변위전류

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 17번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 1차 · 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2012년 2차 · 2013년 2차 · 2013년 3차 · 2014년 2차 · 2015년 3차 · 2016년 1차 · 2017년 3차 · 2018년 2차 · 2018년 3차 · 2019년 3차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 3차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

변위전류는 도체가 아닌 곳, 곧 콘덴서의 두 극판 사이 유전체처럼 전하가 건너가지 못하는 곳에서 전속밀도 $D$ 가 시간에 따라 변할 때 전류처럼 작용하는 양이다. 변위전류밀도는 $i_{d}=\frac{\partial D}{\partial t}$ 이고 $D=\varepsilon E$ ( $\varepsilon$ 는 유전율, $E$ 는 전계의 세기)이므로 $i_{d}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}$ 로도 쓴다(단위 $\mathrm{A/m^{2}}$ ). 문항에 따라 $J_{d}$ , $j_{d}$ 로 적기도 하지만 같은 양이며, 밀도이므로 면적 $S$ 를 곱하거나 나누지 않는다. 식에는 전속밀도·유전율·전계의 세기가 들어가고 자계의 세기 $H$ 는 들어가지 않으므로, 「변위전류밀도와 관계 없는 것」은 자계의 세기이다. 직류에서는 전속밀도가 변하지 않아 극판 사이에 변위전류가 흐르지 않는다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

맥스웰이 도입한 변위전류는 전도전류와 구별된다. 도체에서는 전하가 실제로 움직이는 전도전류가 흐르지만, 변위전류는 전하가 움직이지 않아도 전속밀도가 변하면 흐르는 것으로 보는 전류이므로 유전체와 관계가 가장 깊다(도체나 반도체는 전도전류가 주된 전류이다). 변위전류도 도체 전류처럼 자계를 만들기 때문에 「변위전류는 자계를 발생하지 않는다」는 보기는 맥스웰의 이론이 아니다. 교류 전원에 평행판 콘덴서를 접속하면 도선의 전도전류밀도 $i$ 와 극판 사이의 변위전류 $\frac{\partial D}{\partial t}$ 를 합친 전류가 끊어지지 않고 이어져 $\nabla\cdot\left(i+\frac{\partial D}{\partial t}\right)=0$ 이 성립한다.

변위전류로 생긴 전자파의 위상은 교류에서 시간 미분이 $j\omega$ 를 곱하는 일이라는 데서 나온다. $i_{d}=j\omega\varepsilon E$ 에서 $j$ 는 위상이 90° 앞선다는 뜻이므로 변위전류가 전계보다 90° 앞서고, 거꾸로 전계(전자파)는 변위전류보다 90° 늦다. 「90° 빠르다」는 앞뒤가 반대인 보기이고, 30° 는 늦는 쪽이든 빠른 쪽이든 각도가 맞지 않는다(위상차는 90°).

콘덴서에 사인·코사인 전압을 걸면 변위전류는 미분으로 구한다. 간격 $d$ , 유전율 $\varepsilon$ 인 평행판 전극 사이의 전계는 $E=\frac{v}{d}$ , 전속밀도는 $D=\varepsilon E$ , 변위전류밀도는 $J_{d}=\frac{dD}{dt}$ 이다. 전압이 $v(t)=V_{m}\sin\omega t$ 이면 $\sin\omega t$ 의 미분이 $\omega\cos\omega t$ 이므로 $J_{d}=\frac{\varepsilon\omega V_{m}}{d}\cos\omega t$ 이다. 전압이 $V_{m}\cos\omega t$ 이면 $\cos\omega t$ 의 미분이 $-\omega\sin\omega t$ 이므로 $J_{d}=-\frac{\varepsilon}{d}\omega V_{m}\sin\omega t\,\mathrm{A/m^{2}}$ 로 음의 부호가 붙는다. 정전용량 $C$ 인 콘덴서에 $v=V_{s}\sin\omega t$ 를 걸면 $q=Cv$ 이고 $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{dv}{dt}$ ( $i$ 는 콘덴서로 드나드는 전류, 단위 A) 이므로 변위전류는 $\omega CV_{s}\cos\omega t$ 이며 전압보다 90° 앞서는 코사인 모양이다. 전압이 변하지 않으면 변위전류는 0 이다.

변위전류밀도는 주파수에 비례한다. 전계 $E$ 가 각주파수 $\omega=2\pi f$ 로 변하면 $J_{d}=\omega\varepsilon_{0}E=2\pi f\varepsilon_{0}E$ 이고( $\varepsilon_{0}$ 는 진공의 유전율), 공기 중에서 전계 2 V/m 에 변위전류밀도 2 A/m² 를 흐르게 하는 주파수는 $f=\frac{J_{d}}{2\pi\varepsilon_{0}E}=\frac{2}{2\pi\times8.855\times10^{-12}\times2}\approx1.8\times10^{10}\,\mathrm{Hz}=18000\,\mathrm{MHz}$ 이다. 9000 MHz 는 그 절반, 36000 MHz 는 2배, 72000 MHz 는 4배이다. 도전율 $\sigma$ , 비유전율 $\varepsilon_{s}$ (문항에 따라 $\varepsilon_{r}$ 로도 쓰며 같은 양)인 매질에서는 도전전류밀도 $i_{c}=\sigma E$ 와 변위전류밀도 $i_{d}=\omega\varepsilon E$ 의 크기가 같아지는 조건이 $\sigma=2\pi f\varepsilon_{0}\varepsilon_{s}$ 이므로 $f=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{s}}$ 이다. $\sigma=1\,\mathrm{S/m}$ , $\varepsilon_{s}=6$ 이면 $f\approx3.0\times10^{9}\,\mathrm{Hz}$ 이다.

반지름 $a$ 인 원형 단면 도선에 전도전류 $i_{c}=I_{c}\sin2\pi ft$ (여기의 $i_{c}$ 는 전류[A]이고 그 밀도가 $j_{c}$ 이다 — 앞 문단의 도전전류밀도 $i_{c}=\sigma E$ 와 다르다)가 흐를 때 도선 안 변위전류밀도의 최대값은 다음 순서로 구한다(도전율 $\sigma$ , 비유전율 $\varepsilon_{r}$ ). 1단계 전도전류밀도는 $j_{c}=\frac{I_{c}}{\pi a^{2}}\sin2\pi ft$ . 2단계 도선 안 전계는 $E=\frac{j_{c}}{\sigma}$ , 전속밀도는 $D=\varepsilon E=\frac{\varepsilon j_{c}}{\sigma}$ . 3단계 $j_{d}=\frac{\partial D}{\partial t}=\frac{2\pi f\varepsilon I_{c}}{\sigma\pi a^{2}}\cos2\pi ft$ 이고 최대값은 $\cos$ 이 1 일 때이다. 4단계 $\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}=\frac{\varepsilon_{r}}{36\pi\times10^{9}}$ 를 넣으면 $j_{d}=\frac{f\varepsilon_{r}I_{c}}{18\pi\times10^{9}\sigma a^{2}}$ 이다. 식에서 $f$ 가 분자에 있으므로 주파수가 높을수록 변위전류밀도가 커진다. 도선 안에서는 보통 전도전류가 훨씬 크지만 주파수가 아주 높아지면 변위전류도 무시하지 못한다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 변위전류밀도

\displaystyle i_{d}=\frac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}

—

H

는 없다. 유전체 속 전속밀도의 시간 변화.

암기팁 전자파(전계)는 변위전류보다 90° 늦다 —

i_{d}=j\omega\varepsilon E

함정 주의

\cos

을 미분하면

-\sin

: 부호와

\omega

를 놓치지 않는다.

변위전류밀도 $i_{d}=\frac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}$ : 전속밀도 $D$ ·유전율 $\varepsilon$ ·전계의 세기 $E$ 와는 관계가 있고, 자계의 세기 $H$ 와는 관계가 없다.
변위전류와 가장 관계가 깊은 물질은 유전체이다(도체·반도체는 전도전류가 주). 유전체에서 변위전류를 만드는 것은 전속밀도의 시간적 변화이며 공간적 변화가 아니다.
전자파(전계)는 변위전류보다 90° 늦다( $i_{d}=j\omega\varepsilon E$ ). 「90° 빠르다」는 반대이고 30° 보기는 각도가 틀리다.

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맥스웰: 변위전류도 자계를 만든다(「자계를 발생하지 않는다」는 틀림). 방정식 설명에서 「자계는 발산하며 자극은 단독으로 존재」는 틀리다( $\nabla\cdot B=0$ , 자극은 짝). 맥스웰 방정식과 연관이 없는 것은 쿨롱의 법칙(패러데이 법칙·가우스 정리는 방정식에 들어 있다).
전압이 $\sin\omega t$ 이면 변위전류는 $\omega\cos\omega t$ 꼴, $\cos\omega t$ 이면 $-\omega\sin\omega t$ 꼴로 음의 부호가 붙는다. 콘덴서의 변위전류(전류, 단위 A)는 $i=C\frac{dv}{dt}$ .
공기 중 전계 2 V/m 에 변위전류밀도 2 A/m² 이면 $f=\frac{J_{d}}{2\pi\varepsilon_{0}E}\approx18000\,\mathrm{MHz}$ (변위전류밀도는 주파수에 비례).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2012년 1차 전기자기학 5번 — 변위전류와 전자파의 위상 관계변위 전류에 의하여 전자파가 발생되었을 때 전자파의 위상은?옳은 것 고르기해설 보기 →2016년 1차 전기자기학 6번 — 변위전류밀도와 무관한 양변위전류밀도와 관계 없는 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →2020년 2차 전기자기학 12번 — 변위전류밀도 2 A/m² 의 주파수공기 중에서 2V/m의 전계의 세기에 의한 변위전류밀도의 크기를 2A/

m^{2}

으로 흐르게 하려면 전계의 주파수는 약 몇 MHz가 되어야 하는가?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 9개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

변위전류

변위전류

i_{d}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}

는 정현파에서

j\omega\varepsilon E

이므로 전계보다 위상이 90° 앞선다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 7문항이 인용

맥스웰의 변위전류 — 맥스웰

전속밀도의 시간 변화율

\frac{\partial D}{\partial t}

가 변위전류밀도이며 암페어의 법칙에 더해진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 5문항이 인용

맥스웰 방정식 — 맥스웰

\nabla\times H=i+\frac{\partial D}{\partial t}

\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}

\nabla\cdot D=\rho

\nabla\cdot B=0

의 네 식으로 이루어진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 2문항이 인용

변위전류(맥스웰)

유전체 안에서

i_{d}=\frac{\partial D}{\partial t}

로 정해지는 전류가 흐르는 것과 같은 자기 작용을 만든다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

변위전류(맥스웰의 암페어 법칙 확장) — 맥스웰

전속밀도의 시간 변화율이 실제 전류처럼 자계를 만든다는 것을 밝혀 암페어 법칙을 확장했다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

변위전류밀도

변위전류밀도는

J_{d}=\frac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

변위전류와 도전전류

도전전류밀도

\sigma E

와 변위전류밀도

\omega\varepsilon E

가 같을 때

f=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

전류의 연속 방정식(변위전류 포함) — 맥스웰

전도전류밀도

i

와 변위전류밀도

\frac{\partial D}{\partial t}

의 합은 발산이 0 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

콘덴서의 전류와 전압 관계

전하

q=Cv

를 시간으로 미분하면

i=C\frac{dv}{dt}

이며, 사인 전압에는 90° 앞선 코사인 전류가 흐른다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 21문항 중 1문항이 인용

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