전자파의 전계·자계·진행방향

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 14번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 3차 · 2011년 2차 · 2014년 1차 · 2015년 3차 · 2016년 2차 · 2016년 3차 · 2017년 1차 · 2017년 3차 · 2018년 3차 · 2019년 3차 · 2020년 3차 · 2021년 2차 · 2022년 1차

2 쉬운 설명

평면 전자파는 전계 $E$ 와 자계 $H$ 가 서로 수직으로 진동하며 함께 나아가는 파동이다. 전계·자계·진행 방향의 세 방향은 서로 직각이고, 전계와 자계는 모두 진행 방향에 수직으로 진동하는 횡파이다(진행 방향과 나란히 진동하는 종파는 소리가 그 예이다). 진행 방향은 $E\times H$ 의 방향이며, 외적의 방향은 $E$ 에서 $H$ 쪽으로 돌렸을 때 오른나사가 나아가는 방향이다.

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전계와 자계가 서로 직각이라는 것은 공간에서의 방향이지 시간의 박자가 아니다. 손실이 없는 자유공간(도전성이 없는 매질)에서는 전계가 최댓값일 때 자계도 최댓값이고 전계가 0 일 때 자계도 0 이어서 두 값은 위상이 같다. 손실이 있는 도체 속에서는 자계가 조금 늦어진다. 전계가 sin 으로 변하면 자계도 같은 위상의 sin 으로 변하며, sin 과 cos 은 위상이 90° 어긋난다.

전계와 자계의 크기는 일정한 비로 묶여 있고, 이 비 $\frac{E}{H}$ 가 고유임피던스(파동임피던스) $\eta$ 이다(단위 Ω). 매질의 투자율을 $\mu$ , 유전율을 $\varepsilon$ 이라 하면 $\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$ 이므로 자계는 전계를 $\eta$ 로 나눈 $H=\frac{E}{\eta}$ , 곧 전계에 $\sqrt{\varepsilon/\mu}$ 를 곱한 값이다. 진공(투자율 $\mu_{0}$ , 유전율 $\varepsilon_{0}$ )에서는 $\eta_{0}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}=120\pi\approx377\,\mathrm{\Omega}$ 이다. 투자율이 $\mu_{0}$ 그대로이고 유전율이 $\varepsilon=2\varepsilon_{0}$ 인 매질에서는 $\eta=\frac{\eta_{0}}{\sqrt{2}}$ 로 작아져 같은 전계에 대한 자계가 커진다.

진행 방향과 전계 방향을 알면 자계 방향이 정해진다. 전계가 $E=10^{3}\sin(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}_{y}$ 이면 위상이 $\omega t-\beta z$ 이므로 진행 방향은 $+z$ , 진동 방향은 $\mathbf{a}_{y}$ 이다. $\mathbf{a}_{z}=\mathbf{a}_{y}\times\mathbf{a}_{H}$ 를 만족하는 $\mathbf{a}_{H}$ 는 $-\mathbf{a}_{x}$ 이므로 자계는 $-x$ 방향이고, 크기는 자유공간의 파동임피던스 $120\pi\,\Omega$ 로 전계 $10^{3}$ 을 나눈 $\frac{10^{3}}{120\pi}$ 이다. 진행 방향 단위벡터를 $\hat{z}$ 로 쓰면 $H=\frac{\hat{z}\times E}{\eta}$ 로 방향과 크기를 한 번에 얻고, 전계가 $\hat{y}$ 방향이면 오른손법칙( $\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}$ , $\hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}$ , $\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}$ )에 따라 $\hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}$ 이다. 단위벡터 $\hat{x}$ , $\hat{y}$ , $\hat{z}$ 는 크기가 1 이고 각각 x·y·z 방향을 가리킨다.

평면파가 자유공간으로 나아갈 때 단위 시간에 단위 면적을 지나는 전력, 곧 전력밀도는 포인팅 벡터 $S=E\times H$ 의 크기이다(문항에 따라 $P$ 로도 쓰며 같은 양이다). 전계와 자계가 서로 수직이면 크기는 $S=EH\,\mathrm{W/m^{2}}$ 로, 전계와 자계를 한 번씩 곱한 값이며 계수가 붙지 않는다. 벡터의 방향은 전계와 자계에 모두 수직인 진행 방향이다. 단위로도 맞다: $E$ 의 단위 $\mathrm{V/m}$ 와 $H$ 의 단위 $\mathrm{A/m}$ 를 곱하면 $\mathrm{V·A/m^{2}}=\mathrm{W/m^{2}}$ 이다. 순간 전력밀도를 묻는 문제에서는 $\frac{1}{2}$ 같은 계수가 붙지 않는다. $\frac{1}{2}$ 은 전계·자계가 실효값이 아니라 진폭(최댓값)으로 주어졌을 때 평균 전력을 구할 때 쓰는 계수이다.

변위전류는 도선이 없어도 전계가 시간에 따라 변하면 전류처럼 자계를 만드는 효과이다. 변위전류밀도는 $J_{d}=\varepsilon_{0}\times\frac{dE}{dt}$ 로 생기고, 전계가 사인파로 진동하면 크기는 $J_{d}=\varepsilon_{0}\omega E$ 이다( $\varepsilon_{0}$ 는 진공의 유전율, $\omega$ 는 각주파수로 $\omega=2\pi f$ ). 공기 중에서 전계 1V/m 로 변위전류밀도 2A/m² 를 만드는 주파수는 이렇게 구한다. 1단계 — $\omega$ 를 구한다. $\omega=\frac{J_{d}}{\varepsilon_{0}E}=\frac{2}{8.854\times 10^{-12}\times 1}\approx 2.259\times 10^{11}\,\mathrm{rad/s}$ . 2단계 — 주파수 $f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2.259\times 10^{11}}{2\pi}\approx 3.596\times 10^{10}\,\mathrm{Hz}$ . 3단계 — 단위를 바꾸면 $3.596\times 10^{10}\,\mathrm{Hz}=35960\,\mathrm{MHz}$ 로, 반올림하면 약 36000MHz 이다. 식으로는 $f=\frac{J_{d}}{2\pi\varepsilon_{0}E}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 전계·자계·진행 방향은 서로 직각이고, 자유공간에서 크기 비는

120\pi

이다. 자계는

\displaystyle H=\frac{E}{\eta}

, 진행 방향은

E\times H

의 방향.

암기팁 전자파 전력밀도

S=EH\,\mathrm{W/m^{2}}

— 포인팅 벡터

S=E\times H

, 계수 없이 전계와 자계를 그대로 곱한다.

함정 주의 변위전류밀도에서 주파수를 구할 땐

J_{d}=\varepsilon_{0}\omega E

\omega=2\pi f

—

2\pi

로 나누는 것을 잊지 않는다.

전력밀도 보기 고르기: 정답은 계수 없는 $EH$ 이다. $E^{2}H$ · $\frac{1}{2}E^{2}H$ 는 전계가 제곱으로 들어가 있어 틀리고(전계와 자계는 각각 한 번씩만 곱해진다), $EH^{2}$ · $\frac{1}{2}EH^{2}$ 는 자계가 제곱으로 들어가 단위가 $\mathrm{W/m^{2}}$ 가 되지 않으며, $\frac{1}{2}EH$ 는 계수 $\frac{1}{2}$ 이 붙어 $EH$ 와 다르다. 포인팅 벡터는 $P=E\times H$ 로 표시하고, $\mathrm{rot}$ 연산이 들어간 보기(E rot H, H rot E)는 단순한 외적이 아니다.
전자파의 특성 중 틀린 것 고르기: 진행 방향과 나란히 진동하는 종파라는 설명이 틀리다(전자파는 횡파). 전자파의 속도는 주파수와 무관하다는 설명, 전계 $E_{x}$ 를 고유임피던스로 나누면 자계 $H_{y}$ 가 된다는 설명, 매질이 도전성을 갖지 않으면 $E_{x}$ 와 $H_{y}$ 는 동위상이라는 설명은 맞다.
z 방향으로 진행하는 균일 평면파에 대한 설명 중 틀린 것: 「z 의 미분 계수가 0 이다」가 틀리다. 진행 방향에 수직인 x-y 평면 위에서는 어디서나 같으므로 x, y 에 대한 미분은 0 이고, 횡파이므로 z 성분도 0 이다. 그러나 파동이 나아가려면 z 를 따라 값이 바뀌어야 하므로 z 에 대한 미분은 0 이 아니다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

변위전류밀도에서 주파수 구하기: $J_{d}=\varepsilon_{0}\omega E$ , $\omega=2\pi f$ 에서 $\omega$ 를 먼저 구하고 $2\pi$ 로 나눈다. 오답 보기는 $2\pi$ 대신 다른 수로 나눈 값이다 — 9000 은 $8\pi$ 로, 18000 은 $4\pi$ 로, 72000 은 $\pi$ 로(2 를 빠뜨리면) 나눈 값이다.
자계 구하기 순서: ① 위상 $\omega t-\beta z$ 에서 진행 방향 $+z$ 를 읽는다. ② 진행 방향과 전계 방향에서 자계 방향을 정한다(전계 $\mathbf{a}_{y}$ , 진행 $+z$ 이면 $-\mathbf{a}_{x}$ ). ③ 크기는 $H=\frac{E}{\eta}$ 이다. 진공 중 평면 전자파에서 전계 식에 $\sqrt{2}\,E_{e}$ 가 곱해져 있으면 그것이 최댓값이고 실효값은 $E_{e}$ 이다. 실효값끼리의 비가 파동임피던스이므로 $H_{e}=\frac{E_{e}}{120\pi}$ ( $\mathrm{A/m}$ ) 이다.
안테나 출력 $W$ 가 진공에서 구면으로 고르게 퍼진다고 보면, 반지름 $r$ 인 구의 겉넓이가 $4\pi r^{2}$ 이므로 전력밀도는 $P=\frac{W}{4\pi r^{2}}$ 이다. 진공에서 $E=377H$ 이므로 $P=EH=377H^{2}$ 이고, 둘을 같게 놓으면 자계의 실효치는 $H=\sqrt{\frac{W}{4\pi r^{2}\times377}}=\frac{1}{2r}\sqrt{\frac{W}{377\pi}}$ $\mathrm{[A/m]}$ 이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 2차 전기자기학 6번 — 평면파의 단위 시간당 전력밀도전계 E[V/m], H[A/m]의 전자계가 평면파를 이루고 자유공간으로 전파될 때, 단위 시간당 전력밀도는 몇 [W/

m^{2}

]인가?옳은 것 고르기해설 보기 →2017년 1차 전기자기학 11번 — 평면파 단위 면적당 전력밀도 크기전계 E[V/m], 자계 H[AT/m] 의 전자계가 평면파를 이루고， 자유공간으로 단위 시간에 전파될 때 단위 면적당 전력밀도 [W/

m^{2}

] 의 크기는?옳은 것 고르기해설 보기 →2022년 1차 전기자기학 6번 — 변위전류밀도 2A/m²가 되는 주파수공기 중에서 1V/m의 전계의 세기에 의한 변위전류밀도의 크기를 2A/

m^{2}

으로 흐르게 하려면 전계의 주파수는 몇 MHz 가 되어야 하는가?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 14개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

평면 전자파

E/H=

\sqrt{\mu/\varepsilon}

이고 E 와 H 는 같은 위상이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 2문항이 인용

맥스웰 방정식에서의 전자파 속도

진공 중 전자파의 속도는 1/√(ε₀μ₀) 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

맥스웰의 변위전류 — 맥스웰

전계가 시간에 따라 변하면 Jd=ε(dE/dt)에 해당하는 변위전류가 생겨 자계를 만든다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

전자파의 고유임피던스

평면 전자파에서

\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

전자파의 전계·자계 위상관계 — 맥스웰

손실이 없는 매질에서 전자기파의 전계와 자계는 위상차 없이 동시에 최대·최소가 된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

전자파의 전계·자계·진행방향 관계

균일 평면파는 진행방향에 수직인 평면에서 균일하고(x,y 미분=0), 진행방향 성분이 없는 횡파이며, 진행방향(z)으로는 값이 변해야 파동이 전파된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

전자파의 전력밀도

진공의 평면 전자파에서

E=377H

이고 전력밀도는

P=EH=377H^{2}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

파동임피던스

진공 중 평면 전자파에서 E/H = √(μ₀/ε₀) = 120π Ω 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

평면 전자파의 성질

평면 전자파에서

E

와

H

는 서로 직각이고 모두 진행 방향에 수직이며

\frac{E}{H}=\eta

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

평면 전자파의 전계-자계 관계

전자파에서 자계는 H=(k̂×E)/η로 구해지며, 매질의 μ·ε에 따라 η=√(μ/ε)로 정해진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

평면 전자파의 전자계 관계

자유공간을 진행하는 평면파에서 전계·자계·진행방향은 서로 직각이며 자계 크기는 전계 크기를 파동임피던스 120π로 나눈 값이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

포인팅 벡터

평면파의 전력밀도는

S=E\times H

이며 크기는 EH [W/m²] 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

포인팅 벡터와 전자파의 전력밀도

전자파가 나르는 단위 시간당 전력밀도는 포인팅 벡터 S=E×H 이며, E와 H가 서로 수직인 평면파에서는 크기가 S=EH 가 된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

포인팅 정리 — 포인팅(Poynting)

전자파의 전력 흐름은 포인팅 벡터

P=E\times H

로 나타낸다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 1문항이 인용

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