도체 표면의 전계와 내부 전계 0

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 12번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2012년 2차 · 2012년 3차 · 2014년 1차 · 2015년 3차 · 2019년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차

2 쉬운 설명

도체 안에서는 전하가 자유롭게 움직이므로, 전하가 멈춘 정전평형 상태에서는 도체 내부의 전계가 0 이다. 내부 전계가 0 이면 안쪽 어느 두 점 사이를 옮겨도 일이 들지 않아 전위차가 0 이다. 그래서 도체는 등전위이고, 내부 전위는 표면 전위와 같은 값으로 일정하다. 그 값이 0 일 필요는 없다. 내부 전계가 0 이려면 가우스 법칙에 따라 도체 안쪽 닫힌 면 속의 전하도 0 이어야 한다. 그래서 도체에 준 전하는 표면에만 분포하고, 내부에 전하가 존재한다는 설명은 틀리다. 도체 안에 공동(빈 공간)이 있어도 그 안에 전하를 따로 넣지 않았다면 공동면에는 전하가 없고, 전하는 도체의 바깥 표면에만 머문다.

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표면을 따라 미는 전계(접선성분)가 있으면 전하가 곧바로 움직여 그 전계를 없애 버린다. 그래서 평형 상태의 도체 표면에서는 접선성분 $E_{t}$ 가 0 이고 표면에 수직인 법선성분만 남는다. 도체 표면은 등전위면이고 전기력선은 표면에 수직으로 출입한다. 도체면 위 한 점의 전계가 $3\mathbf{a}_{x}-6\mathbf{a}_{y}+2\mathbf{a}_{z}$ 이면 접선성분이 0 이므로 전계 벡터의 크기가 그대로 법선성분이 되어, $\sqrt{3^{2}+6^{2}+2^{2}}=\sqrt{49}=7\,\mathrm{V/m}$ 로 $E_{n}=7$ , $E_{t}=0$ 이다. 법선 방향 미소길이 $dL$ 은 전계와 나란하므로 $E\times dL=0$ 이고, 그 x 성분에서 $E_{y}dz=E_{z}dy$ 가 나온다.

표면전하밀도는 표면 모양에 따라 다르다. 뾰족한 곳은 곡률(휘어진 정도)이 크고 반지름이 작아서, 같은 전위를 유지하려면 좁은 면적에 전하가 몰려 표면전하밀도가 커진다. 평면은 곡률이 0 이라 가장 작은 쪽이다. 곡률이 크다는 것은 더 뾰족하다는 뜻이므로 「곡률이 크면 작아진다」는 반대로 쓴 말이다. 피뢰침 끝에서 방전이 잘 일어나는 것도 전하가 몰려 주변 전계가 아주 세지기 때문이다.

도체 표면 바로 바깥의 전계는 표면에 수직이고 크기가 $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ 이며( $\sigma$ 는 표면전하밀도로, 문제에 따라 $\rho$ 나 $\rho_{s}$ 로도 쓰는 같은 양이다), 면전하밀도와는 $\rho=\varepsilon_{0}E$ 로 연결된다. 전위와는 $E=-\frac{\partial V}{\partial n}$ 이므로 $\frac{\partial V}{\partial n}=-\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ 이다. 표면 전하 밀도는 전속밀도와 같아 $\rho_{s}=D=\varepsilon_{0}E$ 이다. 전계가 6, -2, 3 이면 크기 $7\,\mathrm{V/m}$ 에 $\varepsilon_{0}$ 를 곱한 $\rho=7\varepsilon_{0}\,\mathrm{C/m^{2}}$ 이다.

대전된 평행판 표면의 정전응력은 $f=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}$ 로 판 사이 간격과 무관하다. 구도체는 표면 전계 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}a^{2}}$ 가 공기의 절연내력에 이를 때의 전하가 최대 전하이고 $Q=4\pi\varepsilon_{0}a^{2}E_{\max}$ 이다(반지름은 지름의 절반).

속이 빈 도체 용기 안쪽에는 외부 전하가 정지해 있을 때 전계가 생기지 않는다. 외부 전하가 가까이 오면 도체 안쪽 벽에는 전하가 이동해 나타나고 바깥 면에는 같은 크기의 반대 전하가 나타나는데, 이를 정전유도라 한다. 이런 정전 차폐는 용기가 도체로 이어진 하나의 껍질일 때 성립하므로, 낙뢰를 맞는 자동차 안이 안전한 것도 차체의 도체가 이어져 있어 내부 전계가 0 이기 때문이다. 부분 사이에 도체 연결이 필요 없다는 말은 틀리다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 대전된 도체: 전하는 표면에만 · 내부 전계 0 · 뾰족할수록(곡률 클수록) 전하밀도 높음 — 피뢰침이 대표 예.

암기팁 도체는 등전위 — 내부 전계 0, 내부 전위 = 표면 전위. 도체 표면: 전계는 수직 ·

\rho=\varepsilon_{0}E

함정 주의 「곡률이 크면 작아진다」는 반대 — 곡률이 크다는 것이 더 뾰족하다는 뜻이다. 내부 전위가 「항상 0」이라는 보기도 틀리다.

대전된 도체의 내부 전계는 0 이고 전하는 표면에만 분포한다. 「가우스 법칙(정리)에 의해 내부에는 전하가 존재한다」는 틀린 보기이다. 전하는 도체의 바깥 표면에만 있고, 공동 안에 전하가 없으면 공동면에도 전하가 없다.
표면의 전계는 표면에 수직(법선 방향)이고 접선성분은 0 이다. 도체면 위 점에서 $E_{n}$ 은 전계 벡터의 크기와 같다.
곡률이 클수록(뾰족할수록, 반지름이 작을수록) 표면전하밀도가 높다. 「표면 모양과 무관하다」「평면일 때 가장 크다」「곡률이 크면 작아진다」는 모두 틀리다.

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도체 내부의 전위는 표면 전위와 같고 항상 0 인 것은 아니다. 면전하밀도는 $\rho=\varepsilon_{0}E$ 이고 전계의 크기는 성분의 제곱을 더해 제곱근을 취해 구한다.
속 빈 도체(차폐) 안은 정전 상태(외부 전하가 정지해 있을 때)에 전계가 0 이다. 껍질이 이어져 있어야 하므로 「도체 사이의 연결이 필요 없다」는 안전한 이유가 아니다.
정전응력 $f=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}$ 은 판 사이 간격과 무관하고, 구도체의 최대 전하는 $Q=4\pi\varepsilon_{0}a^{2}E_{\max}$ 에서 반지름 $a$ 를 지름의 절반으로 넣어 구한다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2010년 2차 전기자기학 1번 — 도체 표면전하밀도와 모양의 관계대전도체 표면전하밀도는 도체표면의 모양에 따라 어떻게 분포하는가?옳은 것 고르기해설 보기 →2012년 2차 전기자기학 20번 — 대전된 도체의 특징이 아닌 것대전된 도체의 특징이 아닌것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →2019년 1차 전기자기학 20번 — 대전된 도체의 특징으로 틀린 것대전된 도체의 특징으로 틀린 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 12개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

구도체 표면의 전계

전하

Q

인 반지름

a

의 구도체 표면 전계는

E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}a^{2}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 2문항이 인용

도체 표면의 전계 조건

도체 표면에서 전계는 접선 성분이 0이고 법선 방향으로만 존재하므로, 법선 방향의 dL과 전계 E는 서로 나란하며 E×dL=0 이 성립한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 2문항이 인용

대전된 도체 표면의 정전응력

대전된 도체 표면이 받는 단위 면적당 힘(정전응력)은 f=σ²/(2ε0)로, 판 사이 거리와 무관하다.