전위와 전계의 관계

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 20번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2011년 1차 · 2011년 2차 · 2012년 1차 · 2012년 3차 · 2013년 1차 · 2014년 3차 · 2015년 2차 · 2016년 2차 · 2017년 1차 · 2017년 3차 · 2018년 1차 · 2019년 1차 · 2019년 2차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

전위는 전기적인 높이에 해당하는 값이고, 전계는 그 높이가 얼마나 가파르게 낮아지는지를 나타낸다. 그래서 전계는 전위를 위치로 미분한 값에 마이너스를 붙인 $E=-\nabla V$ 이고, 높은 전위에서 낮은 전위 쪽을 향한다.

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$\nabla$ (나블라)는 $x,\ y,\ z$ 로 각각 미분한 값을 $\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}$ (각 축의 단위벡터) 성분으로 묶는 기호이다. 그래서 $E=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\mathbf{k}\right)$ 이다. 한 변수로만 미분하는 편미분이라 나머지 변수는 상수로 보고, 상수항은 미분하면 사라진다.

예를 들어 $V=3xy+z+4$ 이면 $x,\ y,\ z$ 로 미분한 값은 각각 $3y,\ 3x,\ 1$ 이고, 마이너스를 붙여 $E=-3y\,\mathbf{i}-3x\,\mathbf{j}-\mathbf{k}$ 가 된다. 전위가 한 방향으로만 주어지면 $E=-\frac{dV}{dx}$ 를 쓴다. $V=x^{2}$ 이면 $E=-2x$ 이고, 20 cm 는 0.2 m 로 바꿔 넣어야 한다. 마이너스는 $-x$ 방향을 뜻한다.

전계가 일정할 때 두 점 사이의 전위차는 전계 $E$ 에 거리를 곱한 값이다. 전계 방향으로 가면 전위가 내려가고, 전계와 반대로 $l$ 만큼 가면 $V_{P}=V_{A}+El$ 로 올라간다. 옮기는 전하의 양(1 C 등)은 그 점의 전위 값에 들어가지 않는다. 80 V 점에서 30 V/m 전계 방향으로 80 cm(0.8 m) 가면 내려간 양은 $E\,d=30\times0.8=24\,\mathrm{V}$ 이고, 따라서 $80-30\times0.8=56\,\mathrm{V}$ 이다. 24 는 내려간 양, 30 은 전계의 세기이므로 그 점의 전위가 아니다.

전하를 옮길 때 전기력이 하는 일은 $W=q(E\cdot\text{변위})$ 로 구한다. 곧 전하와, 전계 중 이동 방향 성분에 거리를 곱한 전위차의 곱이다. 이동 방향과 직각인 성분은 일에 보태지지 않는다. 전계가 i+2j+3k [V/cm] 로 주어진 곳에서 0.01 μC 을 $x$ 축 방향으로 3 m 옮기면 $E_{x}$ 만 쓴다. 먼저 $1\,\mathrm{V/cm}=100\,\mathrm{V/m}$ 로 바꾸면 전위차는 $100\,\mathrm{V/m}\times3\,\mathrm{m}=300\,\mathrm{V}$ 이고, $W=qV=0.01\times10^{-6}\,\mathrm{C}\times300\,\mathrm{V}=3\times10^{-6}\,\mathrm{J}$ 이다. 단위를 바꾸지 않고 $E_{x}=1\,\mathrm{V/m}$ 로 계산하면 $3\times10^{-8}\,\mathrm{J}$ 이 나와 틀린다.

전위는 방향이 없는 스칼라라서 여러 점전하의 전위는 그냥 더한다. 점전하의 전위는 $V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r}$ 이다. 한 변이 $\sqrt{2}$ m 인 정사각형 네 꼭짓점의 같은 전하가 중심에 만드는 전계는 상쇄되어 0 이 되지만, 전위는 상쇄되지 않고 4 개가 더해진다. 동심 도체구에서 안쪽 구 A 에만 전하 $Q$ 를 주고 바깥 구 B 를 접지하면 B 의 전위가 0 으로 고정되어 B 바깥에는 전기장이 남지 않고, 도체 B 속도 전계가 0 이다. 그래서 전계가 있는 $a$ 에서 $b$ 까지만 더해 $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 전계

E=-\nabla V

— 전위를 미분하고 마이너스를 붙인다.

암기팁 전계 방향으로

d

만큼 가면 전위가

E\,d

내려간다 —

80-30\times0.8=56\,\mathrm{V}

함정 주의 V/cm 를 V/m 로 바꿀 때는 100배 — 단위를 먼저 통일한 뒤 계산한다. 80 V 에서 24 V 내려간 값을 구하는 문제는 내려간 양(24)이 아니라 그 점의 전위(56)를 묻는다.

전계와 전위의 관계는 $E=-\mathrm{grad}\,V$ 이다. 마이너스를 빠뜨린 $E=\mathrm{grad}\,V$ 도, $\mathrm{div}$ 를 쓴 식도 틀리다( $\mathrm{div}$ 는 벡터가 퍼져 나가는 정도를 재는 연산).
$\mathrm{grad}\,V$ 는 $x,\ y,\ z$ 로 한 번씩 편미분한 $\frac{\partial V}{\partial x}$ 꼴이다. $\mathrm{grad}\,V$ 라고 적은 식에 두 번 미분한 $\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}$ 꼴이 섞여 있으면 틀린 식이다. 편미분하면 $V=3xy+z+4$ 의 상수 4 는 사라지고 성분이 $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ 로 각각 나뉜다( $\mathbf{i}$ 성분이 두 번 나오는 식은 오답).
전계 방향으로 이동하면 전위가 $Ed$ 만큼 내려가고, 반대 방향이면 올라간다. 처음 전위가 80 V 였다면 24 V 내려간 56 V 이지, 24 나 30 이 아니다. 1 C 같은 전하량은 전위에 영향이 없고, $EQ$ 는 전위가 아니라 전하가 받는 힘이다.

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계산 전에 단위부터 맞춘다. $1\,\mathrm{V/cm}=100\,\mathrm{V/m}$ , cm 는 m 로, μC 는 $10^{-6}\,\mathrm{C}$ 로 바꾼다. 안 바꾸면 $3\times10^{-8}\,\mathrm{J}$ 처럼 자릿수가 틀린 보기에 걸린다.
일을 구할 때는 이동 방향의 전계 성분만 쓴다. 이동 방향과 직각인 성분( $x$ 축 이동일 때 $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ 성분)은 계산에 들어가지 않는다.
전위는 스칼라라 점전하 전위를 그냥 더하고(정사각형 네 꼭짓점 → 중심 전계는 0 이어도 전위는 0 이 아니다), 정전계의 세기를 구하는 방법은 쿨롱의 법칙·전위·가우스 법칙이다. 비오-사바르의 법칙은 전류가 만드는 자계를 구하는 법칙이라 정전계에는 적당하지 않다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 1차 전기자기학 17번 — 전계 속 전하 이동에 필요한 일E=i+2j+3k[V/cm] 로 표시되는 전계가 있다. 0.01[μC]의 전하를 원점으로부터 3i[m]로 움직이는데 필요 한 일은 몇 [J]인가?계산해설 보기 →2016년 2차 전기자기학 8번 — 전위 V에서 전계 E 구하기전위 V=3xy＋z＋4일 때 전계 E는?계산해설 보기 →2019년 2차 전기자기학 5번 — 전계 방향 이동 뒤 그 점의 전위30V/m의 전계내의 80V 되는 점에서 1C의 전하를 전계 방향으로 80cm 이동한 경우, 그 점의 전위(V)는?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 16개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

전위와 전계의 관계

전계는 전위의 공간적 변화율에 음의 부호를 붙인 값 E=-∇V로 구해진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 7문항이 인용

전위의 기울기

스칼라 함수

V

의 기울기는

\mathrm{grad}V=\frac{\partial V}{\partial x}i+\frac{\partial V}{\partial y}j+\frac{\partial V}{\partial z}k

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 2문항이 인용

전위의 기울기와 전계

전계는 전위의 기울기에 마이너스를 붙인

E=-\nabla V

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 2문항이 인용

구 껍질의 전위

전하

Q

인 구 껍질의 바깥 전위는

\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r}

, 안쪽 전위는 표면 값으로 일정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

구좌표계에서의 라플라시안 공식

구좌표계에서 rⁿ에 대한 라플라시안은 ∇²rⁿ=n(n+1)rⁿ⁻²이며, n=1일 때 ∇²r=2/r이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

균일 전계의 전위차

균일한 전계에서 두 점의 전위차는

V=E\,d

이고 전계 방향으로 갈수록 전위가 낮아진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

동심구 커패시터의 정전용량

안쪽 반지름 a, 바깥쪽 반지름 b인 동심구 커패시터의 정전용량은 C=4πε₀ab/(b-a)이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

무한 직선전하의 전계와 전위

전계

E=\frac{\rho_{L}}{2\pi\varepsilon_{0}r}

이고 두 점 사이 전위차는

\frac{\rho_{L}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{r_{2}}{r_{1}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

선전하의 전계와 중첩

무한히 긴 선전하의 전계

E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}x}

를 +λ, −λ 두 개에 적용해 겹치면 전위차를 얻는다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

전계 속 전하 이동과 일

전기력이 전하에 하는 일은 W=q(E·변위)이며, 변위와 수직인 전계 성분은 일에 기여하지 않는다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

전계 에너지를 통한 정전에너지 계산

공간에 저장된 정전에너지는 전계 세기의 제곱을 부피 전체에 대해 적분해 W=(ε₀/2)∫E²dV로 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

전위와 전계의 관계(V=-∫E·dl)

전계 방향으로 거리 d만큼 이동하면 전위는 E×d만큼 낮아진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

점전하의 전위

점전하의 전위는

V=Q/(4\pi\varepsilon_{0}r)

이며 여러 전하의 전위는 대수적으로 더한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

점전하의 전위와 중첩의 원리

점전하

Q

의 전위는

\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r}

이고, 전하 분포의 전위는 이를 모두 더한 것이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

정전계의 해법과 전류 자계의 해법

정전계는 쿨롱의 법칙·전위(

E=-\nabla V

)·가우스 법칙으로 구하고, 전류의 자계는 비오-사바르의 법칙으로 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

정전유도와 도체 내부 전계 0

도체 내부는 전계가 0이라 전위가 일정하며, 도체구 사이의 전위차는 그 구간에 실제로 있는 전하만으로 계산한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 26문항 중 1문항이 인용

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