상태방정식

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 20번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 2차 · 2012년 1차 · 2012년 2차 · 2013년 3차 · 2014년 2차 · 2014년 3차 · 2016년 1차 · 2017년 3차 · 2018년 1차 · 2018년 2차 · 2019년 1차 · 2019년 3차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

상태방정식은 시스템 내부 상태 $x$ 의 시간 변화를 $\dot{x}=Ax+Bu$ 꼴의 1차 연립 미분방정식으로 나타낸 식이다.

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$x$ 는 상태변수를 모은 벡터이고 $\dot{x}$ 는 이를 시간으로 미분한 값이며 $u$ 는 입력이다. $A$ 는 상태가 스스로 변하는 방식을 정하는 시스템 행렬(계수 행렬이라고도 한다)로 상태변수 개수와 같은 크기의 정사각 행렬이고, $B$ 는 입력이 상태에 들어오는 방식을 정하는 입력 행렬이다. 문항에 따라 상태를 $X$ , 입력을 $r$ 로 적기도 하지만 같은 양이다.

높은 차수의 미분방정식은 상태변수를 차수만큼 두어 1차 방정식으로 쪼갠다. $\frac{d^{2}c}{dt^{2}}+5\frac{dc}{dt}+3c=r$ 에서 $x_{1}=c$ , $x_{2}=\frac{dc}{dt}$ 로 두면 $\dot{x}_{1}=x_{2}$ 이므로 첫 행은 $0,\,1$ 이다. 둘째 식은 방정식을 가장 높은 차수의 미분에 대해 풀어 $\dot{x}_{2}=-3x_{1}-5x_{2}+r$ 이 되고, 계수를 모으면 $A=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-5\end{pmatrix}$ 이다. 입력 $r$ 의 계수는 $B$ 로 간다. 출력 $c$ 와 그 미분 $\dot{c},\ \ddot{c}$ 를 차례로 상태변수로 잡은 3차 방정식이면 마지막 행은 계수의 부호를 바꿔 낮은 차수부터 놓은 것이다.

특성방정식은 $|sI-A|=0$ 이다. $I$ 는 단위행렬(대각선이 1 이고 나머지가 0)이고 $s$ 는 라플라스 변수이다. 이 문단은 입력을 $r$ 로 쓴 문항의 식을 그대로 옮긴다( $u$ 와 같은 양). 초기값을 0 으로 두고 $\dot{x}=Ax+Br$ 을 라플라스 변환해 정리하면, 입력 $r$ 의 라플라스 변환을 $R(s)$ 라 할 때 $X(s)=(sI-A)^{-1}BR(s)$ 이고 역행렬의 분모가 $|sI-A|$ 이다. 이 분모가 0 이 되는 조건이 특성방정식이며, 그 근이 계의 극이고 $A$ 의 고유값과 같다. 입력 행렬 $B$ 는 극을 정하지 않아 특성방정식에 들어가지 않는다.

$2\times2$ 행렬식은 대각선 곱에서 반대 대각선 곱을 뺀 값이다. $A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}$ 이면 $sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}$ 이고 $|sI-A|=s(s+3)-(-1)(2)=s^{2}+3s+2$ 이다. 인수분해하면 $(s+1)(s+2)=0$ 이므로 근은 $s=-1,-2$ 이다. 근의 실수부가 모두 음수이면 시간이 지나며 반응이 잦아드는 안정한 시스템이다.

입력이 없는 $\dot{x}=Ax$ 의 해는 $x(t)=\Phi(t)x(0)$ 이고, 초기 상태를 시간 $t$ 뒤의 상태로 옮기는 행렬 $\Phi(t)$ 가 천이행렬(상태천이행렬이라고도 하며 $\phi(t)$ 로 적은 문항도 있다)이다. 라플라스 변환하면 $sX(s)-x(0)=AX(s)$ 이므로 $X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)$ 이고, 역변환하면 $\Phi(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]$ 이다. 이는 $e^{At}$ 와 같고 $\frac{d\Phi(t)}{dt}=A\cdot\Phi(t)$ 를 만족한다. 천이행렬은 $A$ 로 만들며 $B$ 는 나오지 않는다. 상태가 옮겨 가는 과정을 나타내므로 정상상태응답이 아니다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 천이행렬

\Phi(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]

, 특성방정식

|sI-A|=0

— 둘 다

A

로만 만든다.

암기팁

A

가

2\times2

행렬이면

s^{2}+(\text{대각합 부호 반대})s+\text{행렬식}

이다. 여기서 대각합과 행렬식은 모두

A

의 것이고, 대각합은 대각선 성분의 합이다. 이 공식을 2021-05-15 시행 63번의

A

에 쓰면

s^{2}+3s+2

가 나온다.

함정 주의 출력과 그 미분을 차례로 상태변수로 잡으면 마지막 줄에는 계수의 부호를 바꿔 놓는다(

-3,\,-5

처럼). 출력을

y=Cx

로 쓰면 전달함수는

C(sI-A)^{-1}B

이며, 위쪽에 1 이 한 칸씩 이어지고 마지막 줄에 계수가 놓인

A

이면 마지막 줄

-a_{0},-a_{1},-a_{2}

의 부호를 바꾼 값이 분모

s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}

의 계수이다(2019-08-04 시행 65번).

천이행렬은 $\Phi(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]$ 이다. 2013-08-18 시행 66번의 오답은 $\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)]$ (역행렬이 아니라 행렬 자체를 역변환한 식), $\mathcal{L}^{-1}[(sI-B)]$ (입력 행렬 $B$ 가 들어 있음), $\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-B)^{-1}\right]$ (형태는 맞지만 $A$ 자리에 $B$ 가 들어 있음)이다.
천이행렬(상태천이행렬)에 대한 옳은 설명은 $\Phi(t)=e^{At}$ (정의), $\frac{d\Phi(t)}{dt}=A\cdot\Phi(t)$ ( $e^{At}$ 를 미분한 결과), $\Phi(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]$ (라플라스 변환으로 구한 식)이다. $\Phi(t)$ 를 시스템의 정상상태응답이라 한 보기는 틀린 설명이다(2019-03-03 시행 68번).
특성방정식은 $|sI-A|=0$ 이고 $B$ 는 쓰지 않으며, 우변은 행렬이 아니라 숫자 0 이다(2012-05-20 시행 67번 해설). 2021-05-15 시행 63번 해설은 $s^{2}+3s+2$ 의 근의 합( $-3$ )과 곱(2)으로 보기를 가린다. $1,-3$ 은 합이 $-2$ , $-2,-3$ 은 곱이 6, $-1,-3$ 은 곱이 3 이라 맞지 않는다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

출력 $c$ 와 그 미분을 차례로 상태변수로 잡은 미분방정식에서 $A$ 를 만들 때 윗줄들은 1 이 한 칸씩 옮겨 간 모양이고 마지막 줄은 계수의 부호를 바꿔 낮은 차수부터 놓는다. 2차 $\frac{d^{2}c}{dt^{2}}+5\frac{dc}{dt}+3c=r$ 의 마지막 줄은 $-3,\,-5$ , 3차 $\frac{d^{3}c}{dt^{3}}+5\frac{d^{2}c}{dt^{2}}+\frac{dc}{dt}+2c=r$ 의 마지막 줄은 $-2,\ -1,\ -5$ 이다. 2020-06-06 시행 66번 해설은 첫 행이 $0,\,1$ 인 보기를 먼저 골라 후보를 줄인다.
천이행렬은 $e^{At}=I+At+\frac{A^{2}t^{2}}{2!}+\cdots$ 로도 구하며, $A^{2}$ 이 영행렬이면 $I+At$ 만 남는다. $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ 이면 $\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$ 이다(2017-08-26 시행 65번). $t=0$ 이면 $e^{0}=I$ 이므로 단위행렬이 되지 않는 보기는 후보에서 뺀다. $(sI-A)^{-1}$ 은 부분분수로 나눠 역변환하고, 고유값이 $-1$ , $-2$ 이면 $e^{-t}$ , $e^{-2t}$ 가 나타난다(2020-09-26 시행 62번).
2차 제어계는 $A$ 가 $2\times2$ 이고 $x$ 가 $2\times1$ 벡터이다. 특성방정식의 근이 서로 다른 음의 실근이면 진동하지 않는 과제동이고, 근이 복소수이면 진동하는 부족제동이다(2016-03-06 시행 62번). 같은 시스템을 상태변수를 달리 골라 상태방정식의 형태가 달라져도 시간응답과 주파수 응답은 변하지 않는다(2012-03-04 시행 67번).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2013년 3차 회로이론 및 제어공학 66번 — 천이행렬을 구하는 식 고르기상태 방정식이 다음과 같은 계의 천이행렬 [그림60] 는 어떻게 표시되는가? [그림61]옳은 것 고르기해설 보기 →2019년 1차 회로이론 및 제어공학 68번 — 상태천이행렬에 대한 틀린 설명n차 선형 시불변 시스템의 상태방정식을 [그림37] 로 표시할 때 상태천이 행렬 [그림38] (n×n행렬)에 관하여 틀린 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →2021년 2차 회로이론 및 제어공학 63번 — 상태방정식의 특성방정식 근 구하기다음과 같은 상태방정식으로 표현되는 제어시스템의 특성방정식의 근(

s_{1}

s_{2}

)은? [그림30]계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 13개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

상태방정식

n 차 미분방정식은 상태변수를 n 개 잡아 1 차 연립 방정식으로 바꿀 수 있고, 마지막 행에 계수의 음수가 낮은 차수부터 들어간다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 4문항이 인용

상태방정식의 특성방정식

|sI-A|=0을 풀면 시스템 행렬 A의 고유값(특성근)을 구하는 특성방정식이 된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 4문항이 인용

상태천이행렬

\Phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]

이고

\frac{d\Phi}{dt}=A\Phi

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 2문항이 인용

미분방정식의 상태방정식 표현

출력과 그 미분을 상태변수로 잡으면

n

차 미분방정식은

\dot{x}=Ax+Bu

꼴이 되고 마지막 행에 계수의 부호를 바꾼 값이 놓인다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

상태 천이행렬

\dot{X}=AX

의 해는

X(t)=e^{At}X(0)

이며

\phi(t)=e^{At}

가 천이행렬이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

상태공간 표현

같은 시스템은 상태변수를 달리 골라 상태 방정식의 모양이 달라져도 입력과 출력의 관계는 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

상태공간 표현과 전달함수

\dot{x}=Ax+Bu,\;y=Cx

의 전달함수는

C(sI-A)^{-1}B

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

상태방정식과 특성방정식

상태방정식 ẋ = Ax + Bu 의 극점은 |sI − A| = 0 의 근이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

상태방정식으로의 변환

x_1=c,\ x_2=\dot c

로 두면

\dot x_1=x_2,\ \dot x_2=-4x_1-5x_2+r

이 된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

상태방정식의 천이행렬

\dot{x}=Ax

의 해는

x(t)=\Phi(t)x(0)

이고

\Phi(t)=\mathcal{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}]

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

상태방정식의 특성 방정식

\dot{x}=Ax+Br

의 특성 방정식은

|sI-A|=0

이며 그 근이 계의 극이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

상태천이행렬의 계산

Φ(t)=L⁻¹[(sI-A)⁻¹]이며, (sI-A)⁻¹의 각 성분을 부분분수로 나눠 라플라스 역변환하면 구할 수 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

제어정준형 상태방정식 변환

n차 미분방정식은 상태변수를 원변수와 그 미분들로 잡으면 A행렬이 companion form(마지막 줄만 원래 계수의 음수)이 되는 상태방정식으로 바뀐다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

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