유전체의 분극과 전속밀도

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 18번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2013년 3차 · 2014년 1차 · 2014년 3차 · 2015년 1차 · 2015년 2차 · 2016년 3차 · 2017년 1차 · 2017년 2차 · 2017년 3차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2021년 1차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

유전체를 전계 속에 놓으면 내부의 작은 전하들이 한쪽으로 살짝 쏠리는데, 이것을 분극 이라 한다. 그 결과 유전체 표면에 분극전하가 나타나고, 분극의 세기 $P$ 는 전계가 셀수록, 비유전율이 클수록 커진다. 분극에는 전자 분극(원자 안의 전자 구름이 쏠림, 모든 물질에서 일어남), 이온 분극(양이온과 음이온이 짝을 이룬 결정에서 이온이 밀려남), 배향 분극(영구 쌍극자를 가진 극성 분자가 전계 방향으로 돌아섬)이 있다. 다이아몬드처럼 같은 원자(탄소)만으로 이루어진 단결정에는 이온 쌍도 극성 분자도 없어서 전자 분극만 일어난다.

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전속밀도 $D$ , 전계 $E$ , 분극의 세기 $P$ 는 $D=\varepsilon_{0}E+P$ 로 묶인다. 진공이라면 $D=\varepsilon_{0}E$ 이고, 유전체 안에서는 분극 몫 $P$ 가 더해진다는 뜻이다. $P$ 에 대해 정리하면 $P=D-\varepsilon_{0}E$ 이다. $D$ , $P$ , $\varepsilon_{0}E$ 는 모두 $\mathrm{C/m^{2}}$ 라서 서로 더하고 뺄 수 있지만, $E$ 는 $\mathrm{V/m}$ 라서 $D$ 와 바로 더하거나 뺄 수 없다.

전속밀도는 단위 면적을 지나는 전속으로, 전속은 크기만 있는 스칼라량이지만 전속밀도 $D$ 는 방향이 있는 벡터량이다. 유전율 $\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ 을 쓰면 $D=\varepsilon E$ 이고, 등방성 유전체에서 $D$ 는 $E$ 와 같은 방향이다. 비유전율은 문항에 따라 $\varepsilon_{s}$ 로도 쓰는데 같은 양이다. $D$ 의 크기는 전하가 정하므로 유전체가 바뀌어도 일정 하고, 유전율이 커지면 작아지는 것은 $E=\frac{D}{\varepsilon}$ 쪽이다. 전계가 유전체 표면에 직각이면 표면전하밀도 $\sigma$ 는 $D$ 와 같다. 유전율이 10, 전계가 $5\,\mathrm{V/m}$ 이면 $D=10\times5=50\,\mathrm{C/m^{2}}$ 이다.

비유전율로 분극을 구할 때는 $P=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)E$ 를 쓴다. 유전율 $\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ 중 진공 몫 $\varepsilon_{0}$ (1배)를 빼고 남은 $\varepsilon_{r}-1$ 배가 분극이 더한 몫이어서 반드시 1을 뺀다. 이 몫을 분극률 $\chi=\varepsilon-\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)$ 이라 한다. 전계에 수직인 표면의 분극 전하밀도는 $\sigma_{p}=P$ 이다. 비유전율 10 인 유전체를 $5\,\mathrm{V/m}$ 의 전계에 놓으면 $\varepsilon_{0}\times(10-1)\times5=45\varepsilon_{0}$ 이다. 비유전율이 4 이면 분극률은 $\varepsilon_{0}(4-1)=3\varepsilon_{0}$ , 곧 진공 유전율의 3배이다(1배·9배·12배가 아니다).

수치가 들어간 분극전하밀도 계산은 단위와 지수를 맞춘다. $\varepsilon_{0}\approx\frac{1}{36\pi\times10^{9}}$ 로 놓고, $E=10\,[\mathrm{kV/m}]=10^{4}\,[\mathrm{V/m}]$ 를 넣는다. 그러면 $P=\left[\frac{1}{36\pi\times10^{9}}\right]\times(\varepsilon_{r}-1)\times10^{4}=\left[\frac{\varepsilon_{r}-1}{36\pi}\right]\times10^{4-9}$ 이고, 지수를 정리하면 $P=\left[\frac{\varepsilon_{r}-1}{36\pi}\right]\times10^{-5}\,[\mathrm{C/m^{2}}]$ 이다. 판 사이 거리(1.5 mm)는 이 계산에 쓰이지 않는다. 분모를 $18\pi$ 로 쓰거나, 지수를 $10^{-6}$ 으로 잡거나, $(\varepsilon_{r}-1)$ 대신 $\varepsilon_{r}$ 을 그대로 쓰면 틀린다.

유전체 표면의 분극전하는 극판의 진전하와 부호가 반대여서 그 일부를 지운다. 그래서 극판 전하밀도 $\sigma$ , 분극전하밀도 $\sigma'$ 이면 유전체 속 전계는 $\frac{\sigma-\sigma'}{\varepsilon_{0}}$ 이고 $\sigma/\varepsilon$ 와 같아서, 유전체를 넣으면 전계가 줄어든다. 바깥에서 전계 $E_{0}$ 를 걸면 유전체 속 전계는 $E=\frac{E_{0}}{\varepsilon_{r}}$ 가 되고, 줄어든 만큼이 분극전하가 만드는 전계 $\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}}E_{0}$ 이다( $\varepsilon_{r}=1$ 이면 0). $\varepsilon_{0}E=\frac{D}{\varepsilon_{r}}$ 이므로 $P=D-\frac{D}{\varepsilon_{r}}=D\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r}}\right)$ 이다. 전원을 떼어 극판의 자유전하 $Q$ 가 그대로일 때 분극전하량은 $Q_{p}=Q\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r}}\right)$ 이며, 0.1 C 을 충전하고 $\varepsilon_{r}=10$ 이면 $1-\frac{1}{10}=0.9$ 이므로 $0.1\times0.9=0.09\,\mathrm{C}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

D=\varepsilon_{0}E+P

→

P=D-\varepsilon_{0}E=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)E

. 분극전하밀도는

\varepsilon_{r}

에서 반드시 1을 뺀다.

암기팁 같은 원자만의 단결정은 전자 분극만, 이온 결정은 여기에 이온 분극, 극성 분자는 여기에 배향 분극이 더해진다.

함정 주의 전계가

5\,\mathrm{V/m}

일 때 「유전율」 10 이면

D=\varepsilon E=10\times5=50\,\mathrm{C/m^{2}}

, 「비유전율」 10 이면

\varepsilon_{0}\times(10-1)\times5=45\varepsilon_{0}

라서 값이 달라진다. 분극전하밀도 계산에서

\varepsilon_{r}

에서 1을 빼지 않거나

10^{4-9}

지수를 잘못 잡는 것도 오답 보기로 나온다.

$D=\varepsilon_{0}E+P$ 이므로 $P=D-\varepsilon_{0}E$ 이다. $P=D+\varepsilon_{0}E$ 처럼 부호가 바뀐 보기는 오답이고, $E$ 는 단위가 달라 $D$ 와 직접 더하거나 뺄 수 없다.
분극의 세기·분극전하밀도는 $P=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)E$ 이다. $\varepsilon_{r}$ 에서 반드시 1을 뺀다. 분극률은 $\chi=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)$ 이어서 $\varepsilon_{r}=4$ 이면 3배이다.
문제에서 「유전율」이 주어지고 전계가 표면에 직각이면 표면전하밀도는 $D=\varepsilon E$ (유전율 10, $5\,\mathrm{V/m}$ 이면 50)이고, 「비유전율」로 분극 전하를 물으면 $\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)E$ (비유전율 10 이면 $45\varepsilon_{0}$ )이다. 어느 쪽인지 먼저 구별한다.

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수치 계산은 $10\,[\mathrm{kV/m}]$ 를 $10^{4}\,[\mathrm{V/m}]$ 로 바꾸고 $\varepsilon_{0}\approx\frac{1}{36\pi\times10^{9}}$ 를 쓴다. 지수는 $10^{4-9}=10^{-5}$ , 분모는 $36\pi$ 이며 판 사이 거리는 쓰이지 않는다.
분극전하는 진전하의 전계를 줄인다. 유전체 속 전계는 $\frac{\sigma-\sigma'}{\varepsilon_{0}}$ , 분극전하의 전계는 $\frac{\varepsilon_{r}-1}{\varepsilon_{r}}E_{0}$ , 분극전하량은 $Q_{p}=Q\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r}}\right)$ 이다.
전속밀도 $D$ 는 벡터량이고 $E$ 와 같은 방향이며 분극의 세기 $P$ 와 같지 않다. 전하가 정하므로 유전체와 관계없이 일정하고, 유전체가 바꾸는 것은 $E=\frac{D}{\varepsilon}$ 이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2010년 2차 전기자기학 19번 — 폴리에틸렌의 분극전하밀도두 평행판 축전기에 채워진 폴리에틸렌의 비유전율이 ℇr, 평행판간 거리 (d=1.5㎜일 때, 만일 평행판 내의 전계의 세기가 10kV/m라면 평행판간 폴리에틸렌 표면에 나타난 분극전하 밀도는?계산해설 보기 →2015년 2차 전기자기학 16번 — 비유전율 10 유전체의 표면 전하밀도비유전율이 10인 유전체를 5[V/m]인 전계내에 놓으면 유전체의 표면 전하밀도는 몇 [C/

m^{2}

]인가? (단, 유전체의 표면과 전계는 직각이다.)계산해설 보기 →2020년 1차 전기자기학 12번 — 비유전율 4 의 분극률은 진공의 몇 배비유전율

\varepsilon _{r}

이 4인 유전체의 분극률은 진공의 유전율의 몇 배인가?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 14개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

유전체의 분극

유전체 안의 전계는

E=\frac{E_{0}}{\varepsilon_{s}}

이고 외부 전계와의 차가 분극전하의 전계이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 4문항이 인용

가우스 법칙

닫힌 면을 지나는 전속은 그 안의 전하량과 같아서 같은 전하가 만드는 전속밀도는 유전체와 관계없이 일정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

분극의 세기와 전속밀도의 관계

유전체 안에서

D=\varepsilon_{0}E+P

가 성립한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

유전체 분극의 종류

분극에는 전자 분극, 이온 분극, 배향 분극이 있으며 같은 원자로 된 단결정에서는 전자 분극만 일어난다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

유전체의 분극과 분극전하밀도

유전체 표면의 분극전하밀도는 P=ε0(εr-1)E로 구하며, εr에서 1을 뺀 값에 비례한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

유전체의 분극과 전계 경계조건

유전체 속 전계는 E=

E_{0}

\varepsilon _{s}

로 줄어들며, 걸어 준 전계와의 차이가 분극전하가 만드는 전계

E_{0}

(

\varepsilon _{s}

-1)/

\varepsilon _{s}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

유전체의 분극과 전속밀도

전계가 유전체 표면에 수직으로 작용할 때 표면전하밀도는 전속밀도 D=εE와 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

유전체의 분극과 표면전하

자유전하가 일정할 때 유전체 표면에 나타나는 분극전하는 자유전하에 (1-1/εᵣ)를 곱한 값이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

유전체의 분극과 표면전하밀도

분극전하

\sigma'

는 극판 전하를 일부 상쇄하며, 유전체 속 전계는

E=(\sigma-\sigma')/\varepsilon_{0}=\sigma/\varepsilon

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

전속밀도

D=\varepsilon E

이며 표면에 직각이면 표면전하밀도와 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

전속밀도·전계·분극의 관계

유전체 안에서

D=\varepsilon_{0}E+P

가 성립한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

전속밀도와 분극

유전체 속의 전속밀도는 D = ε₀E + P 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

전속밀도와 분극의 관계

D=\varepsilon_{0}E+P

이고

D=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E

이므로

P=D\left(1-\frac{1}{\varepsilon_{r}}\right)

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

층상 유전체 커패시터의 직렬 합성

판 사이 간격이 두께 방향으로 서로 다른 유전체 층으로 나뉘면, 각 층을 독립된 커패시터로 보고 직렬로 합성한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 19문항 중 1문항이 인용

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