Z변환의 정의와 표본화

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 27번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2010년 3차 · 2011년 1차 · 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2012년 2차 · 2012년 3차 · 2013년 3차 · 2014년 1차 · 2015년 1차 · 2015년 2차 · 2015년 3차 · 2016년 1차 · 2016년 2차 · 2017년 1차 · 2018년 3차 · 2019년 1차 · 2019년 3차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

z변환은 신호를 일정한 간격 $T$ 마다 뽑은(표본화한) 값 $f(kT)$ 에 $z^{-k}$ 를 곱해 $k=0$ 부터 모두 더한 것이며, $F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}$ 로 쓴다.

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샘플러는 연속 신호를 주기 $T$ 마다 읽어 이산 신호로 바꾸는 장치이고, $z^{-1}$ 은 표본 한 칸( $T$ )만큼 늦춘다는 표시이다. 이 장에서는 변수를 소문자 $z$ 로 쓴다. 2011-08-21 시행 67번처럼 같은 변수를 대문자 $Z$ 로 적은 문항도 있고, 2010-03-07 시행 61번 보기는 표본 간격 $T$ 를 소문자 $t$ 로 적었다.

지수함수 $e^{-at}$ 를 $t=kT$ 에서 뽑으면 $e^{-akT}=(e^{-aT})^{k}$ 이다. $k$ 가 하나 늘 때마다 같은 수가 곱해지는 등비수열이다. 정의에 넣으면 공비가 $e^{-aT}z^{-1}$ 인 등비급수이고, 합은 $\frac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}$ 이며 분자와 분모에 $z$ 를 곱하면 $\frac{z}{z-e^{-aT}}$ 가 된다. 단위계단 $u(t)$ 는 표본값이 계속 1 이어서 $1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots$ 이고, 합은 $\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}$ 이다( $|z|>1$ ).

자주 쓰는 짝은 표로 외운다. 지수함수 $e^{-at}$ 는 z변환이 $\frac{z}{z-e^{-aT}}$ , 라플라스 변환이 $\frac{1}{s+a}$ 이다. 반대로 z변환 식에서 시간함수를 읽을 수도 있다. 예를 들어 $\frac{3z}{z-e^{-3T}}$ 처럼 주어지면 분모 지수에서 $a$ 를, 분자 계수에서 크기를 읽어 시간함수 $3e^{-3t}$ 를 얻고 라플라스 변환 $\frac{3}{s+3}$ 을 쓴다. 단위계단의 z변환 $\frac{z}{z-1}$ 은 라플라스 변환의 $\frac{1}{s}$ 에 대응하고 표본주기 $T$ 가 들어가지 않는다. 단위임펄스의 z변환은 1 이다.

주기가 $T$ 일 때 $s$ 평면의 점은 $z=e^{sT}$ 로 옮겨진다. $s=\sigma+j\omega$ 에서 $\sigma$ 는 실수부, $\omega$ 는 각주파수이고 $|z|=e^{\sigma T}$ 이다. $T$ 는 양수이므로 $\sigma$ 의 부호가 단위원( $z$ 평면에서 원점을 중심으로 반지름이 1 인 원)의 안팎을 정한다. 좌반평면( $\sigma<0$ )은 $|z|<1$ 인 단위원 안쪽(내점), 허수축( $\sigma=0$ )은 $|z|=1$ 인 원주상의 점, 우반평면( $\sigma>0$ )은 $|z|>1$ 인 외점에 대응한다. 연속계는 근이 $s$ 평면의 좌반평면에 있으면 안정하다. 표본화한 신호를 다루는 이산시간 제어계인 샘플치 제어계는 특성방정식 $1+G(z)H(z)=0$ 의 근이 단위원 안쪽에 있어야 한다.

신호 $e(t)$ 의 z변환을 $E(z)$ 라 하면 $E(z)=e(0)+e(T)z^{-1}+e(2T)z^{-2}+\cdots$ 이다. $z$ 를 무한대로 보내면 $z^{-1}$ 부터 뒤쪽 항이 모두 0 이 되어 $e(0)$ 만 남는다. 그래서 초기값은 $e(0)=\lim_{z\to\infty}E(z)$ 이다. 최종값은 $e(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})E(z)$ 이며 연속계의 $\lim_{s\to0}sE(s)$ 와 같은 역할을 한다. $z=1$ 이 $s$ 평면의 원점에 해당하기 때문이고, 이 식은 $E(z)$ 의 극점이 단위원 안에 있거나 $z=1$ 에 하나일 때 쓴다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

\displaystyle e^{-at}\longleftrightarrow\frac{1}{s+a}\longleftrightarrow\frac{z}{z-e^{-aT}}

— 세 표현을 짝지어 외운다. 단위계단은

\displaystyle \frac{z}{z-1}

, 단위임펄스는 1 이다.

암기팁 초기값은

z\to\infty

, 최종값은

z\to1

에서

(1-z^{-1})

를 곱해서. 좌반평면

\sigma&lt;0

→

|z|&lt;1

→ 단위원 안쪽.

함정 주의 지수의 부호를 구별한다.

\displaystyle \frac{1}{s-a}

의 z변환은

\displaystyle \frac{1}{1-z^{-1}e^{aT}}

이고, 지수의 부호가 반대이면

\displaystyle \frac{1}{s+a}

에 대응하는 식이 된다(2011-03-20 시행 61번). 삼각함수

\sin\omega t

는 오일러 공식으로 지수함수 두 개로 나눠 변환하며 z변환은

\displaystyle \frac{z\sin\omega T}{z^{2}-2z\cos\omega T+1}

이다. 분모 가운데 항에는

\cos\omega T

와 음의 부호가 들어간다.

$e^{-at}$ 의 z변환은 $\frac{z}{z-e^{-aT}}$ 이고 분모 부호가 마이너스이다. 2021-05-15 시행 69번의 오답은 $\frac{2z}{z-e^{aT}}$ (분자에 계수 2 가 있고 분모 지수의 부호가 +), $\frac{1}{z+e^{aT}}$ (분자가 1 이고 분모가 $z+e^{aT}$ 로 부호가 +), $\frac{z}{z+e^{-aT}}$ (분모의 부호가 +)이다.
z변환에서 라플라스 변환으로 옮길 때는 시간함수를 먼저 찾는다. 2011-08-21 시행 67번에서 $\frac{Z}{Z-e^{-aT}}$ 는 $e^{-at}$ 이므로 정답은 $\frac{1}{s+a}$ 이다. 오답은 다른 시간함수의 짝이다. $\frac{1}{(s+a)^{2}}$ 은 $te^{-at}$ , $\frac{1}{1-e^{-Ts}}$ 은 주기 $T$ 로 반복되는 임펄스 열, $\frac{a}{s(s+a)}$ 는 $1-e^{-at}$ 의 라플라스 변환이다.
식을 조각으로 쪼개 읽는다. 분모가 $(z-1)(z-e^{-aT})$ 이고 분자가 $(1-e^{-aT})z$ 이면 $\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-aT}}$ 이므로 원래 신호는 $1-e^{-at}$ , 표본 시각의 값은 $1-e^{-akT}$ 이다. 빼는 순서가 부호를 정한다. 라플라스 함수 $X(s)$ 를 z변환할 때는 부분분수로 나눠 시간함수를 얻고 각 항에 기본 공식을 쓴 뒤 통분한다(2010-07-25 시행 65번).

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

$\sigma<0$ 은 단위원 안쪽(내점), $\sigma=0$ 은 $|z|=1$ 인 원주상의 점, $\sigma>0$ 은 외점이다. 좌반평면이 외점이나 원주상의 점, z평면 전체로 간다는 보기는 틀리다. 단위원 밖에 놓일 근의 개수는 실수부가 양수인 근만 센다. $(s+1)(s+2)(s-3)=0$ 의 근 $s=-1,-2,3$ 중 $s=3$ 하나이며(2017-03-05 시행 65번), 표본화 주기 $T$ 의 값과 무관하다.
초기값은 $\lim_{z\to\infty}E(z)$ , 최종값은 $\lim_{z\to1}(1-z^{-1})E(z)$ 이다. 2015-08-16 시행 69번 해설은 초기값에 $zE(z)$ 꼴이나 $z\to0$ 은 이 정의와 맞지 않는다고 한다. 최종값 식은 $E(z)$ 의 극점이 단위원 안에 있거나 $z=1$ 에 하나일 때 쓴다.
표본기가 없이 이어진 블록은 합쳐서 변환하고, 표본기로 나뉜 블록은 따로 z변환해 곱한다(2016-03-06 시행 64번 해설). 표본기의 표본 간격을 지연 시간과 같은 $T$ 로 보면 시간지연 $T$ 는 라플라스 영역의 $e^{-Ts}$ 이고 z영역에서는 $z^{-1}$ 을 곱하는 것이어서 전달함수가 $G(z)z^{-1}$ 이 된다(2018-08-19 시행 63번).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 3차 회로이론 및 제어공학 67번 — z변환에 대응하는 라플라스 변환 찾기Z-변환함수 Z/(Z-

e^{-aT}

)에 대응되는 라플라스 변환 함수는?옳은 것 고르기해설 보기 →2012년 3차 회로이론 및 제어공학 64번 — s 좌반평면이 가는 z평면 영역샘플러의 주기를 T라 할 때 S-평면상의 모든 점은 식 Z=

e^{sT}

에 의하여 Z-평면상에 사상 된다. S-평면의 좌반평면상의 모든 점은 Z-평면상 단위원의 어느 부분으로 사상되는가?옳은 것 고르기해설 보기 →2021년 2차 회로이론 및 제어공학 69번 — 지수함수의 z변환 구하기함수 f(t)=

e^{-at}

의 z변환 함수 F(z)는?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 23개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

Z변환의 정의와 표본화

이산시간 신호의 z변환은 기본 함수(상수, 지수함수 등)의 z변환표를 조합해 구하며, 부분분수분해로 얻은 시간함수의 각 항에 표를 적용한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 2문항이 인용

기본 신호의 z변환표

단위계단함수 u(t)의 z변환은 z/(z-1)이며, 이는 라플라스변환에서 1/s에 대응하는 z영역의 기본 공식이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 2문항이 인용

1-$e^{-at}$ 형태 신호의 Z변환쌍

f(t)=1-

e^{-at}

의 Z변환은 (1-

e^{-aT}

)z/[(z-1)(z-

e^{-aT}

)]이며, 표본화 순간의 값은 f(kT)=1-

e^{-akT}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

S-Z 사상

z=e^{sT}

에서

|z|=e^{\sigma T}

이므로 좌반평면은 단위원 안쪽, 허수축은 단위원 위로 옮겨진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

Z 변환 쌍

\frac{z}{z-1}

의 역변환은

1

\frac{z}{z-e^{-aT}}

의 역변환은

e^{-akT}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

s 평면과 z 평면의 대응

e^{sT}

에서 실수부가 양수인 근은 단위 원 밖에 놓인다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

s 평면과 z 평면의 사상

z=e^{sT}

에서

|z|=e^{\sigma T}

이므로

\sigma

의 부호가 단위원의 안·위·밖을 정한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

z 변환과 시간지연

시간을

T

만큼 늦추는 것은

z

영역에서

z^{-1}

을 곱하는 것이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

z 변환의 정의

F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}

이며

e^{-akT}

는 공비

e^{-aT}z^{-1}

인 등비급수이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

z 변환의 최종값 정리

e(∞) =

\lim_{z→1}

(1 −

z^{−1}

)E(z) (E(z) 의 극점이 단위원 안에 있거나 z = 1 에 하나일 때).

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

z 역변환

\frac{Y(z)}{z}

를 부분분수로 전개한 뒤

z

를 곱해

\frac{z}{z-a}

꼴의 항으로 만들어 역변환한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

z변환과 등비급수

f(kT) =

e^{−akT}

의 z변환은 공비

e^{−aT}

z^{−1}

인 등비급수의 합 z/(z −

e^{−aT}

) 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

z변환과 라플라스 변환의 대응

e^{-at}

는 라플라스 변환

\frac{1}{s+a}

, z변환

\frac{z}{z-e^{-aT}}

에 대응한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

z변환의 정의

F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{-k}

이며, 공비

r

인 지수 수열은

\frac{z}{z-r}

로 변환된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

z변환의 초기값 정리

e(0)=\lim_{z\to\infty}E(z)

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

기본 함수의 z변환표

계단함수 1과 지수함수

e^{-at}

의 z변환을 조합하면 1-

e^{-at}

의 z변환식 형태가 나온다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

단위 계단 함수의 z변환

u(kT)=1

이므로

F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}z^{-k}=\frac{z}{z-1}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

삼각함수의 z 변환

\sin\omega t

의 z 변환은

\frac{z\sin\omega T}{z^{2}-2z\cos\omega T+1}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

샘플치 제어계의 안정 조건

샘플치 제어계는 특성방정식의 근이

z

평면의 단위원 안쪽에 있을 때 안정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

이산치계의 전달함수

표본기로 나뉜 블록은 각각 z변환한 뒤 곱하며,

Z\left[\frac{1}{s+a}\right]=\frac{z}{z-e^{-aT}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

지수함수의 Z변환

표본화된 지수함수

e^{-anT}

의 합은 공비

e^{-aT}

/z 인 등비급수가 되어 F(z)=z/(z-

e^{-aT}

)로 정리된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

지수함수의 z 변환과 라플라스 변환

e^{-at}

의 z 변환은

\frac{z}{z-e^{-aT}}

, 라플라스 변환은

\frac{1}{s+a}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

지수함수의 변환

e^{-at}

의 Z 변환은

\frac{Z}{Z-e^{-aT}}

, 라플라스 변환은

\frac{1}{s+a}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 28문항 중 1문항이 인용

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