전기 쌍극자의 전위와 전계

📖 5분 정리무료 공개이론 근거 정리

1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 10번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 1차 · 2011년 3차 · 2012년 2차 · 2013년 1차 · 2014년 1차 · 2015년 1차 · 2016년 1차 · 2016년 2차 · 2016년 3차 · 2021년 3차

2 쉬운 설명

전기 쌍극자는 크기가 같고 부호가 반대인 두 점전하가 아주 가까이 놓인 한 쌍이다. 전하 크기와 두 전하 사이 거리의 곱을 쌍극자 모멘트라 하고( $M=qd$ , 문제에 따라 $Q\ell$ 이나 $qa$ 로 쓴다, 단위 C·m), 쌍극자의 세기를 나타낸다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

먼 곳의 전위는 $V=\frac{Q\ell\cos\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$ 이다. $\theta$ 는 쌍극자 축과 그 점을 향한 방향 사이의 각이고, 전위는 거리의 제곱에 반비례하며 $\cos\theta$ 에 따라 변한다. 값을 넣을 때는 $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ 처럼 각의 $\cos$ 를 곱한다. $Q\ell=200\pi\varepsilon_{0}\times10^{3}$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $r=1$ 이면 $V=\frac{200\pi\varepsilon_{0}\times10^{3}\times\frac{1}{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}$ 이다. 이 문항처럼 $Q\ell$ 에 $\pi\varepsilon_{0}$ 가 들어 있으면 분자·분모의 $\pi$ 와 $\varepsilon_{0}$ 가 지워지므로, 정리하면 $V=\frac{100\times10^{3}}{4}=25\times10^{3}\,\mathrm{V}$ 이다.

멀리서 보면 $+$ 와 $-$ 두 전하의 효과가 서로 거의 지워지므로, 쌍극자는 점전하보다 빨리 약해진다. 점전하는 전위가 $\frac{1}{r}$ , 전계가 $\frac{1}{r^{2}}$ 이고, 쌍극자는 전위가 $V\propto\frac{1}{r^{2}}$ , 전계가 전위를 거리로 미분한 $E\propto\frac{1}{r^{3}}$ 이다. 무한 직선전하의 전계는 $r$ 에 반비례하고 점전하의 전계는 $r^{2}$ 에 반비례하며, 쌍극자는 이보다 한 단계 더 빠르게 $r^{3}$ 에 반비례한다. 반경 방향 성분과 둘레 방향 성분도 모두 $\frac{1}{r^{3}}$ 에 비례한다. 자기 쌍극자의 자계도 $H\propto\frac{1}{r^{3}}$ 이다.

전위 $V=\frac{M\cos\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$ 에서 $E=-\nabla V$ 를 구하면 거리 방향 성분은 $E_{r}=\frac{M\cos\theta}{2\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$ , 각도 방향 성분은 $E_{\theta}=\frac{M\sin\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$ 이다. 외울 때는 거리 방향 $\cos\theta$ 에 $2\pi$ , 각도 방향 $\sin\theta$ 에 $4\pi$ , 분모는 $r^{3}$ 이다. 두 성분을 합한 전계의 크기는 $E=\frac{M}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}$ 이다.

$M$ 과 $r$ 이 정해지면 크기는 $\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}$ 하나만 변한다. 축 방향 $\theta=0$ 에서 $\cos^{2}\theta=1$ 이라 $\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}$ 가 최대 2 이고 전계는 $\frac{2M}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$ 이다. $\theta=\frac{\pi}{2}$ 에서는 $\cos\theta=0$ 이므로 $\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}=1$ 로 전계가 최소이고 $\frac{M}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$ 이다. $\theta=\frac{\pi}{3}$ 이면 $\cos^{2}\theta=\frac{1}{4}$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이면 $\cos^{2}\theta=\frac{1}{2}$ 로 둘 다 $\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}$ 가 최대값 2 보다 작다. $\theta=\frac{\pi}{2}$ 에서 전위는 0 이지만 전계는 0 이 아니다.

전위가 같은 등전위면은 $V$ 를 일정하게 두고 $r^{2}$ 에 대해 정리해 $r^{2}=k\cos\theta$ 꼴이다. 또 쌍극자의 수직 이등분선 위의 점은 두 전하에서 같은 거리에 있어 $V=0$ 이고, 전계는 $E=\frac{qa}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$ 이다( $r$ 이 $a$ 보다 매우 클 때). 전계의 세기는 쌍극자 모멘트에 비례하고 주위 매질의 유전율에 따라 달라진다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 전위

\displaystyle \frac{1}{r}

→ 점전하 전계

\displaystyle \frac{1}{r^{2}}

, 쌍극자 전위

\displaystyle \frac{1}{r^{2}}

→ 쌍극자 전계

\displaystyle \frac{1}{r^{3}}

암기팁 쌍극자 전계

\propto\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}

— 축 방향

\theta=0

에서 최대, 직각 방향

\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}

에서 최소.

함정 주의

\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}

에서 전위는 0 이지만 전계는 0 이 아니다. 「전위의 차수」와 「전계의 차수」를 섞지 않는다.

쌍극자의 전위는 거리의 제곱에 반비례하고 전계는 거리의 세제곱에 반비례한다. 「전위가 거리에 반비례」「전위가 거리의 3승에 반비례」는 틀린 설명이다. 반비례 차수는 직선전하 $r$ , 점전하의 전계 $r^{2}$ , 쌍극자의 전계 $r^{3}$ 순이고, 전계가 $r^{4}$ 이면 쌍극자보다 더 급하게 줄어드는 관계라 아니다.
반경 방향 전계 성분도 거리의 제곱이 아니라 $\frac{1}{r^{3}}$ 에 비례한다. 전기 쌍극자의 전위는 거리의 제곱에, 자기 쌍극자의 자계는 거리의 세제곱에 반비례한다(전위 = 제곱, 자계 = 세제곱).
전계의 크기는 $\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}$ 에 비례해 $\theta=0$ 에서 최대, $\theta=\frac{\pi}{2}$ 에서 최소이다. $\theta=\frac{\pi}{2}$ 에서 전위는 0 이어도 전계는 0 이 아니라 최소일 뿐이다(축 방향의 절반).

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

전위를 구할 때는 $\cos\theta$ 를 곱하고 $r^{2}$ 으로 나눈다. $\pi$ 가 남은 값( $50\pi\times10^{4}$ , $5\pi\times10^{4}$ )은 $\pi$ 가 지워지는 계산 결과와 맞지 않고, $50\times10^{3}$ 은 정답 $25\times10^{3}$ 의 2배라 아니다.
수직 이등분선 위에서는 $V=0$ 이고 $E$ 는 $r^{3}$ 에 반비례하는 값이다. 등전위면은 $r^{2}=k\cos\theta$ 꼴이다.
전계의 세기는 쌍극자 모멘트에 비례하고 주위 매질에 따라 달라진다(옳은 설명). 옳지 않은 것을 고르는 문제에서는 위의 전위 차수(거리에 반비례)가 틀린 보기로 나온다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2013년 1차 전기자기학 18번 — 쌍극자 전계와 거리의 관계전기 쌍극자에 의한 전계의 세기는 쌍극자로부터의 거리 r에 대해서 어떠한가?옳은 것 고르기해설 보기 →2015년 1차 전기자기학 15번 — 각도 π/3 인 점의 쌍극자 전위Qℓ=±200π

\varepsilon _{0}

10^{3}

[Cㆍm]인 전기 쌍극자에서 ℓ과 r의 사이각이 π/3 이고, r=1인 점의 전위[V]는?계산해설 보기 →2016년 3차 전기자기학 14번 — 쌍극자 전계가 최대인 각쌍극자 모멘트가 M[C ㆍ m]인 전기쌍극자에 의한 임의의 점 P에서의 전계의 크기는 전기 쌍극자의 중심에서 축방향과 점 P를 잇는 선분 사이의 각이 얼마일 때 최대가 되는가?옳은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 8개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

전기 쌍극자의 전계

전위

V=\frac{Q\delta\cos\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}

에서

E_{r}=\frac{Q\delta\cos\theta}{2\pi\varepsilon_{0}r^{3}}

E_{\theta}=\frac{Q\delta\sin\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 13문항 중 2문항이 인용

전기 쌍극자의 전위

쌍극자 모멘트

M

인 쌍극자가 거리

r

, 축과의 각

\theta

인 점에 만드는 전위는

V=\frac{M\cos\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 13문항 중 2문항이 인용

전기쌍극자의 전계

쌍극자의 전계 크기는

E=\frac{M}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 13문항 중 2문항이 인용

쌍극자의 거리 의존성

전기 쌍극자의 전위는

\frac{1}{r^{2}}

, 자기 쌍극자의 자계는

\frac{1}{r^{3}}

에 비례한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 13문항 중 1문항이 인용

전기 쌍극자

쌍극자의 전위는

V=\frac{M\cos\theta}{4\pi\varepsilon r^{2}}

, 전계는

r^{-3}

에 비례한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 13문항 중 1문항이 인용

전기 쌍극자가 만드는 전계

두 전하가 만드는 전계의 상쇄 후 남는 차이로 인해 쌍극자의 전계는 거리의 세제곱(r³)에 반비례한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 13문항 중 1문항이 인용

전기 쌍극자의 전위와 전계

쌍극자 모멘트

p

에 대해

V=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}

이고 전계의 세기는

\frac{1}{r^{3}}

에 비례한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 13문항 중 1문항이 인용

전기쌍극자의 전계와 전위

쌍극자 모멘트

M=qa

일 때 수직 이등분선 위에서

V=0

E=\frac{M}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 13문항 중 1문항이 인용

이 단원 기출문제 보기가입 없이 · 전위·전기쌍극자·포아송 방정식 이 단원 문제 풀어보기 — 도장깨기가입하면 열립니다

전위·전기쌍극자·포아송 방정식 핵심개념 목록으로

무료로 시작하기