상호인덕턴스와 결합계수

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 13번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 1차 · 2012년 1차 · 2012년 2차 · 2013년 1차 · 2013년 3차 · 2014년 1차 · 2014년 3차 · 2016년 1차 · 2016년 2차 · 2018년 1차 · 2018년 3차 · 2019년 1차 · 2020년 1차

2 쉬운 설명

상호 인덕턴스 $M$ 은 한 코일(회로)의 전류 변화가 다른 코일에 전압을 만드는 정도이며 단위는 H(헨리)이다. 상호유도계수와 같은 말이다. 유도전압은 $e=M\frac{\Delta I}{\Delta t}$ 이므로, 송전선 전류가 0.01초 사이에 10 kA 변하고 상호유도계수가 0.3 mH 이면 $\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{10\times10^{3}}{0.01}=10^{6}\,\mathrm{A/s}$ 이고 $M=0.3\,\mathrm{mH}=3\times10^{-4}\,\mathrm{H}$ 이므로 나란한 통신선에는 $e=300\,\mathrm{V}$ 가 유도된다.

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결합계수 $k$ 는 두 코일이 자속을 얼마나 함께 쓰는지, 곧 한 코일이 만든 자속 중 다른 코일을 지나는 비율이다. $k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}$ 로 정하며 $L_{1}$ , $L_{2}$ 는 각 코일의 자기 인덕턴스이다. 자속이 전부 지나가면 $k=1$ , 하나도 지나가지 않으면 $k=0$ 이므로 $0\le k\le1$ 이다. 실제 코일은 자속이 공기 중으로 일부 새는 누설자속이 있어 일반적인 자기 결합에서는 $0<k<1$ 이고, $k<0$ 이나 $k>1$ 은 범위에 없다.

같은 식을 거꾸로 쓰면 $M=k\sqrt{L_{1}L_{2}}$ 이다. 누설자속이 없으면 $k=1$ 이고 $M=\sqrt{L_{1}L_{2}}$ 로, 이 값이 $M$ 이 가질 수 있는 최댓값이다. 코일에 A·B 이름이 붙은 문항에서는 자기 인덕턴스를 $L_{A}$ , $L_{B}$ 로 쓰며 $L_{1}$ , $L_{2}$ 와 같은 뜻이다. $k=1$ 이면 $M^{2}=L_{A}L_{B}$ 이다.

같은 환상 철심에 감긴 코일의 자기 인덕턴스는 권수의 제곱에 비례한다( $L\propto N^{2}$ ). 환상 철심은 자속이 거의 철심 안에만 있어 누설자속이 없는 것으로 본다. 권수 3000회 A코일의 자기 인덕턴스가 360 mH, 권수 200회 B코일이고 결합계수가 1 일 때 상호 인덕턴스는 이렇게 구한다. 먼저 $L_{B}=L_{A}\left(\frac{N_{B}}{N_{A}}\right)^{2}=360\times\left(\frac{200}{3000}\right)^{2}=1.6\,\mathrm{mH}$ 이고, 결합계수가 1 이므로 $M=\sqrt{L_{A}L_{B}}=\sqrt{360\times1.6}=\sqrt{576}=24\,\mathrm{mH}$ 이다. 16·36·72 는 이 계산값 24 mH 와 다르다.

거꾸로 권수를 구하는 문제도 같은 식으로 푼다. A코일 1000회의 자기 인덕턴스가 100 mH, 두 코일 사이의 상호 인덕턴스가 20 mH, 결합계수가 1 일 때 B코일의 권수 $N$ 은 이렇게 구한다. $k=1$ 이면 $M^{2}=L_{A}L_{B}$ 이므로 $L_{B}=\frac{M^{2}}{L_{A}}=\frac{20^{2}}{100}=4\,\mathrm{mH}$ 이다. 같은 철심이라 $\frac{L_{B}}{L_{A}}=\left(\frac{N}{1000}\right)^{2}$ 이고, $\frac{4}{100}=\left(\frac{N}{1000}\right)^{2}$ 에서 $\frac{N}{1000}=0.2$ 이므로 $N=0.2\times1000=200$ 회이다. 보기의 권수 100·300·400 회로 확인하면 $L_{B}$ 가 1·9·16 mH, $M$ 이 10·30·40 mH 가 되어 20 mH 와 다르다.

결합계수가 1 일 때 권수의 비만 알아도 상호 인덕턴스를 바로 구할 수 있다. 같은 철심에서 $L$ 은 권수의 제곱에, $M$ 은 두 코일 권수의 곱에 비례하므로 $M=L_{A}\frac{N_{B}}{N_{A}}=360\times\frac{200}{3000}=24\,\mathrm{mH}$ 로도 같은 값이 나온다. 누설자속이 0 이고 철심의 자기저항을 $R$ 이라 하면 $L_{1}=\frac{N_{1}^{2}}{R}$ , $M=\frac{N_{1}N_{2}}{R}$ 이어서 $M=\frac{L_{1}N_{2}}{N_{1}}$ 이다. 권수 100회 A코일의 자기 인덕턴스가 4 H, B코일이 400회이면 $L_{B}$ 는 16배인 64 H 이고 $M=\sqrt{4\times64}=16\,\mathrm{H}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

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4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

M=k\sqrt{L_{1}L_{2}}

L\propto N^{2}

—

k=1

이면

M^{2}=L_{1}L_{2}

암기팁 결합계수는

0\le k\le1

— 일반적인 결합은 누설자속 때문에

0&lt;k&lt;1

, 이상적인 결합은

k=1

함정 주의 자기 인덕턴스는 권수의 제곱, 상호 인덕턴스는 두 코일 권수의 곱에 비례한다. A코일의 4배 권수인 B코일은

L_{B}

가 16배,

M

은

L_{A}

의 4배이다.

결합계수는 $k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}$ 이고 범위는 $0\le k\le1$ 이다 — $M$ 은 $\sqrt{L_{1}L_{2}}$ 를 넘을 수 없다. $1\le k\le2$ 같은 보기, $k<0$ , $k>1$ 은 틀리다.
누설자속이 있는 일반적인 결합은 $0<k<1$ , 누설이 없는 이상적 결합은 $k=1$ , 자속이 전혀 이어지지 않으면 $k=0$ (상호 인덕턴스 0)이다.
$M=k\sqrt{L_{1}L_{2}}$ 이고, $k=1$ 이면 $M^{2}=L_{1}L_{2}$ 이다. 같은 철심의 코일은 $L\propto N^{2}$ 이다.

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계산 순서 — $L_{B}=L_{A}\left(\frac{N_{B}}{N_{A}}\right)^{2}$ → $M=\sqrt{L_{A}L_{B}}$ , 또는 $M=L_{A}\frac{N_{B}}{N_{A}}$ . 권수를 구할 때는 $L_{B}=\frac{M^{2}}{L_{A}}$ 를 먼저 구하고 $\frac{L_{B}}{L_{A}}=\left(\frac{N}{N_{A}}\right)^{2}$ 에서 $N$ 을 푼다.
유도전압은 $e=M\frac{\Delta I}{\Delta t}$ — 전류 변화율에 $M$ 을 곱한다. mH 는 H 로 바꿔 넣는다( $M=0.3\,\mathrm{mH}=3\times10^{-4}\,\mathrm{H}$ ).
환상 철심(투자율 $\mu$ , 단면적 $S$ , 자로 길이 $l$ )의 상호 인덕턴스는 $M=\frac{\mu N_{1}N_{2}S}{l}$ 이고 $\mu=\mu_{0}\mu_{s}=4\pi\times10^{-7}\mu_{s}$ 이다. 노이만의 식 $M=\frac{\mu}{4\pi}\oint_{c_{1}}\oint_{c_{2}}\frac{dl_{1}\cdot dl_{2}}{r_{12}}$ 에는 유전율 $\varepsilon$ 이 들어가지 않고 두 미소 부분의 곱은 외적이 아니라 내적이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2012년 1차 전기자기학 17번 — 상호 인덕턴스로 B코일 권수 구하기환상 철심에 권수 1000회의 A코일과 권수 N회의 B 코일이 감겨져 있다. A코일의 자기 인덕턴스가 100[mH]이고, 두 코일 사이의 상호 인덕턴스가 20[mH], 결합 계수가 1일 때 B코일의 권수 N은?계산해설 보기 →2014년 3차 전기자기학 3번 — 일반적인 자기 결합의 결합계수 범위자기 인덕턴스

L_{1}

L_{2}

와 상호 인덕턴스 M일 때, 일반적인 자기 결합 상태에서 결합계수 k는?옳은 것 고르기해설 보기 →2019년 1차 전기자기학 9번 — 환상철심 두 코일의 상호 인덕턴스환상철심에 권수 3000회 A코일과 권수 200회 B코일이 감겨져 있다. A코일의 자기인덕턴스가 360mH일 때 A, B 두 코일의 상호 인덕턴스는 몇 mH 인가? (단, 결합계수는 1이다.)계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 9개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

결합계수

M=k\sqrt{L_{1}L_{2}}

이며

k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 4문항이 인용

상호 인덕턴스와 결합계수

M=k\sqrt{L_{1}L_{2}}

이며 같은 철심의 코일은

L\propto N^{2}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 3문항이 인용

결합계수의 정의

k=M/√(L₁L₂)로 정의되며 상호인덕턴스가 기하평균 √(L₁L₂)을 넘을 수 없다는 물리적 제약에서 0≤k≤1이 성립한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

노이만의 상호인덕턴스 식

두 폐회로의 상호인덕턴스는

M=\frac{\mu}{4\pi}\oint_{c_{1}}\oint_{c_{2}}\frac{dl_{1}\cdot dl_{2}}{r_{12}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

상호 인덕턴스

M=k\sqrt{L_{A}L_{B}}

이고 같은 철심에서

L\propto N^{2}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

상호유도

한 코일의 전류 변화가 다른 코일에

e_{2}=M\frac{di_{1}}{dt}

의 기전력을 만든다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

인덕턴스와 권수의 관계

같은 철심에서

L\propto N^{2}

이고 누설이 없으면

M=\sqrt{L_{A}L_{B}}=L_{A}\frac{N_{B}}{N_{A}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

자기회로

권수

N

, 자기저항

R

인 코일의 인덕턴스는

L=\frac{N^{2}}{R}

이고, 누설이 없을 때 두 코일의 상호인덕턴스는

M=\frac{N_{1}N_{2}}{R}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

환상 철심의 상호인덕턴스

같은 환상 철심에 감긴 두 코일의 상호인덕턴스는

M=\frac{\mu N_{1}N_{2}S}{l}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

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