평행판 콘덴서의 정전용량

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 7번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 3차 · 2013년 2차 · 2014년 3차 · 2017년 1차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2022년 1차

2 쉬운 설명

평행판 콘덴서는 두 장의 평평한 금속판(극판)을 마주 보게 놓고 그 사이를 유전체로 채운 콘덴서이다. 극판 넓이를 $S$ , 극판 사이 간격을 $d$ , 유전체의 비유전율을 $\varepsilon_{r}$ 이라 하면 정전용량은 $C=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}S}{d}$ 이다. 넓이와 비유전율에 비례하고 간격에 반비례하며, 공기 중이면 $\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$ 이다. 식에는 2 나 $\pi$ 같은 상수가 들어가지 않는다. 극판 넓이는 문항에 따라 $S$ 로도 $A$ 로도 쓰는데 같은 양이다.

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이 식은 전계에서 나온다. 극판 사이 전계는 $E=\frac{V}{d}$ , 전속밀도는 $D=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}V}{d}$ , 극판의 전하는 $Q=DS$ 이므로 $C=\frac{Q}{V}=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}S}{d}\,\mathrm{F}$ 이다. 면전하밀도 $\sigma$ 로 대전된 무한 평행판 사이의 전계는 위치와 관계없이 $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ 로 같고 전위차는 $V=Ed$ 이다. 간격 3 m 인 무한 평판에 $+4\,\mathrm{C/m^{2}}$ , $-4\,\mathrm{C/m^{2}}$ 을 주면 $E\approx4.52\times10^{11}\,\mathrm{V/m}$ 이고 여기에 3 m 를 곱한 $V\approx1.36\times10^{12}\,\mathrm{V}$ 가 전위차이다.

수치를 넣을 때는 단위부터 m 로 맞춘다. 반지름 30 cm 의 원판 전극이면 $S=\pi r^{2}$ 이므로 $S=\pi\times0.3^{2}\approx0.283\,\mathrm{m^{2}}$ 이고, 간격 0.1 cm 는 $d=10^{-3}\,\mathrm{m}$ 이다. 비유전율이 4.0 이면 $C=\frac{8.855\times10^{-12}\times4.0\times0.283}{10^{-3}}\approx1.0\times10^{-8}\,\mathrm{F}=0.01\,\mu\mathrm{F}$ 이다. 0.02, 0.03, 0.04 μF 는 이 값의 2배, 3배, 4배라서 모두 아니다.

종이를 여러 장 겹친 콘덴서의 장수는 간격 $d$ 로 구한다. 겹친 총 두께가 곧 극판 간격이므로 식을 $d=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}A}{C}$ 로 바꾼 뒤 장수 = 총 두께 ÷ 한 장 두께 로 센다. $A=4\,[\mathrm{cm^{2}}]=4\times10^{-4}\,[\mathrm{m^{2}}]$ , $C=10\,[\mathrm{pF}]=10\times10^{-12}\,[\mathrm{F}]$ , $\varepsilon_{r}=2.5$ 이면 분자는 $8.854\times10^{-12}\times2.5\times4\times10^{-4}=8.854\times10^{-15}$ 이고 $d\approx8.854\times10^{-4}\,[\mathrm{m}]=0.8854\,[\mathrm{mm}]$ 이다. 한 장 두께 0.01 mm 로 나누면 $n=0.8854\div0.01\approx88.5$ 이므로 올림하여 약 89장이다. 885장과 8850장은 자릿수가 어긋난 값이고 100장까지 겹칠 필요도 없다.

전하량이 고정된 평행판 사이에서 두 판이 서로 당기는 힘은 $F=\frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}A}$ 이다. 판 사이 전계는 $E=\frac{Q}{\varepsilon_{0}A}$ 인데, 한 판이 느끼는 것은 상대 판이 만든 전계, 곧 전체의 절반뿐이어서 분모에 2 가 붙는다. 판 간격은 식에 들어가지 않아 답과 무관하다. 면적 0.02 $\mathrm{m^{2}}$ , 전하 $1.0\times10^{-6}\,\mathrm{C}$ 이면 $Q^{2}=1.0\times10^{-12}\,\mathrm{C^{2}}$ , $2\varepsilon_{0}A=2\times8.854\times10^{-12}\times0.02=3.542\times10^{-13}$ 이고 $F\approx2.82\,\mathrm{N}$ 이며, $\varepsilon_{0}=\frac{1}{36\pi\times10^{9}}\approx8.842\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ 로 넣으면 약 2.83 N 이 되어 보기 중 가장 가까운 값은 ④ 2.83 N 이다. 1.13, 1.41, 1.89 는 분모의 2 대신 5, 4, 3 을 쓴 값이다.

극판 사이가 나뉘어 있으면 나뉜 방향을 보고 병렬과 직렬을 가른다. 극판 넓이를 나눠 한쪽만 유전체를 채우면 같은 극판을 공유하는 병렬이라 정전용량을 더한다. 넓이의 절반에 비유전율 $\varepsilon_{r}$ 유전체를 채우면 $C=\frac{1}{2}\left(1+\varepsilon_{r}\right)C_{0}$ 이고, 넓이의 $\frac{2}{3}$ 에 채우면 $\frac{1+2\varepsilon_{r}}{3}C_{0}$ 이다. 반대로 두께 방향으로 나눠 채우면 직렬이다. 0.03 μF 공기 콘덴서에 절반 두께로 비유전율 10 인 유리를 넣으면 $C_{1}=2C_{0}=0.06\,\mu\mathrm{F}$ , $C_{2}=10\times2C_{0}=20C_{0}=0.6\,\mu\mathrm{F}$ 이고 $C=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}=\frac{0.06\times0.6}{0.66}\approx0.055\,\mu\mathrm{F}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 평행판

\displaystyle C=\frac{\varepsilon S}{d}

— 면적은 위, 간격은 아래. 넓을수록, 가까울수록, 비유전율이 클수록 크다.

암기팁 평행판이 서로 당기는 힘

\displaystyle F=\frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}A}

— 판 간격

d

는 전하량이 고정일 때 답과 무관하다.

함정 주의 계산 전에 cm·cm²·pF 를 m·m²·F 로 맞춘다. 885장·8850장처럼 자릿수가 어긋난 값이 오답 보기로 놓여 있다. 인력 식은 분모가 2 이다 — 2 대신 3, 4, 5 를 쓴 값(1.89, 1.41, 1.13)이 오답 보기다.

평행판 콘덴서는 $C=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}S}{d}$ 이다. 면적은 분자에, 간격은 분모에 있고 2 나 $\pi$ 같은 상수는 없다. 공기 중이면 $\varepsilon_{0}\frac{S}{d}$ 이다.
계산 전에 단위를 m 로 맞춘다. 반지름 30 cm, 간격 0.1 cm, 면적 4 cm², 정전용량 10 pF 를 각각 m, m², F 로 바꾼다. 원판 극판은 $S=\pi r^{2}$ 이다.
겹친 종이 장수는 $d=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}A}{C}$ 로 총 두께를 먼저 구하고 한 장 두께로 나눠 올림한다(88.5 → 89장). 자릿수가 어긋난 885장(×10)·8850장이 오답으로 놓여 있다.

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전하가 고정된 평행판의 인력은 $F=\frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}A}$ 이다. 분모의 2 는 상대 판이 만든 전계(전체의 절반)만 작용하기 때문이며, 판 간격은 답과 무관하다. 2 대신 3, 4, 5 를 쓴 값이 오답이다.
극판 넓이가 나뉘면 병렬(정전용량을 더함), 두께 방향으로 나뉘면 직렬이다. 나뉜 방향을 먼저 확인한다.
무한 평행판 $+\sigma$ , $-\sigma$ 사이는 $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ , 전위차는 $V=Ed$ 이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2010년 3차 전기자기학 19번 — 종이 콘덴서에 필요한 장수극판의 면적이 4[

\mathrm{cm}^{2}

], 정전 용량이 10pF 인 종이 콘덴서를 만들려고 한다. 비유전율 2.5, 두께 0.01mm의 종이를 사용하면 약 몇 장을 겹쳐야 되겠는가?계산해설 보기 →2020년 2차 전기자기학 17번 — 원판 평행판 콘덴서의 정전용량반지름이 30cm인 원판 전극의 평행판 콘덴서가 있다. 전극의 간격이 0.1cm 이며 전극 사이 유전체의 비유전율이 4.0 이라 한다. 이 콘덴서의 정전용량은 약 몇 μF 인가?계산해설 보기 →2022년 1차 전기자기학 1번 — 전하 고정 평행판 사이의 인력면적이 0.02

m^{2}

, 간격이 0.03m이고, 공기로 채워진 평행평판의 커패시터에 1.0×

10^{-6}

C의 전하를 충전시킬 때, 두 판 사이에 작용하는 힘의 크기는 약 몇 N 인가?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 7개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

평행판 콘덴서

C=\frac{\varepsilon S}{d}

이고 극판이 공통인 부분은 병렬로 정전용량을 더한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 3문항이 인용

평행판 콘덴서의 정전용량

면적 S, 간격 d, 유전율 ε 인 평행판의 정전용량은

C=\varepsilon S/d

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 10문항 중 2문항이 인용

무한 평행판의 전계

면전하밀도

\pm\sigma

인 무한 평행판 사이의 전계는

E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}

이고 전위차는

V=Ed

이다.