대칭좌표법과 고장계산

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 11번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2012년 2차 · 2012년 3차 · 2013년 2차 · 2015년 2차 · 2016년 1차 · 2017년 1차 · 2017년 3차 · 2018년 1차 · 2018년 3차 · 2019년 3차 · 2020년 1차

2 쉬운 설명

대칭좌표법은 불평형 3상 전압·전류를 정상분·역상분·영상분으로 나누어 푸는 방법이다. 정상분은 정상적인 상 순서(a-b-c)로 도는 평형 3상 성분, 역상분은 반대 순서(a-c-b)로 도는 성분, 영상분은 세 상에 크기와 방향이 같게 흐르는 성분이다. 임피던스는 영상 $Z_{0}$ , 정상 $Z_{1}$ , 역상 $Z_{2}$ 로 쓴다(한 문항은 영상 임피던스를 $Z_{3}$ 으로 적었으나 보기에는 $Z_{0}$ 로 나오며 같은 양이다). $a$ 는 위상을 $120^{\circ}$ 돌리는 연산자로 $a=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이고, 세 상 전류 $I_{a}$ , $I_{b}$ , $I_{c}$ 에서 영상전류는 $I_{0}=\frac{1}{3}(I_{a}+I_{b}+I_{c})$ , 정상전류는 $I_{1}=\frac{1}{3}(I_{a}+aI_{b}+a^{2}I_{c})$ , 역상전류는 $I_{2}=\frac{1}{3}(I_{a}+a^{2}I_{b}+aI_{c})$ 이다.

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고장 종류에 따라 흐르는 성분이 다르다. 3상 단락은 세 상이 똑같이 고장 나는 평형 고장이라 정상분만 있고 영상전류와 역상전류는 0 이다. Y결선 발전기에서 a상 전류는 $I_{a}=\frac{E_{a}}{Z_{1}}$ 이고 b상은 $I_{b}=\frac{a^{2}E_{a}}{Z_{1}}$ , c상은 $I_{c}=\frac{aE_{a}}{Z_{1}}$ 이며, 영상 임피던스 $Z_{0}$ 와 역상 임피던스 $Z_{2}$ 는 들어가지 않는다. 선간 단락은 대지를 거치지 않아 세 전류의 합이 0 이므로 $I_{0}=0$ 이고 정상전류와 역상전류만 흐르며 $I_{1}=-I_{2}$ , 곧 크기가 같고 방향이 반대이다. 2선 지락은 세 전류가 서로 같지 않다.

영상분은 대지로 전류가 돌아올 때 생긴다. 영상분은 세 선 전류의 합이 0 이 아닐 때에만 존재하고, 세 선의 합이 0 이 아니라는 것은 전류가 대지를 통해 돌아온다는 뜻이다. 그래서 영상 임피던스가 필요한 고장은 한 선이 대지와 닿는 1선 지락이다. 3상 단락은 정상분만, 선간 단락은 정상분과 역상분만 필요하고 이들에는 영상 임피던스가 필요 없다. 1선 지락에서는 정상·역상·영상 임피던스가 모두 계산에 쓰인다.

1선 지락전류는 세 성분 회로가 직렬로 이어진다고 보고 구한다. 발전기의 1선 지락에서 지락된 상의 무부하 기전력을 $E_{a}$ 라 하면(문항에 따라 $E$ 로도 적는다) 세 성분 전류가 같아 $I_{0}=I_{1}=I_{2}=\frac{E_{a}}{Z_{0}+Z_{1}+Z_{2}}$ 이다. 고장 상의 지락전류는 세 성분의 합이므로 $I_{g}=I_{0}+I_{1}+I_{2}=3I_{0}$ , 곧 $I_{g}=\frac{3E_{a}}{Z_{0}+Z_{1}+Z_{2}}$ 이다. 분자에 3 이 붙고 분모에는 영상·정상·역상 임피던스가 모두 더해진다. 중성점 직접접지에서는 접지 임피던스를 0 으로 보므로 $Z_{0}$ 에 별도의 항이 더해지지 않는다.

송전선로의 임피던스 크기는 $Z_{1} = Z_{2} < Z_{0}$ 이다. 송전선로는 정지한 전선 구성이라 상 순서가 바뀌어도 임피던스가 같으므로 정상과 역상 임피던스는 같다. 영상 전류는 세 상이 같은 방향으로 흘러 대지로 돌아가므로 상호 인덕턴스가 더해져 영상 임피던스가 이들보다 크다. 따라서 세 임피던스가 모두 같다거나, 정상이 역상보다 크다거나, 역상과 영상이 같다는 보기는 모두 틀리다.

영상분은 중성점·지락 임피던스를 3배로 느낀다. 영상전류는 세 상에서 같은 방향으로 흘러 중성점에 합쳐져 흐르기 때문이다. $Z$ 세 개를 Y 로 묶고 중성점을 $Z_{n}$ 으로 접지한 회로에서 영상 임피던스는 $Z_{0}=Z+3Z_{n}$ 이고, 정상분과 역상분은 합이 0 이라 $Z_{n}$ 에 전류가 없어 $Z_{1}=Z_{2}=Z$ 이다. 1선 지락 계통도(임피던스는 모두 100 MVA 기준 %임피던스)에서도 고장점에서 본 영상 임피던스는 $Z_{0}=Z_{l}+Z_{t}+3Z_{gf}$ , 곧 선로 $Z_{l}$ , 변압기 $Z_{t}$ , 지락 임피던스 $Z_{gf}$ 의 3배가 직렬로 들어간다. 그 그림에서는 발전기 쪽 변압기 권선이 삼각 결선이라 영상전류가 발전기로 가지 못하므로 발전기 쪽 임피던스는 빠진다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 세 전류가 같다 = 1선 지락. 선로의 임피던스는

Z_{1} = Z_{2} &lt; Z_{0}

암기팁 3상 단락 = 정상분만. 선간 단락 = 정상 + 역상(영상 없음). 영상 임피던스는 지락 사고 계산에 필요하다.

함정 주의 역상분을 구하는 식

\displaystyle I_{2}=\frac{1}{3}(I_{a}+a^{2}I_{b}+aI_{c})

은 정상분과

a

a^{2}

가 반대이다. 곱 없이 그대로 합하면 영상분이다.

세 대칭분 전류 $I_{0}$ , $I_{1}$ , $I_{2}$ 가 같은 고장은 1선 지락이다. 선간 단락은 영상전류가 0 이고 정상전류와 역상전류는 크기가 같고 방향이 반대이며, 3상 단락은 정상전류만 흐르고, 2선 지락은 세 전류가 같지 않다.
영상 임피던스가 필요한 고장은 대지로 전류가 돌아오는 1선 지락이다. 3상 단락은 정상분만, 선간 단락은 정상분과 역상분만 필요하다.
송전선로의 임피던스는 정상과 역상이 같고 영상이 더 크다( $Z_{1} = Z_{2} < Z_{0}$ ). 「영상이 정상·역상과 같다」, 「정상이 역상보다 크다」, 「역상과 영상이 같다」는 보기는 모두 틀리다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

1선 지락전류는 $I_{g}=\frac{3E_{a}}{Z_{0}+Z_{1}+Z_{2}}$ 이다. 세 성분 회로가 직렬이라 각 성분 전류는 $\frac{E_{a}}{Z_{0}+Z_{1}+Z_{2}}$ 로 같고, 지락전류는 이것의 3배이다. 분자의 3 을 빠뜨리지 않는다.
영상 임피던스에서는 지락 임피던스나 중성점 임피던스가 3배로 들어간다( $Z_{0}=Z+3Z_{n}$ , $Z_{0}=Z_{l}+Z_{t}+3Z_{gf}$ ). 삼각 결선 쪽은 영상전류를 막아 영상 임피던스에서 빠지고, 정상·역상은 $Z_{1}=Z_{2}=Z$ 이다.
3상 변압기의 단상운전으로 인한 소손을 막으려는 계전기는 역상계전기이다. 차동계전기·단락계전기·과전류계전기는 단상운전 때 나타나는 역상분을 감지하는 계전기가 아니다.