보드선도의 이득과 절점주파수

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 7번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 2차 · 2013년 1차 · 2015년 3차 · 2016년 3차 · 2018년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 1차

2 쉬운 설명

보드선도는 시스템의 주파수 응답을 이득(dB)과 위상(˚) 두 그래프로 나타낸 그림이다. 이득 그래프에서 기울기가 꺾이기 시작하는 주파수를 절점 주파수(코너 주파수)라고 한다.

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데시벨(dB)은 두 값의 비를 로그로 줄여서 나타내는 단위이다. 전압비 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ (출력 전압을 입력 전압으로 나눈 비)의 데시벨 값은 $\mathrm{dB}=20\log_{10}\frac{V_{2}}{V_{1}}$ 로 구하며, 전압비가 10 배 커질 때마다 20 dB 씩 늘어난다. 전압비가 $10^{6}$ 이면 상용로그 값이 6 이므로 $20\log_{10}10^{6}=120\,\mathrm{dB}$ 이다.

주파수전달함수는 전달함수의 $s$ 자리에 $j\omega$ 를 넣은 것이다. 여기서 $\omega$ 는 신호의 각주파수, $j$ 는 허수단위이다. 이 함수의 크기 $|G(j\omega)|$ 에 $20\log_{10}$ 을 취해 dB 로 나타낸 값이 이득이고, 위상은 $G(j\omega)$ 의 편각이다. 크기가 1 이면 $0\,\mathrm{dB}$ 이고, 크기가 1 보다 작으면 dB 는 음수가 된다.

분모에 $j$ 가 있는 경우를 보자. $\frac{1}{j}=-j$ 이므로 $G(j\omega)=\frac{1}{j100\omega}$ 은 위상이 $-90^{\circ}$ 이며, 이는 신호가 4분의 1주기 뒤처진다는 뜻이다. $\omega=1$ 을 넣으면 크기가 0.01 이므로 이득은 $20\log_{10}(0.01)=20\times(-2)=-40\,\mathrm{dB}$ 이다(2021-08-14 시행 63번). 이득과 위상각이 한 쌍으로 주어지는 보기에서는 둘 다 맞아야 정답이다.

적분요소 $G(s)=\frac{K}{s}$ 의 크기는 $\frac{K}{\omega}$ 이므로 주파수가 커질수록 이득이 줄어든다. 주파수가 10 배가 되는 구간을 1 decade 라 하는데, 이 구간에서 이득은 10분의 1 이 되어 dB 로는 20 이 줄어든다. 그래서 이득곡선의 기울기는 −20 dB/dec 이고, 미분요소는 반대로 +20 dB/dec 이다. 2015-08-16 시행 64번의 해설은 $s$ 가 분모에 한 번 있으면 −20, 분자에 한 번 있으면 +20 이고, 분모에 $s$ 가 하나 더 붙을 때마다 −20 이 더해진다고 정리한다.

1차 지연 요소 $\frac{1}{1+\tau s}$ 는 $\omega_{0}=\frac{1}{\tau}$ 에서 꺾인다. $\tau$ (타우)는 시스템이 반응하는 데 걸리는 대표 시간인 시정수이고, 시정수가 클수록 천천히 반응하며 절점 주파수는 낮아진다. $G(s)=\frac{1}{5s+1}$ 에서는 분모를 $1+\tau s$ 꼴로 보아 시정수가 5 이고, 절점 주파수는 $\omega_{0}=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{5}=0.2\,\mathrm{rad/sec}$ 이다(2010-05-09 시행 67번).

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 전압비의 dB 는 전압비의 상용로그에 20 을 곱한 값이고, 10 배마다 20 dB 이다. 크기

1

은

0\,\mathrm{dB}

, 크기

10

은

20\,\mathrm{dB}

, 크기

0.1

은

-20\,\mathrm{dB}

이다.

암기팁 적분은 −20 dB/dec, 미분은 +20 dB/dec. 분모가

j

하나뿐인

\displaystyle \frac{1}{j}

꼴이면 위상은

-90^{\circ}

함정 주의

\displaystyle G(s)=\frac{1}{1+\tau s}

의 절점 주파수는

\displaystyle \omega_{0}=\frac{1}{\tau}

이다.

\tau

를 그대로 쓰지 않는다.

절점 주파수는 시정수 $\tau$ 의 역수이다. 2010-05-09 시행 67번에서 $\tau=5$ 이므로 0.2 rad/sec 가 답이고, 0.5 rad/sec 는 $\tau=2$ 일 때의 절점 주파수, 2 rad/sec 는 시정수가 0.5 일 때의 절점 주파수, 5 rad/sec 는 $\tau$ 값 자체를 절점 주파수로 잘못 읽은 값이다.
전압비를 dB 로 바꿀 때는 전압비의 상용로그에 20 을 곱한다. 2016-08-21 시행 76번에서 $20\log_{10}10^{6}=120\,\mathrm{dB}$ 이고, 20·60·100 은 정답 120 과 다른 값이다.
크기와 dB 의 대응: 크기 1 은 $0\,\mathrm{dB}$ , 크기 10 은 $20\,\mathrm{dB}$ , 크기 0.1 은 $-20\,\mathrm{dB}$ 이다. 2013-03-10 시행 63번(그림 문항)의 해설은 $\omega=0.1$ 에서 크기를 약 1 로 구하고 이득을 $20\log_{10}1=0\,\mathrm{dB}$ 로 구했다.

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크기가 1 보다 작으면 dB 가 음수이다. 2021-08-14 시행 63번에서 크기 0.01 의 이득은 $20\log_{10}(0.01)=-40\,\mathrm{dB}$ 이며, −20 dB 로 잡으면 크기 부분이 틀린다. 20 dB·40 dB 처럼 양수로 잡은 보기는 크기가 1 보다 작다는 점과 어긋난다.
분모가 $j$ 하나뿐인 $\frac{1}{j}$ 꼴이면 위상은 $-90^{\circ}$ 이다. 2021-08-14 시행 63번의 $\frac{1}{j}=-j$ 에서 정답의 위상은 $-90^{\circ}$ 이고, $90^{\circ}$ 로 부호를 반대로 잡은 보기는 오답이다. 2018-04-28 시행 61번(그림 문항)의 해설은 분모의 $0.1s+1$ 두 개가 $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$ 에서 각각 $1+j1$ 이 되어 $-45^{\circ}$ 씩이고 분모의 $s$ 가 $-90^{\circ}$ 라서 위상이 $-90^{\circ}-2\times45^{\circ}=-180^{\circ}$ 이며, 이득은 20 dB 이다.
적분요소 $\frac{K}{s}$ 의 이득곡선 기울기는 1 decade 당 −20 dB 이고 미분요소는 +20 dB 이다. 2015-08-16 시행 64번의 정답은 −20 이다.