구·동심구 도체의 정전용량

📖 5분 정리무료 공개이론 근거 정리

1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 9번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 3차 · 2011년 1차 · 2015년 1차 · 2015년 2차 · 2015년 3차 · 2018년 1차 · 2018년 3차 · 2020년 1차 · 2021년 2차

2 쉬운 설명

동심구의 정전용량은 안쪽 구와 바깥쪽 구 사이에 전하를 얼마나 담을 수 있는지를 나타내는 값이다. 안쪽 구의 반지름을 $a$ , 바깥쪽 구의 안쪽 반지름을 $b$ , 둘 사이 물질의 유전율을 $\varepsilon$ (진공이면 $\varepsilon_{0}$ , 진공의 유전율) 라 하면 $C=\frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}$ 이다. 두 반지름의 곱이 분자에, 차가 분모에 들어간다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

이 식은 전위차에서 나온다. 안쪽 구에 $+Q$ , 바깥쪽 구에 $-Q$ 를 두면 a<r<b 에서 전계는 안쪽 구의 전하만으로 정해져 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^{2}}$ 이다. 이를 적분한 전위차는 $V=\int_{a}^{b}E\,dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\cdot\frac{b-a}{ab}$ 이고, $C=\frac{Q}{V}$ 에 넣으면 위 식이 된다.

구 하나만 있는 독립 도체구는 무한히 먼 곳을 전위 0 으로 잡는다. 반지름 $a$ 인 도체구의 표면 전위는 $V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}a}$ 이므로 $C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_{0}a$ 이다. 반지름에 비례하므로 구가 클수록 전하를 더 많이 담는다. 동심구에서 바깥쪽 구가 한없이 멀어지면 값은 구 하나만 있을 때의 $4\pi\varepsilon a$ 로 다가간다.

크기를 바꾸는 문제는 식의 구조로 푼다. 분자의 $ab$ 는 길이의 곱이고 분모의 $b-a$ 는 길이 하나이다. 두 반지름을 모두 $k$ 배 하면 $C$ 도 $k$ 배 가 된다. 2배로 하면 분자 4배, 분모 2배라서 $\frac{4}{2}=2$ 배이고, 5배로 하면 분자 25배, 분모 5배라서 5배이다. 2배 문제에서 4배는 분모의 $b-a$ 도 2배가 되므로 맞지 않고, 5배 문제에서 10·15·20배는 식에서 구한 배수가 5배라서 아니다.

수치를 넣는 문제는 단위부터 맞춘다. 반지름이 cm 로 주어지면 먼저 m 로 바꾼다( $a=0.03\,\mathrm{m}$ , $b=0.09\,\mathrm{m}$ ). 그러면 $ab=0.0027\,\mathrm{m^{2}}$ , $b-a=0.06\,\mathrm{m}$ 이고, $C=\frac{4\pi\times8.854\times10^{-12}\times0.0027}{0.06}\approx5.0\times10^{-12}\,\mathrm{F}=5\,\mathrm{pF}$ 이다. 결과는 F 단위로 아주 작은 값이라 pF( $10^{-12}\,\mathrm{F}$ ) 로 읽는다. 0.5 는 5 pF 의 10분의 1, 50 은 10배, 500 은 100배라 정답과 다르다. 보기가 10배씩 차이 나므로 단위 변환을 놓치지 않아야 한다. 문제에 지름이 주어지면 반지름은 절반으로 바꿔 넣는다.

구도체에 줄 수 있는 최대 전하는 절연파괴로 정해진다. 구도체 표면의 전계는 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}a^{2}}$ 이고, 공기가 견딜 수 있는 전계의 한계가 절연내력이다. 전계가 절연내력을 넘으면 공기가 전기를 통해 버린다(절연파괴). 그래서 표면 전계가 절연내력에 이를 때의 전하 가 최대 전하이고 $Q=4\pi\varepsilon_{0}a^{2}E$ 이다. $\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=9\times10^{9}$ 을 쓰면 $Q=\frac{a^{2}E_{\max}}{9\times10^{9}}$ 이며, 반지름 0.03 m, 절연내력 $5\times10^{6}\,\mathrm{V/m}$ 이면 약 $5\times10^{-7}\,\mathrm{C}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 동심구 콘덴서

\displaystyle C=\frac{4\pi\varepsilon_{0}ab}{b-a}

(

\varepsilon_{0}

는 진공의 유전율) — 두 반지름의 곱은 분자, 차는 분모.

암기팁 동심 구

\displaystyle C=\frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}

— 길이를 모두

n

배 하면

C

도

n

배. 반지름 비율만 알면

\varepsilon

가 지워져 숫자로 답이 나올 수 있다.

함정 주의 cm 를 m 로 바꾸는 단위 변환과 지름·반지름 구분을 놓치지 않는다. 배수 문제에서는 분자만 보지 말고 분모

b-a

의 배수도 함께 센다.

동심구는 $C=\frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}$ 이다. 두 반지름의 곱은 분자, 차는 분모에 둔다.
반지름이 cm 로 주어지면 m 로 바꿔 넣고, 결과는 pF( $10^{-12}\,\mathrm{F}$ )로 읽는다. 보기가 10배씩 차이 나므로 단위 변환을 놓치지 않아야 하고, 0.5 는 정답의 10분의 1, 50 은 10배, 500 은 100배라 아니다.
두 반지름을 모두 $k$ 배 하면 $C$ 도 $k$ 배이다. 2배 문제에서 4배는 분모 $b-a$ 도 2배가 되므로 아니고, 5배 문제에서는 분자 25배를 분모 5배로 나눠 5배이다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

독립 도체구는 $C=4\pi\varepsilon_{0}a$ 로 반지름에 비례한다. 지름이 주어지면 반지름은 절반이다.
두 구 사이 간격 $b-a$ 가 좁을수록, 구가 클수록 $C$ 는 커진다. 바깥쪽 구가 한없이 멀어지면 구 하나만 있을 때의 $4\pi\varepsilon a$ 에 가까워진다.
구도체에 줄 수 있는 최대 전하는 표면 전계 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}a^{2}}$ 가 절연내력에 이를 때의 값이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 1차 전기자기학 10번 — 동심구 사이의 정전용량 구하기진공 중에서 내구의 반지름 a=3cm, 외구의 반지름 b=9cm인 두 동심구사이의 정전용량은 몇 [pF]인가?계산해설 보기 →2015년 2차 전기자기학 4번 — 반지름 2배일 때 정전용량 배수내구의 반지름이 a[m], 외구의 내 반지름이 b[m]인 동심 구형 콘덴서의 내구의 반지름과 외구의 내 반지름을 각각 2a, 2b로 증가시키면 이 동심구형 콘덴서의 정전용량은 몇 배로 되는가?계산해설 보기 →2018년 3차 전기자기학 2번 — 반지름 5배일 때 정전용량 배수동심 구형 콘덴서의 내외 반지름을 각각 5배로 증가시키면 정전용량은 몇 배로 증가하는가?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 9개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

동심 구형 콘덴서의 정전용량

안쪽 반지름

a

, 바깥쪽 안반지름

b

인 동심 구의 정전용량은

C=\frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 2문항이 인용

가우스 법칙과 전위차

구 사이 전계를 가우스 법칙으로 구하고 적분해 전위차 V 를 얻으면 C=Q/V 로 정전용량이 정해진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 1문항이 인용

구도체 표면의 전계

반지름 a 인 구도체에 전하 Q 를 주면 표면 전계는 E = Q/(4πε₀a²) 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 1문항이 인용

구도체의 정전용량

반지름 a 인 독립 구도체의 정전용량은 4πε₀a 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 1문항이 인용

도체구의 정전용량

반지름

a

인 단일 도체구의 정전용량은

C=4\pi\varepsilon_{0}a

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 1문항이 인용

동심 도체구의 정전용량

안쪽 반지름

a

, 바깥 반지름

b

인 동심구의 정전용량은

C=\frac{4\pi\varepsilon_{0}ab}{b-a}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 1문항이 인용

동심구 도체의 정전용량 공식

반지름 a, b(a<b)인 동심구 사이 유전율 ε 매질의 정전용량은 C=4πεab/(b-a)이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 1문항이 인용

동심구의 정전용량

안쪽 반지름 a, 바깥쪽 반지름 b인 동심구 사이의 정전용량은 C=4πε₀ab/(b-a)로 주어진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 1문항이 인용

정전용량의 정의

도체의 전위가 전하에 비례하며 그 비

C=\frac{Q}{V}

를 정전용량이라 한다. 도체구는

C=4\pi\varepsilon_{0}a

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 1문항이 인용

이 단원 기출문제 보기가입 없이 · 도체의 성질과 정전용량 이 단원 문제 풀어보기 — 도장깨기가입하면 열립니다

도체의 성질과 정전용량 핵심개념 목록으로

무료로 시작하기