정전응력(도체 표면의 힘)

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 6번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2012년 2차 · 2018년 2차 · 2019년 3차 · 2020년 2차 · 2021년 1차 · 2021년 3차

2 쉬운 설명

정전응력은 전계 속의 도체 표면이 단위 넓이당 받는 힘이고 단위는 $\mathrm{N/m^{2}}$ 이다. 전하가 쌓인 도체 표면은 전계 때문에 바깥쪽으로 당겨진다. 크기는 전계로 쓰면 $f=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$ , 전하밀도 $\sigma$ 로 쓰면 $f=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}$ 이며 둘은 같은 값이다( $f=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$ ). 이 식은 진공 중의 식이며, $\varepsilon_{0}$ 는 진공의 유전율(약 $8.855\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ )이고 공기 중이면 $\varepsilon_{0}$ 를 쓴다. 이 힘은 전계의 제곱에 비례한다.

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평행판 도체에 전압 $V$ , 간격 $d$ 이면 전계는 $E=\frac{V}{d}$ 이고 단위 면적당 힘은 $f=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left(\frac{V}{d}\right)^{2}$ 이다. 반대 전하를 띤 두 판이 서로 끌어당기는 힘이며, 판 전체가 받는 힘은 면적 $S$ 를 곱한 $F=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}S=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left(\frac{V}{d}\right)^{2}S$ 이다. 판 사이에 유전율 $\varepsilon$ 인 유전체가 있으면 판을 떼어내는 데 필요한 힘은 $\frac{1}{2}\varepsilon\frac{V^{2}}{d^{2}}S$ 이다. 전압이 높고 간격이 좁을수록 힘이 제곱으로 커진다.

공기 중 코로나방전이 3.5 kV/mm 의 전계에서 발생할 때 도체 표면에 작용하는 힘은 단위부터 맞춰 계산한다. 먼저 $E=3.5\,\mathrm{kV/mm}=3.5\times10^{6}\,\mathrm{V/m}$ 로 바꾼다. 다음 $E^{2}=(3.5\times10^{6})^{2}=1.225\times10^{13}$ 이다. 마지막으로 $f=\frac{1}{2}\times8.855\times10^{-12}\times1.225\times10^{13}\approx54.2\,\mathrm{N/m^{2}}$ 이므로 보기 중 54 가 답이다.

전하밀도가 주어지면 $f=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}$ 을 쓴다. 평판 도체 표면의 전하밀도가 2 μC/m² 이면 SI 단위로 $\sigma=2\,\mu\mathrm{C/m^{2}}=2\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^{2}}$ 으로 바꾸고, $f=\frac{(2\times10^{-6})^{2}}{2\times8.855\times10^{-12}}$ 에서 약 $0.226\,\mathrm{N/m^{2}}$ 이다. 문제에 나온 간격 4 cm 는 이 식에 들어가지 않는다.

공기 콘덴서의 두 판 사이에 작용하는 힘(N)은 순서대로 구한다. 1단계 단위 변환으로 $d=3\,\mathrm{cm}=0.03\,\mathrm{m}$ , $S=30\,\mathrm{cm^{2}}=30\times10^{-4}\,\mathrm{m^{2}}$ , $V=220\,\mathrm{V}$ 로 둔다. 2단계 전계는 $E=\frac{V}{d}=\frac{220}{0.03}\approx7{,}333\,\mathrm{V/m}$ 이다. 3단계 단위 면적당 힘은 $\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}\approx2.38\times10^{-4}\,\mathrm{N/m^{2}}$ 이다. 4단계 면적을 곱해 $F\approx7.14\times10^{-7}\,\mathrm{N}$ 을 얻는다. 단위를 바꾸지 않으면 자릿수가 크게 달라진다.

반지름 $a$ 인 구 도체에 전하 $Q$ 가 있으면 표면 전계는 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}a^{2}}$ 이다. 이를 $f=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$ 에 넣으면 $f=\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}a^{4}}$ $\mathrm{N/m^{2}}$ 이다. 반지름 $a$ 가 작을수록 표면 전계가 세져서 같은 전하에서도 표면이 받는 힘이 커진다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 정전응력

\displaystyle f=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}

암기팁 평행판 힘:

\displaystyle F=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}S=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\left(\frac{V}{d}\right)^{2}S

\mathrm{kV/mm}

는

10^{6}\,\mathrm{V/m}

로, cm 는 m 로 바꿔 넣는다.

함정 주의 단위 변환을 빼먹으면 보기 사이의 자릿수가 크게 달라진다. 보기 값이 계산값의 몇 배인지 자릿수부터 점검한다.

도체 표면의 단위 넓이당 힘은 $f=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$ 이다. $E$ 의 제곱에 비례한다. $\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$ 는 전계가 있는 곳의 단위 부피당 에너지와 같은 식이다.
같은 값을 세 꼴로 쓴다: $f=\frac{\sigma^{2}}{2\varepsilon_{0}}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$ , 평행판이면 $E=\frac{V}{d}$ , 구 도체면 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}a^{2}}$ . 주어진 양에 맞는 꼴을 고른다.
계산 전에 단위를 SI 로 바꾼다: kV/mm 는 $10^{6}\,\mathrm{V/m}$ , μC 는 $10^{-6}\,\mathrm{C}$ , cm 는 m, $\mathrm{cm^{2}}$ 는 $10^{-4}\,\mathrm{m^{2}}$ . 바꾸지 않으면 자릿수가 틀린다.

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문제에 나와도 식에 들어가지 않는 값이 있다. 전하밀도 $\sigma$ 로 구할 때 판 간격 4 cm 는 필요 없다.
단위가 $\mathrm{N/m^{2}}$ 이면 단위 면적당 힘 $f$ , 단위가 N 이면 면적 $S$ 를 곱한 전체 힘 $F$ 이다.
구 도체 표면의 힘은 $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}a^{2}}$ 을 $\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$ 에 넣어 정리한다. 반지름이 작을수록 힘이 커진다.