벡터 궤적과 주파수 응답

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 10번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2013년 1차 · 2015년 2차 · 2016년 1차 · 2017년 3차 · 2018년 3차 · 2019년 3차 · 2021년 2차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

주파수 전달함수는 전달함수 $G(s)$ 에서 $s$ 대신 $j\omega$ 를 넣은 $G(j\omega)$ 이다. 벡터 궤적은 각주파수 $\omega$ (rad/s) 를 0 에서 $\infty$ 까지 바꿔 가며 $G(j\omega)$ 의 값을 복소평면에 이어 그린 곡선이다.

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나눗셈에서 크기는 분자 크기를 분모 크기로 나누고, 위상은 분자 위상에서 분모 위상을 뺀다. $G(j\omega)=\frac{k}{1+j\omega T}$ 에서 분자 $k$ 는 크기 $k$ , 각도 $0^{\circ}$ 이고, 분모는 가로 1 · 세로 $\omega T$ 인 직각삼각형의 빗변이라 크기 $\sqrt{1+(\omega T)^{2}}$ , 각도 $\tan^{-1}(\omega T)$ 이다. 그러므로 $|G(j\omega)|=\frac{k}{\sqrt{1+(\omega T)^{2}}}$ , $\angle G(j\omega)=-\tan^{-1}(\omega T)$ 이다.

대표적인 요소의 궤적이다. 미분요소 $G(s)=s$ 는 $G(j\omega)=j\omega$ 로 실수부가 0 이고 허수부가 $\omega$ 이므로 원점에서 허수축 위쪽으로 뻗는 선이고, 적분요소 $\frac{1}{s}$ 는 허수축 아래쪽이다. 비례요소는 한 점, 1차 지연요소는 반원, 2차 지연요소는 $-180^{\circ}$ 로 가는 곡선이다. 부동작 시간요소는 $G(j\omega)=e^{-j\omega L}$ 로 크기가 1, 위상이 $-\omega L$ 이라 원점 중심의 원을 그린다( $L$ 은 입력을 늦게 내보내는 시간).

궤적에 맞는 식을 고를 때는 $\omega=0$ 의 값이 시작점이고 $\omega\to\infty$ 의 값이 끝점이라는 점을 쓴다. 시작점이 1, 끝점이 2 인 궤적(2010-03-07 시행 64번, 2019-08-04 시행 61번)에는 $\frac{j2\omega+1}{j\omega+1}$ 이 맞다. $\omega=0$ 에서 $\frac{1}{1}=1$ 이고, $\omega\to\infty$ 에서는 $\frac{j2\omega}{j\omega}=2$ 로 수렴하기 때문이다.

이득은 크기를 로그로 바꿔 데시벨(dB)로 나타낸 값이다. $\text{이득(dB)}=20\cdot\log_{10}|G(j\omega)|$ 이고, 크기가 1 이면 0 dB, 10배이면 20 dB, $\frac{1}{10}$ 배이면 −20 dB 이다. $G(j\omega)=j5\omega$ 처럼 $j$ 가 붙어도 크기는 $5\omega$ 이며, $\omega=0.02$ 이면 크기 0.1 이라 이득은 −20 dB 이다.

대역폭은 계가 입력을 크게 줄이지 않고 통과시키는 주파수의 범위이며, 영 주파수 이득보다 3 dB 떨어지는 주파수까지로 정의되기도 한다(2013-03-10 시행 62번). 빠른 변화일수록 높은 주파수 성분을 많이 가지므로 대역폭이 좁으면 응답이 늦고, 넓으면 빠르다(2017-08-26 시행 62번). 대역폭이 좁을수록 계속 늦어지는 것이지 빨라졌다 늦어지거나 늦어졌다 빨라지는 것이 아니다. $\frac{1}{1+Ts}$ 꼴의 1차 지연계는 차단 주파수가 $\frac{1}{T}$ 이어서, 시정수 $T$ 가 클수록 대역폭이 좁고 응답이 느리다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 크기는 분자 ÷ 분모의 크기, 위상은 분자 위상 − 분모 위상.

\displaystyle G(j\omega)=\frac{k}{1+j\omega T}

이면 크기

\displaystyle \frac{k}{\sqrt{1+(\omega T)^{2}}}

, 위상

-\tan^{-1}(\omega T)

암기팁 미분요소

G=j\omega

→ 허수축 위쪽 / 적분요소

\displaystyle G=\frac{1}{j\omega}

→ 허수축 아래쪽 · 원점 중심의 원 = 부동작 시간요소.

함정 주의 「응답이 빨라진다」는 대역폭이 넓을 때의 성질이다. 대역폭이 좁으면 빠른 변화를 따라가지 못해 응답이 늦어진다(2017-08-26 시행 62번).

크기는 분자 ÷ 분모, 위상은 분자 − 분모이다. 분모 안의 $(\omega T)$ 에 제곱이 빠져 $\sqrt{1+\omega T}$ 가 되면 크기 식이 틀리고, 위상을 $\tan^{-1}$ 대신 $\tan$ 으로 적으면 위상 식이 틀린다. 보기 ② 는 두 곳 모두, ③ 은 크기만, ④ 는 위상만 틀린 경우이다(2010-05-09 시행 70번). 분자가 1 인 꼴은 크기 $\frac{1}{\sqrt{1+w^{2}T^{2}}}$ , 위상각 $-\tan^{-1}wT$ 이다(2017-08-26 시행 68번, 이 문항은 각주파수를 $w$ 로 쓴다).
요소와 궤적을 짝짓는다: 미분요소는 허수축 위쪽, 적분요소는 허수축 아래쪽, 원점 중심의 원은 부동작 시간요소이고, 비례요소는 한 점, 1차 지연요소는 반원을 그린다(2015-05-31 시행 68번, 2016-03-06 시행 63번).
$\omega=0$ 과 $\omega\to\infty$ 두 값을 넣어 시작점·끝점을 비교한다. 2019-08-04 시행 61번은 네 보기가 모두 $\omega=0$ 에서 1 이 되어 끝점으로 가렸다. $G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(j\omega+1)}$ 은 위상이 $-90^{\circ}-\tan^{-1}\omega$ 이므로 $\omega\to\infty$ 에서 $-180^{\circ}$ 이고 크기는 0 이다(2018-08-19 시행 70번).

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

dB 보기는 먼저 크기를 구한 뒤 대조한다. 20 dB 은 크기 10배, 10 dB 은 약 3.16배, −10 dB 은 약 0.316 이다. 크기가 0.1 이면 $20\cdot\log_{10}(0.1)=-20\,\mathrm{dB}$ 이다(2021-05-15 시행 65번).
낮은 주파수 예(2022-04-24 시행 62번): $G(s)=\frac{1}{0.1s(0.01s+1)}$ 에 $\omega=0.1\,\mathrm{rad/s}$ 를 넣으면 뒤쪽 괄호의 허수부가 매우 작아 1 에 가깝고, 남은 $\frac{1}{0.1s}$ 꼴에서 크기 100, 위상 $-90^{\circ}$ 가 나온다. $20\log_{10}100=40\,\mathrm{dB}$ 이므로 이득 40 dB, 위상 $-90^{\circ}$ 이다.
2차계에서 고유주파수 $\omega_{n}$ (감쇠가 없을 때 스스로 진동하는 주파수)이 일정할 때 감쇠율 $\xi$ (출렁임이 가라앉는 정도)가 커지면 상승 시간은 길어지고 대역폭은 줄며 오버슈트도 준다. $\xi$ 가 작으면 응답이 빠르고 대역폭이 넓지만 오버슈트와 공진 첨두값(주파수 응답에서 이득이 가장 크게 솟은 값)이 커진다. 최대 오버슈트와 공진 첨두값은 $\xi$ 만으로 정해진다. 상승 시간과 대역폭이 함께 늘어난다는 보기가 틀리다(2013-03-10 시행 62번).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2010년 2차 회로이론 및 제어공학 70번 — 1차 지연 전달함수의 크기와 위상G(jω) = [그림44] 일 때 |G(jω)|, 와 ∠G(jω)는?옳은 것 고르기해설 보기 →2017년 3차 회로이론 및 제어공학 62번 — 대역폭이 좁을 때 응답속도주파수 특성의 정수 중 대역폭이 좁으면 좁을수록 이때의 응답속도는 어떻게 되는가?옳은 것 고르기해설 보기 →2021년 2차 회로이론 및 제어공학 65번 — 주파수 전달함수의 이득(dB)제어시스템의 주파수 전달함수가 G(jw)=j5w이고, 주파수가 w=0.02rad/sec일 때 이 제어시스템의 이득(dB)은?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 10개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

1차 지연계의 주파수 응답

G(jw)=\frac{1}{1+jwT}

의 크기는

\frac{1}{\sqrt{1+w^{2}T^{2}}}

, 위상각은

-\tan^{-1}wT

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

2차계의 주파수 응답과 시간 응답

2차계에서

\omega_{n}

이 일정하고 감쇠율

\xi

가 커지면 상승 시간은 길어지고 대역폭은 줄며, 최대 오버슈트와 공진 첨두값은

\xi

만으로 정해진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

데시벨 이득

이득(dB) = 20·log10|G(jω)|.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

벡터 궤적

전달함수

G(s)

의

s

에

j\omega

를 넣어

\omega

를 0 에서 무한대로 바꿀 때 복소평면에 그려지는 선이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

보드선도의 저주파 근사

각주파수가 충분히 낮으면 (τs+1) 형태의 항은 1로 근사할 수 있어 전달함수가 단순해진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

부동작 시간요소의 벡터 궤적

G(j\omega)=e^{-j\omega L}

은 크기 1, 위상

-\omega L

이므로 원점 중심의 원이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

주파수 응답과 응답속도

대역폭이 넓을수록 높은 주파수 성분을 통과시켜 응답이 빠르고, 좁을수록 응답이 느리다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

주파수 응답의 극한

G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(j\omega+1)}

은

\omega\to\infty

에서 크기

0

, 위상

-180^{\circ}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

주파수 응답의 극한값 확인법

G(jω)의 ω=0, ω=∞ 극한값이 벡터 궤적의 시작점·끝점과 일치하는지 확인하면 후보를 빠르게 좁힐 수 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

주파수 전달함수의 벡터 궤적

\omega=0

의 값이 궤적의 시작점,

\omega\to\infty

의 값이 끝점이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

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