 선전류의 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 인 $\frac{V}{4R}$ 이다.

같은 단자에 Y 부하와 Δ 부하가 함께 달리면 Δ 부하를 등가 스타(Y)로 바꿔 어드미턴스(임피던스의 역수)를 더한다. Y로 이은 $R$ 의 어드미턴스는 $\frac{1}{R}$ 이다. Δ로 이은 $C$ 세 개는 Y로 바꾸면 임피던스가 $\frac{1}{3}$ 배인 $\frac{1}{3j\omega C}$ , 곧 어드미턴스가 $j3\omega C$ 이다( $\omega$ 는 각주파수).

Y로 이은 $R$ 세 개와 Δ로 이은 $C$ 세 개가 달린 평형 3상 부하에서 선간전압의 크기가 100 V 이면 Y 한 상의 상전압은 $\frac{100}{\sqrt{3}}$ 이다. 상전압에 두 어드미턴스를 각각 곱해 더한 $\frac{100}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{R}+j3\omega C\right)$ 가 선전류 $I_{a}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 Y→Δ 는

3

배, Δ→Y 는

\displaystyle \frac{1}{3}

(세 저항이 같을 때).

암기팁 Y→Δ:

\displaystyle R_{\Delta}=\frac{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{\text{마주 보는 저항}}

. Δ→Y: 꼭짓점에 닿는 두 변의 곱 ÷ 세 변의 합. 같은 저항

R

세 개의 Δ는 Y로 바꾸면 한 가지가

\displaystyle \frac{R}{3}

이고, Δ 상전류는 선전류 ÷

\sqrt{3}

이다.

함정 주의 Δ 한 변의 상전류를 묻는데 선전류

\displaystyle \frac{\sqrt{3}\,V}{4R}

에서 멈추면 안 된다. 상전류는 선전류를

\sqrt{3}

으로 나눈

\displaystyle \frac{V}{4R}

이다.

변환 방향부터 확인한다. Y→Δ는 「두 저항씩 곱해 더한 값 ÷ 마주 보는 Y 저항」, Δ→Y는 「꼭짓점에 닿는 두 변의 곱 ÷ Δ 세 변의 합」이다. 나누는 값이 서로 다르다. Y의 세 저항을 $R_{a}$ , $R_{b}$ , $R_{c}$ 로, Δ의 변을 a-b 사이 $R_{ab}$ , b-c 사이 $R_{bc}$ , c-a 사이 $R_{ca}$ 로 적는 문항도 있다.
세 저항이 같으면 Y→Δ는 3배, Δ→Y는 $\frac{1}{3}$ 이다. Y의 세 저항이 $15\,\Omega$ 일 때 Δ의 한 변은 $3\times 15=45\,\Omega$ 이다. 보기 중 135 는 정답 45 의 3배, 15 는 Y의 저항과 같은 값, 5 는 15 를 3으로 나눈 값이다.
Y→Δ에서 곱의 합은 세 변에 공통이고 나누는 Y 저항만 변마다 다르다. $R_{ab}$ 는 $R_{c}$ , $R_{bc}$ 는 $R_{a}$ , $R_{ca}$ 는 $R_{b}$ 로 나눈다. $R_{a}=2\,\Omega$ , $R_{b}=3\,\Omega$ , $R_{c}=4\,\Omega$ 인 문항에서는 곱의 합이 26 이어서 $R_{ab}=\frac{13}{2}\,[\Omega]$ , $R_{bc}=13\,[\Omega]$ , $R_{ca}=\frac{26}{3}\,[\Omega]$ 이다. 이 문항에서는 가장 작은 $R_{a}$ 로 나누는 $R_{bc}$ 가 가장 크다.

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평형 3상에서 Y의 상전압은 선간전압의 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 이고 선전류와 상전류는 같다. 구하는 것이 Δ 한 변의 상전류이면 선전류를 $\sqrt{3}$ 으로 나눈다. 보기 $\frac{\sqrt{3}\,V}{4R}$ 는 선전류의 크기이고, $\frac{3V}{4R}$ 는 정답 $\frac{V}{4R}$ 의 3배, $\frac{V}{4\sqrt{3}R}$ 는 정답의 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 배이다.
세 임피던스가 같은 Δ 부하를 Y로 바꾸면 임피던스는 $\frac{1}{3}$ , 어드미턴스는 3배이다. 보기 $100\left(\frac{1}{R}+j\sqrt{3}\omega C\right)$ 는 저항 항에 상전압 대신 선간전압 100 을 써서 $\frac{100}{R}$ 이 된 것이고, $\frac{100}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{R}+j\omega C\right)$ 는 Δ를 Y로 바꾸면 어드미턴스가 3배가 되는 것을 반영하지 않았으며, $100\left(\frac{1}{R}+j\omega C\right)$ 는 상전압과 Δ의 배율을 둘 다 반영하지 않았다.
대칭 3상 전압에서 세 선의 전류가 같으려면 부하가 평형이어야 하므로 a-b, a-c, b-c 사이 저항이 서로 같아야 한다. 점 O에서 a로 가는 저항을 $R$ (이 문항에서만 구하는 값), b와 c로 가는 저항을 각각 $40\,\Omega$ 으로 둔 Y에 b-c 사이 $120\,\Omega$ 이 더해진 회로에서, Y를 Δ로 바꾸면 $R_{ab}=R_{ac}=2R+40$ 이고 b-c 쪽은 $80+\frac{1600}{R}$ 과 $120\,\Omega$ 의 병렬이다. 세 변이 같다고 놓으면 $R^{2}+4R-320=0$ 이어서 $R=16\,\Omega$ 이다.