점전하의 전계와 중첩

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 8번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 2차 · 2014년 2차 · 2016년 3차 · 2017년 2차 · 2018년 3차 · 2019년 2차 · 2021년 1차 · 2021년 2차

2 쉬운 설명

점전하의 전계는 점전하 $Q$ 가 거리 $r$ 에 만드는 전계로 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$ 이다. 거리의 제곱에 반비례하고, 방향은 양전하에서 멀어지는 쪽이며, 단위는 $\mathrm{V/m}$ 이다. 계산할 때는 $E=9\times10^{9}\times\frac{Q}{r^{2}}$ 꼴로 쓴다.

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전계는 크기와 방향을 가진 벡터라서, 여러 전하가 만드는 전계는 각각을 따로 구해 벡터로 더한다(중첩). 전하가 모두 같은 직선 위에 있으면 부호를 포함해 더하는 대수합이 되고, 정육각형의 꼭짓점마다 같은 전하가 놓이면 마주 보는 전계끼리 크기가 같고 방향이 반대여서 서로 지워지므로 중심의 합성 전계는 0 이다. 대칭이라도 반원 선전하의 중심에서는 가로 성분만 지워지고 세로 성분이 남는다.

같은 직선 위의 전하 배치를 비교하는 문제는 $\frac{Q}{r^{2}}$ 의 합만 비교하면 된다. 3 C, 1 C, $-3$ C 을 $x=1,2,3$ 위치에 놓는 문제에서 보기 ① 은 $\frac{3}{1}+\frac{1}{4}-\frac{3}{9}\approx2.92$ 이다. 보기 ② 는 $\frac{1}{1}-\frac{3}{4}+\frac{3}{9}\approx0.58$ , 보기 ③ 은 $-\frac{3}{1}+\frac{3}{4}+\frac{1}{9}\approx-2.14$ , 보기 ④ 는 $-\frac{3}{1}+\frac{1}{4}+\frac{3}{9}\approx-2.42$ 로 크기가 모두 ① 보다 작다. 큰 전하일수록 가까운 곳에 두어야 합이 커진다.

좌표로 주어진 점전하의 전계는 크기 × 방향 단위벡터로 구한다. 점 $(2,2,2)$ 의 $10^{-9}$ 전하가 점 $(2,5,6)$ 에 만드는 전계를 예로 들면, 먼저 좌표 차이 $(0,3,4)$ 로 거리 $r=\sqrt{0^{2}+3^{2}+4^{2}}=5\,\mathrm{m}$ 를 구한다. 크기는 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{9\times10^{9}\times10^{-9}}{5^{2}}=\frac{9}{25}=0.36\,\mathrm{V/m}$ 이다. 방향 단위벡터는 $(0,0.6,0.8)$ 이므로 $E=0.36\times(0.6\,a_{y}+0.8\,a_{z})=0.216\,a_{y}+0.288\,a_{z}\,[\mathrm{V/m}]$ 이다. 좌표 차이가 $y$ 3, $z$ 4 이므로 $z$ 성분이 더 커야 하고, 두 성분의 자리가 바뀐 보기는 틀리다. 성분이 $3:4$ 비가 아니거나(④), 성분으로 다시 잰 크기가 0.36 V/m 가 아닌 보기(① 약 2.9 V/m)도 틀리다.

단위벡터는 방향은 같고 길이가 1 인 벡터이며, 벡터를 그 벡터의 길이로 나누어 얻는다. 원점의 양전하가 점 $P(2,-2,4)$ 에 만드는 전계의 방향은 원점에서 $P$ 로 향하는 위치벡터 방향이고, 그 단위벡터는 $\frac{(2,\,-2,\,4)}{\sqrt{24}}=(0.41,\,-0.41,\,0.82)$ 이다. 성분의 부호가 모두 반대이면 전하 쪽으로 향하는 방향이라 틀리고, 길이가 약 0.76 이라 1 이 아닌 보기도 단위벡터가 아니다.

두 점전하의 전계가 0 이 되려면 두 전계가 크기는 같고 방향은 반대여야 한다. 부호가 다르면 두 전하 사이에서는 방향이 같아 지워지지 않고, 크기가 작은 전하 쪽 바깥에서 찾는다. 원점의 $+1\,\mathrm{C}$ 과 점 $(2,0)$ 의 $-2\,\mathrm{C}$ 이면 $\frac{1}{x^{2}}=\frac{2}{(x-2)^{2}}$ 을 풀어 $x=-2-2\sqrt{2}$ 이다. 큰 전하 바깥쪽은 큰 전하의 전계가 항상 더 세서 상쇄되지 않는다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 점전하의 전계:

\displaystyle E=9\times10^{9}\times\frac{Q}{r^{2}}

. 크기 × 방향 단위벡터.

암기팁 전계 합 크기는

\displaystyle \left|\sum\frac{Q}{r^{2}}\right|

— 큰 전하일수록 가까운 곳에. 단위벡터 = 벡터 ÷ 벡터의 크기.

함정 주의 좌표 문제에서

y

성분과

z

성분의 자리가 바뀐 보기, 양전하의 전계인데 성분 부호가 모두 반대인 보기, 길이가 1 이 아닌 보기는 오답이다.

점전하의 전계 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$ 는 거리 제곱에 반비례하고, 방향은 양전하에서 멀어지는 쪽이다. 구의 겉넓이 $4\pi r^{2}$ 이 분모에 오는 것이 점전하의 특징이다.
전계는 벡터이다. 같은 직선 위에서는 부호를 포함한 합 $\left|\sum\frac{Q}{r^{2}}\right|$ 로 비교하고, 정육각형의 꼭짓점마다 같은 전하가 있으면 중심에서 마주 보는 짝끼리 지워져 0 이다. 대칭이라고 해서 항상 0 은 아니다(반원 선전하는 세로 성분이 남는다).
좌표 문제 순서: 좌표 차이 → 거리 → 크기 → 단위벡터(좌표 차이 ÷ 거리) → 크기 × 단위벡터. 성분의 자리·부호·크기를 끝에 다시 확인한다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

단위벡터는 길이가 1 이어야 한다. 길이가 1 이 아닌 보기(약 0.76 등)나, 양전하의 전계인데 성분 부호가 모두 반대인 보기는 오답이다.
전계가 0 인 점: 같은 부호면 두 전하 사이, 다른 부호면 작은 전하 바깥쪽이다. 다른 부호일 때 두 전하 사이는 방향이 같아 0 이 될 수 없고, 큰 전하 바깥쪽에서도 상쇄되지 않는다.
반원 모양 선전하의 중심 전계는 가로 성분이 상쇄되고 세로 성분만 남아 $\frac{\rho}{2\pi\varepsilon_{0}r}$ 이다.