콘덴서의 직렬·병렬 연결

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 8번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 2차 · 2011년 3차 · 2013년 1차 · 2013년 3차 · 2014년 3차 · 2015년 1차 · 2017년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

콘덴서를 한 줄로 이으면 직렬, 나란히 이으면 병렬이다. 직렬에서는 모든 콘덴서에 같은 전하 $Q$ 가 쌓이고, 병렬에서는 모든 콘덴서가 같은 전압을 받으며 합성 정전용량은 각 정전용량의 합이다. 콘덴서에 저장되는 전하는 $Q=CV$ 이다.

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직렬에서는 $Q$ 가 같으므로 각 콘덴서의 전압은 $V=\frac{Q}{C}$ 이다. 그래서 정전용량이 작은 콘덴서에 전압이 많이 걸린다. 합성 정전용량은 $\frac{1}{C}=\sum\frac{1}{C_{i}}$ 로 구하고, 두 개이면 $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}$ 이다. 이 값은 가장 작은 것보다도 작다. 정전용량의 합과 같다는 것은 병렬의 성질이다. 직렬로 이어진 각 콘덴서의 두 전극에는 정전유도로 정·부의 같은 전하가 나타나 전하량이 일정하다.

세 콘덴서를 직렬로 이어 600 V 를 가하는 문제는 순서대로 푼다. 용량은 $C_{1}$ 이 1 μF, $C_{2}$ 가 2 μF, $C_{3}$ 가 3 μF 이다. 1단계 합성은 $\frac{1}{C}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$ 이므로 $C=\frac{6}{11}\,\mu\mathrm{F}$ 이다. 2단계 전하는 $Q=CV=\frac{6}{11}\times600\approx327\,\mu\mathrm{C}$ 이다. 3단계 $C_{1}$ 양단 전압은 $V_{1}=\frac{Q}{C_{1}}=\frac{327}{1}\approx327\,\mathrm{V}$ 이다. 나머지 $C_{2}$ , $C_{3}$ 에는 약 164 V, 약 109 V 가 걸리고 모두 더하면 600 V 가 된다.

내압 문제도 같은 원리이다. 내압이 모두 1 kV 이고 용량이 0.01 μF, 0.02 μF, 0.04 μF 인 콘덴서를 직렬로 이으면 전하가 같으므로 용량이 가장 작은 0.01 μF 가 먼저 내압 1 kV 에 닿는다. 이때 $Q=CV=0.01\times10^{-6}\times1000=1\times10^{-5}\,\mathrm{C}$ 이다. 같은 $Q$ 에서 나머지 두 콘덴서에는 각각 500 V, 250 V 가 걸려 모두 내압 이하이므로 전체 내압은 $1000+500+250=1750\,\mathrm{V}$ 이다. 직렬 전체는 세 내압의 합 3 kV 를 넘을 수 없고, 2000 V 를 걸면 0.01 μF 에 약 1143 V 가 걸려 내압 1 kV 를 넘는다.

평행판 콘덴서의 용량은 $C=\frac{\varepsilon S}{d}$ 이다. 극판과 나란하게 층이 나뉘면 직렬, 극판과 수직으로 나뉘면 병렬이다. 직렬 합성은 $\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}$ 이다. 전극 간격의 절반만 유리판(비유전율 $\varepsilon_{r}$ )으로 극판과 나란히 채우는 경우, 원래 용량을 $C$ 라 하면 각 층의 두께가 $\frac{d}{2}$ 이므로 용량이 2배가 되어 공기층은 $2C$ , 유리층은 $2\varepsilon_{r}C$ 이고, 합성은 $\frac{2\varepsilon_{r}C}{1+\varepsilon_{r}}$ 이다. 같은 상황을 공기 커패시터의 원래 용량 $C_{0}$ 로 쓰면, 극판 사이를 극판과 평행하게 절반만 비유전율 $\varepsilon_{r}$ 인 유전체로 채웠을 때 공기층 $2C_{0}$ ·유전체층 $2\varepsilon_{r}C_{0}$ 의 직렬이 되어 $\frac{2C_{0}}{1+\frac{1}{\varepsilon_{r}}}$ 이다. 공기층 4 mm(약 553 pF)와 비유전율 4 인 유전체층 6 mm(약 1476 pF)를 직렬로 합치면 약 402 pF 로, 작은 쪽 553 pF 보다도 작다.

병렬 묶음이 다른 콘덴서와 직렬로 이어진 회로는 병렬 부분을 먼저 하나로 묶고 직렬로 본다. $C_{1}$ 과 $C_{2}$ 가 병렬이면 $C_{1}+C_{2}$ 이고, 이것이 $C_{0}$ 와 직렬이면 전하가 같아 $C_{1}$ 에 걸리는 전압은 $V_{1}=\frac{C_{0}}{C_{0}+C_{1}+C_{2}}V$ 이다. 저장 에너지는 $\frac{1}{2}CV^{2}$ 이다. 같은 방식으로, 직렬 $n$ 개의 맨 아래 콘덴서에만 정전전압계 $C_{o}$ 를 병렬로 달면 그 소자를 지나는 전하가 늘어 전체 전압 $V_{0}$ 가 $nV$ 보다 커지고 $\left[n+\frac{C_{o}}{C}(n-1)\right]V$ 가 된다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 직렬 콘덴서는 전하는 같다, 용량은 역수 합, 전압은 작은 쪽이 크다.

암기팁 극판과 나란하게 층이 나뉘면 직렬(

\displaystyle \frac{1}{C}

를 더한다), 극판과 수직으로 나뉘면 병렬.

함정 주의 직렬과 병렬을 서로 바꿔 외우지 않도록 주의한다. 병렬이면 각 콘덴서에 같은 전압이 걸리고 용량이 더해진다.

직렬은 전하 $Q$ 가 같고 전압은 정전용량에 반비례해 나뉜다(작은 쪽이 크다). 병렬은 전압이 같고 합성 정전용량은 합이다. 무엇이 같은지부터 확인한다.
직렬 합성 정전용량은 합이 아니라 역수를 더한 값의 역수이며 각 정전용량보다 작아진다. 「합과 같다」는 병렬의 성질이므로 직렬 설명에서 이 말이 나오면 옳지 않은 설명이다.
직렬 내압은 가장 작은 용량이 먼저 한계에 닿는다. 그 전하로 나머지 전압을 구해 모두 더한다. 전체는 각 내압의 합(예: 3 kV)을 넘을 수 없다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

직렬 전압 계산은 합성 → $Q=CV$ → $V=\frac{Q}{C}$ 순서로 하고, 구한 전압을 모두 더해 인가 전압과 같은지 확인한다. 가장 작은 용량( $C_{1}$ )이 가장 큰 전압을 받으며 약 164 V 는 $C_{2}$ 쪽 값이다.
극판과 나란하게 층이 나뉘면 직렬( $\frac{1}{C}$ 을 더한다), 수직으로 나뉘면 병렬이다. 간격의 절반을 채우면 층마다 용량이 2배이다.
직렬로 이은 각 콘덴서의 두 전극에는 정·부의 같은 전하가 나타나 전하량이 일정하다. 병렬 묶음이 다른 콘덴서와 직렬로 이어진 회로는 병렬 부분을 먼저 합친 뒤 직렬로 푼다.