가우스 법칙과 전기력선

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 25번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2010년 3차 · 2011년 1차 · 2011년 3차 · 2012년 2차 · 2013년 1차 · 2013년 2차 · 2013년 3차 · 2014년 1차 · 2014년 2차 · 2014년 3차 · 2015년 1차 · 2015년 3차 · 2016년 1차 · 2016년 2차 · 2017년 1차 · 2018년 1차 · 2018년 2차 · 2018년 3차 · 2019년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2022년 1차

2 쉬운 설명

가우스 법칙은 닫힌 면을 지나 나가는 전기력선의 총수가 그 면 안의 전하 $Q$ 를 유전율로 나눈 값과 같다는 법칙이다. 진공에서는 $\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ 개이고, 전기력선은 전계의 방향과 세기를 나타내려고 그린 가상의 선이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

전기력선의 성질은 틀린 설명을 고르는 문제로 나온다. 전기력선은 정(+)전하에서 나와 부(−)전하로 들어가는데, 「틀린 것」을 고를 때는 시작과 끝을 거꾸로 쓴 문장을 고른다. 선 위 각 점의 접선 방향이 전계의 방향이고 선이 빽빽한 곳이 전계가 센 곳이다. 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향하고, 서로 교차하지 않으며, 전하가 없는 곳에서는 생기거나 사라지지 않고, 그 자신만으로 폐곡선이 되지 않는다. 진공 중 1 C 의 전하에서는 $\frac{1}{\varepsilon_{0}}$ 개가 나온다.

도체와 전기력선의 관계는 이렇다. 정전기 상태의 도체 안에서는 전하가 더 움직이지 않으므로 전계가 0 이고 전기력선도 없다. 도체 표면은 전위가 모두 같은 등전위면이고, 전기력선은 등전위면과 늘 직각으로 만나므로 도체 표면과 직교한다. 표면에서 전기력선이 비스듬히 나온다면 표면을 따라 전계 성분이 생겨 자유전자가 움직이게 되므로, 전하가 멈춘 상태에서는 반드시 수직이다. 그래서 「낮은 전위에서 높은 전위로 향한다」「도체 내부에 존재할 수 있다」「등전위면과 평행하다」는 보기는 틀리다.

도체 표면 바로 바깥의 전계와 그 표면의 전하밀도(표면전하밀도 $\sigma$ )는 $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ 로 이어지므로 크기는 $\sigma=\varepsilon_{0}E$ 이다. 지표면에 전계 300 V/m 가 있으면 $\sigma=8.854\times10^{-12}\times300=2.656\times10^{-9}\,[\mathrm{C/m^{2}}]$ 이다. 부호는 전기력선의 방향으로 정한다. 전계가 땅속(도체 안쪽)으로 향하면 전기력선이 표면으로 들어가는 모양이라 음전하이므로 $\sigma=-2.66\times10^{-9}\,[\mathrm{C/m^{2}}]$ 이다. 부호를 빠뜨린 보기나 크기를 절반으로 계산한 보기는 오답이다.

전속밀도의 발산은 그 점의 체적 전하밀도와 같다. 가우스 법칙의 미분형은 $\rho=\nabla\cdot D$ 이며 전속밀도의 발산이 전하밀도라는 뜻이다. $\nabla\cdot D=\frac{\partial D_{x}}{\partial X}+\frac{\partial D_{y}}{\partial Y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial Z}$ 이다. 즉 각 성분을 자기 방향으로 미분해 더한다. $D=X^{2}i+Y^{2}j+Z^{2}k$ 이면 미분하여 $2X+2Y+2Z$ 가 되고, 점 $(1,2,3)$ 을 넣으면 $2+4+6=12\,\mathrm{C/m^{3}}$ 이다. $X=1$ , $Y=2$ , $Z=3$ 을 각각 자기 자리에 넣는다.

대칭 분포의 전계는 모양에 맞는 가상의 닫힌 면을 잡아 구한다. 무한 직선전하는 원통을 잡아 $E\times2\pi rl=\frac{\lambda l}{\varepsilon_{0}}$ 에서 $E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}$ 이고 거리 $r$ 에 반비례한다. 무한 평면 전하는 납작한 상자의 위아래 두 면으로 전기력선이 나가므로 $2ES=\frac{\rho_{s}S}{\varepsilon_{0}}$ 에서 $E=\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}$ 이고 거리와 관계없이 일정하다. 무한히 넓은 도체 평면판에 면밀도 $\sigma$ 의 전하가 분포해도 전기력선이 면의 양쪽으로 갈라져 나가므로, 한쪽으로만 나갈 때 값( $\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ )의 절반인 $\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ 이다. $\sigma$ 와 $\rho_{s}$ 는 같은 면전하밀도(단위 넓이당 전하량)를 나타내는 기호이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 전기력선: 도체 표면과 등전위면에 직각 · 도체 내부에는 없다 · 높은 전위에서 낮은 전위로 · 정(+)에서 나와 부(−)로.

암기팁 도체 표면:

\sigma=\varepsilon_{0}E

, 전기력선이 표면으로 들어가면 음전하 나오면 양전하.

\rho=\nabla\cdot D

— 각 성분을 자기 방향으로 미분해 더한다.

함정 주의 선전하는

2\pi

와

r

의 1제곱, 점전하는

4\pi

와

r

의 제곱이다. 무한 평면 전하의 전계는 거리와 무관해서 거리에 반비례한다는 설명은 틀리다.

전기력선 문제의 틀린 보기는 성질을 뒤집은 문장이다: 정(+)에서 나와 부(−)로 들어간다 · 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 · 등전위면·도체 표면과 직각 · 도체 내부에는 없다 · 서로 교차하지 않는다.
전기력선의 수는 진공에서 $\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ , 유전율 $\varepsilon$ 인 매질에서 $\frac{Q}{\varepsilon}$ 이다. 유전율이 클수록 적다. 전속은 $Q$ 로 매질과 관계없고, $E$ 의 닫힌 면적분은 $\frac{Q}{\varepsilon}$ , $D$ 의 닫힌 면적분은 $Q$ 이다.
도체 표면에서 $\sigma=\varepsilon_{0}E$ 이고, 전기력선이 표면으로 들어가면 음전하, 나오면 양전하이다. 크기만 맞고 부호가 빠진 보기, 크기를 절반으로 계산한 보기를 조심한다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

$\rho=\nabla\cdot D$ 는 각 성분을 자기 방향으로 미분해 더한 뒤 점의 좌표를 넣는다. 푸아송 방정식은 $\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon}$ (마이너스 부호) 이고 라플라스 방정식은 $\nabla^{2}V=0$ 이다.
대칭 모양별 전계: 무한 직선전하 $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}$ ( $r$ 에 반비례) · 무한 평면 전하 $\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}$ (거리 무관, 도체판이라고 해도 같다) · 반대 부호 두 평행판 사이 $\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ , 판 바깥 0. 점전하는 $r^{2}$ 에 반비례한다.
유전체 안의 전속밀도 $D$ 의 원천은 진전하뿐이다. 분극전하는 $E$ 에만 관여한다. 패러데이관은 양끝에 단위 진전하가 있고 관 안의 전속수가 일정하며, 관의 밀도는 전속밀도와 같고 진전하가 없으면 연속이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2010년 3차 전기자기학 5번 — 지표면 전계로 표면 전하밀도지구 중심방향으로 향하는 300[V/m]의 전계가 지표면에 있다면 그 표면의 전하 밀도는? (단, 지구는 도체로 본다.)계산해설 보기 →2015년 3차 전기자기학 5번 — 전기력선 성질 중 옳은 것전기력선의 성질에 대한 설명 중 옳은 것은?옳은 것 고르기해설 보기 →2019년 2차 전기자기학 17번 — 전속밀도로 체적 전하밀도전속밀도 D=

X^{2}

Y^{2}

Z^{2}

k (C/

m^{2}

) 를 발생시키는 점(1, 2, 3)에서의 체적 전하밀도는 몇 C/

m^{3}

인가?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 19개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

가우스 법칙 — 가우스

닫힌 면을 통과하는 전기력선의 총수는 그 면 안의 전하를 매질의 유전율로 나눈 값과 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 7문항이 인용

전기력선의 성질

정전하에서 나와 부전하에서 끝나며, 1 C 에서

\frac{1}{\varepsilon_{0}}

개가 출입한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 5문항이 인용

가우스 법칙(도체 표면의 전계) — 가우스

도체 표면 바로 바깥의 전계는 E=σ/ε0이며, 전기력선의 방향으로 표면전하의 부호를 판단한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

가우스 법칙의 미분형

체적 전하밀도는 전속밀도의 발산

\rho=\nabla\cdot D

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

가우스의 법칙

\oint_{s}E\cdot ds=\frac{Q}{\varepsilon}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

가우스의 정리

닫힌 면을 지나는 전속의 총합은 면 안에 있는 전하의 총량과 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

무한 직선 선전하의 전계(가우스 법칙)

원기둥 대칭을 이용한 가우스 법칙으로 E=λ/(2πε₀r)을 얻으며, 전계는 거리 r에 반비례한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

무한 직선 전하의 전계

선전하 밀도

\rho_{L}

인 무한 직선이 거리

r

에 만드는 전계는

E=\frac{\rho_{L}}{2\pi\varepsilon_{0}r}

이고 방향은 직선에서 수직으로 밖을 향한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

무한 직선전하의 전계

선전하밀도

\lambda

인 무한 직선에서 거리

r

인 점의 전계는

E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

무한 평면 전하의 전계

면전하밀도

\rho_{s}

인 무한 평면의 전계는

E=\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon}

이며 거리에 관계없이 일정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

무한 평판 도체의 전계와 전위차

마주 보는 두 무한 평판에 ±σ의 전하를 주면 사이 전계는 σ/ε₀이고, 전위차는 이 전계에 간격을 곱해 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

유전체 경계에서의 전속 굴절

유전율이 서로 다른 두 물질의 경계에서 전속은 꺾이며, 유전율이 큰 쪽으로 더 많이 모인다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

전기력선의 접선 조건

전기력선의 접선 방향은 그 점의 전계 방향과 같으므로 dx/Eₓ = dy/

E_{y}

가 성립한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

전속밀도의 가우스 법칙

닫힌 면을 지나는 전속은 그 면 안의 진전하와 같다.

\oint D\cdot dS=Q

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

전속밀도의 발산

\mathrm{div}\,D=\frac{\partial D_{x}}{\partial x}+\frac{\partial D_{y}}{\partial y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}=\rho_{v}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

전위와 전계

E=-\mathrm{grad}\,V

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

패러데이관

패러데이관은 단위 양전하에서 시작해 단위 음전하에서 끝나는 전속의 관이며, 진전하가 없는 곳에서 연속이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

패러데이관의 정의와 성질 — 패러데이

패러데이관은 양끝에 단위 진전하를 갖는 전기력선 다발이며, 관의 밀도는 전속밀도와 같고 단위 전위차당 보유에너지는 1/2J이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

푸아송·라플라스 방정식

∇²V = −ρ/ε 이고 ρ = 0 이면 ∇²V = 0 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 34문항 중 1문항이 인용

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