RL 직렬회로의 과도현상

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 12번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2013년 1차 · 2013년 2차 · 2013년 3차 · 2014년 3차 · 2016년 2차 · 2017년 3차 · 2018년 1차 · 2019년 1차 · 2021년 2차 · 2022년 1차

2 쉬운 설명

RL 직렬회로의 과도현상은 스위치를 닫거나 열 때 코일이 전류의 변화를 막기 때문에, 전류가 곧바로 최종값이 되지 않고 새로운 정상 상태에 이를 때까지 서서히 변해 가는 현상이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

직류 전압을 걸고 스위치를 닫으면 전류는 0 에서 시작해 최종값 $\frac{E}{R}$ 로 올라가며, 그 식은 $i=\frac{E}{R}(1-e^{-t/\tau})$ 이다. 올라가는 빠르기를 정하는 시정수(시간상수) $\tau$ 는 $\tau=\frac{L}{R}$ 이다. $L$ 이 클수록 전류가 천천히 오르고, $R$ 이 클수록 빨리 자리를 잡는다. 전원 전압은 문항에 따라 $E$ 또는 $V$ 로 쓰는 같은 양이다. 이 장에서는 $E$ 로 쓰고, $V$ 로 쓴 문항은 그때 밝힌다.

$t=\tau$ 가 되면 전류는 정상값의 약 63.2 % 에 이른다. 저항 100 Ω, 인덕턴스 1 H 의 직렬회로에 직류 100 V 를 가하고 0.01 s 뒤의 전류를 묻는 문항에서는 $\tau=\frac{L}{R}=\frac{1}{100}=0.01\,\mathrm{s}$ 이고 정상값 $\frac{E}{R}$ 은 1 A 이다. 구하는 시각이 정확히 $\tau$ 이므로 전류는 1 A 의 약 63.2 % 인 0.632 A 이다.

시정수 계산은 $\tau=\frac{L}{R}$ 에 단위를 맞춰 넣는다. 인덕턴스 30 mH, 저항 10 Ω 이면 $L=30\,\mathrm{mH}=0.03\,\mathrm{H}$ 이고 $\tau=\frac{0.03}{10}=0.003\,\mathrm{s}$ , 곧 3 ms 이다. 반대로 시정수 0.04 s, 저항 15.8 Ω 이 주어지고 인덕턴스를 구하려면 $L=\tau R$ 로 바꿔 $L=0.04\times15.8=0.632\,\mathrm{H}$ , 곧 632 mH 이다. 다른 보기 395 · 2.53 · 12.6 mH 는 인덕턴스가 시정수와 저항의 곱이라는 점에서 맞지 않는다.

시정수의 $R$ 은 인덕터에서 회로를 바라본 저항이다. RL 직렬회로에서는 이것이 회로 전체의 저항, 곧 직렬 저항의 합이다. 그림에서 $L$ , $R_{1}$ , $R_{2}$ 가 한 줄로 이어진 직렬이면 저항은 더해서 $R_{1}+R_{2}$ 하나로 보고 $\tau=\frac{L}{R_{1}+R_{2}}$ 이다. $L$ 은 그대로이고 $R$ 만 2배가 되면 새 시정수는 $\tau'=\frac{L}{2R}$ 이 되어 절반이 된다. 전류식의 지수에서 읽은 처음 시정수가 50 초이면 새 시정수는 25 초이다.

특정 시각의 전류는 먼저 정상값과 시정수를 구해 식에 넣는다. 인덕턴스 0.5 H, 저항 2 Ω, 직류 30 V 이면 $\frac{E}{R}=\frac{30}{2}=15\,\mathrm{A}$ , $\tau=\frac{L}{R}=\frac{0.5}{2}=0.25\,\mathrm{s}$ 이다. 0.1초 뒤에는 $\frac{t}{\tau}=0.4$ 이고 $e^{-0.4}\approx0.670$ 이므로 $i=15\,(1-0.670)\approx4.95\,\mathrm{A}$ 이다. 시정수가 0.35 나 0.45 인 보기는 시정수가 틀렸고, 시정수 0.25 가 맞아도 전류가 13.95 A 인 보기는 전류가 틀렸다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

t=\tau

(시간상수)가 되면 전류는 정상값의 63.2 % — RL 과도전류에서 꼭 기억할 숫자.

암기팁 RL 시정수

\displaystyle \tau=\frac{L}{R}

→

L=\tau R

, H 값에 1000 을 곱하면 mH. 저항이 2배면 시정수는 절반.

함정 주의 정상값이 1 A 이고

t=\tau

이면 답은 0.632 A 이다. 0.362 A 는

1-e^{-1}

의 자리를 잘못 읽거나

e^{-1}

값을 반대로 넣었을 때 나오는 값에 가깝다. 3.62 A 는

\displaystyle \frac{E}{R}

을 1 A 가 아닌 다른 값으로 잘못 계산했을 때 나오기 쉬운 값이다. 6.32 A 는 0.632 에 10 을 곱해 자릿수를 한 자리 잘못 옮긴 값이다.

스위치를 닫을 때 전류는 $i=\frac{E}{R}(1-e^{-t/\tau})$ 로 오르고 $\tau=\frac{L}{R}$ 이다. $t=\tau$ 일 때 정상값의 약 63.2 % 이다.
스위치를 1 에 오래 두어 $\frac{E}{R}$ 이 흐르다가 2 로 옮기면 전원이 없는 R-L 회로가 되어 전류는 $i(t)=\frac{E}{R}e^{-\frac{R}{L}t}$ 로 줄어든다. $t=\frac{L}{R}$ 에서 $i=\frac{E}{R}e^{-1}\approx0.368\frac{E}{R}$ 이다.
코일 전류와 커패시터 전압은 스위치를 바꾸는 순간 갑자기 변하지 않는다. 닫기 직전 $i(0)=0$ , $v_{C}(0)=0$ 이면 닫은 직후도 $i(0^{+})=0$ , $v_{C}(0^{+})=0$ 이다. 전압 10 V, 인덕턴스 1 H 인 RLC 직렬회로(이 문항은 전원 전압을 $V$ 로 쓴다)에서 닫은 직후에는 전원 전압이 모두 인덕터에 걸려 $\frac{di}{dt}=\frac{V}{L}$ , 곧 $\frac{di}{dt}(0^{+})=\frac{10}{1}=10\,\mathrm{A/s}$ 이다.

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직류 정상 상태에서 코일은 도선처럼 동작한다. 저항 $R$ , 코일 $L$ , 저항 $r$ 이 한 고리가 되는 문항에서는 스위치를 연 직후에도 코일 전류가 연속이어서 열기 직전의 $\frac{V}{r}$ 에서 출발하고, 시정수는 $\tau=\frac{L}{R+r}$ 이다(이 문항은 전원 전압을 $V$ 로 쓴다).
$i(t)=A+Be^{-at}$ 에서 $a$ 는 시정수의 역수 $\frac{R}{L}$ 이다. $R$ 은 전압원을 단락하고 인덕터에서 본 저항이다. 4 Ω 두 개의 병렬은 $\frac{4\times4}{4+4}=2\,\mathrm{\Omega}$ 이고, 여기에 직렬 2 Ω 를 더하면 $R=2+2=4\,\mathrm{\Omega}$ 이다. 인덕턴스가 10 mH 이면 $a=\frac{R}{L}=\frac{4}{10\times10^{-3}}=400$ 이다.
교류를 가할 때 과도 성분의 크기는 $\sin(\theta-\phi)$ 에 비례한다. $\theta$ 는 전압을 가하는 위상, $\phi=\tan^{-1}\frac{\omega L}{R}$ 은 임피던스 각이다. $\theta=\phi$ 이면 과도현상이 없다. 저항 30 Ω, 인덕턴스 79.6 mH, 60 Hz 에서는 $\omega L\approx30\,\Omega$ 으로 저항과 같아 $\phi=45^{\circ}$ 이므로 45° 위상에서 가한다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2010년 1차 회로이론 및 제어공학 71번 — t=τ 일 때의 전류값R=100[Ω], L=1[H]의 직렬회로에 직류전압 E=100[V]를 가했을 때, t=0.01[s] 후의 전류

i_{t}

[A]는 약 얼마인가?계산해설 보기 →2013년 3차 회로이론 및 제어공학 76번 — 시정수와 저항으로 인덕턴스 구하기RL 직렬회로에서 시정수가 0.04[sec], 저항이 15.8[Ω]일 때 코일의 인덕턴스 [mH]는?계산해설 보기 →2016년 2차 회로이론 및 제어공학 72번 — 0.1초 뒤 전류와 시정수인덕턴스 0.5H, 저항 2Ω의 직렬회로에 30V의 직류전압을 급히 가했을 때 스위치를 닫은 후 0.1초 후의 전류의 순시값 i[A]와 회로의 시정수 t[s]는?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 8개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

RL 직렬회로의 과도현상

직류 전원

E

를 연결한 RL 직렬회로의 전류는

i=\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)

이고 시간상수는

\tau=\frac{L}{R}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 4문항이 인용

RL 직렬회로의 시정수

RL 직렬회로의 직류 응답은

i=\frac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)

이고 시정수는

\tau=\frac{L}{R}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 2문항이 인용

R-L 직렬회로의 과도현상(소멸)

전원을 뗀 R-L 회로의 전류는

i(t)=I_{0}e^{-\frac{R}{L}t}

로 줄어들며 시간상수는

\frac{L}{R}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

RL 직렬회로의 과도전류 공식

직류전압을 건 RL 직렬회로의 전류는 i(t)=(E/R)(1-

e^{-t/τ}

)로 증가하며, t=τ일 때 정상값의 약 63.2[%]에 이른다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

RL 직렬회로의 스위치 온 과도현상

스위치를 닫은 RL 직렬회로의 전류는 i(t)=(V/R)(1-

e^{-Rt/L}

)로 증가하여 정상상태 전류 V/R에 점근한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

RL 회로의 과도응답

인덕터 전류는 연속이어서 스위칭 직후에도 값이 바뀌지 않고, 이후 시정수 L/R 로 지수적으로 감소한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

RL 회로의 시정수

인덕터 전류의 지수 항은

e^{-\frac{R}{L}t}

이며

R

은 인덕터에서 본 등가 저항이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

과도현상의 초기 조건

인덕터 전류와 커패시터 전압은 스위칭 순간에 연속이므로

0^{+}

에서

i=0

v_{C}=0

이고

\frac{di}{dt}=\frac{V}{L}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

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