지수분포와 신뢰도 계산
1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다
출제 회차 2012년 3차 · 2013년 3차 · 2014년 1차 · 2015년 1차 · 2016년 1차 · 2017년 1차 · 2021년 2차
2 쉬운 설명
지수분포는 고장률이 일정할 때 고장 사이 시간이 따르는 확률분포이다. 고장이 우연히 일어나 시간이 지나도 고장 확률이 변하지 않는 경우에 쓰며, 욕조곡선의 우발 고장구간에 해당한다.
5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기
고장률이 일정하면 설비가 이미 얼마나 쓰였는지와 관계없이 앞으로 고장 날 확률은 같다. 이 성질을 무기억성이라 한다. 그래서 새 장치가 향후 일정 시간을 견딜 확률과, 이미 오래 쓴 장치가 향후 같은 시간 이상 견딜 확률은 같다.
다른 분포와 구분하면 다음과 같다. t분포는 표본이 작을 때 평균을 추정하는 데 쓰며 고장 간격과 관계가 없다. 카이분포는 분산 등을 다루는 분포이고 역시 고장 간격과 관계가 없다. 와이블분포는 고장률이 시간에 따라 줄거나 늘 때 쓰며, 고장률이 일정하면 지수분포가 된다. 아이링분포는 고장 간격의 확률분포로 쓰이는 대표 분포가 아니다.
지수분포에서 t시간 동안 고장 없이 견딜 확률, 즉 신뢰도는 R(t) = e^(-t/평균수명)이다. 고장률 λ로 쓰면 R = e^(-λt)이다. 평균수명이 100시간인 새 장치가 50시간 견딜 확률(A)은 R(50) = e^(-50/100) = e^(-0.5)로 약 0.607이다(0.606으로 적기도 한다).
이미 100시간 쓴 장치가 앞으로 100시간 이상 견딜 확률(B)은 이미 쓴 시간과 상관없이 R(100) = e^(-100/100) = e^(-1)로 약 0.368이다. 새 장치가 향후 50시간 견딜 확률과 100시간 쓴 장치가 향후 50시간 이상 견딜 확률은 같다. 견뎌야 할 시간이 같으면 확률이 같고, 견뎌야 할 시간이 다르면 각각 R(t)로 따로 계산한다.
고장률을 구할 때는 R = e^(-λt)를 거꾸로 푼다. 신뢰도 R = 0.95를 유지하면서 8000시간을 사용하려면 R = e^(-λt) = 0.95에서 -λt = ln 0.95 ≈ -0.0513이다. 따라서 λ = 0.0513 ÷ 8000 ≈ 6.4×10⁻⁶ /시간이다.
3 이 개념이 나온 기출문제
해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.
4 체크리스트 + 암기팁
- 시간당 고장률이 일정한 설비의 고장 간격이 따르는 분포는 지수분포이다. t분포·카이분포·아이링분포가 아니며, 와이블분포는 고장률이 시간에 따라 변할 때 쓴다.
- 지수분포의 신뢰도는 R(t) = e^(-t/평균수명)이다. 평균수명이 주어지면 시간을 평균수명으로 나눈 값에 마이너스를 붙여 e의 지수로 쓴다.
- 이미 쓴 시간은 무시한다. 이미 100시간 쓴 장치가 앞으로 견딜 확률은 새 장치가 같은 시간을 견딜 확률과 같다. 이때 "이미 쓴 시간"을 넣어 계산하지 않는다.
체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기
- 견뎌야 할 시간이 다르면 값이 다르다. 평균수명 100시간일 때 50시간이면 e^(-0.5), 100시간이면 e^(-1)이다. A와 B의 값이 서로 바뀌지 않았는지 확인한다.
- 고장률을 구하는 문제는 R = e^(-λt)에서 λ = -ln R ÷ t로 푼다. R = 0.95, t = 8000시간이면 λ는 약 6.4×10⁻⁶ /시간이다.
- 보기의 고장률을 R = e^(-λt)에 넣어 확인하면, 6.4×10⁻⁶이면 R이 약 0.95로 맞고, 8.2×10⁻⁶이나 9.5×10⁻⁶이면 R이 0.95에 못 미치며, 3.4×10⁻⁶이면 R이 0.95보다 높다.