최소 컷셋과 최소 패스셋

최소 컷셋은 AND는 곱, OR는 합으로 쓰고, 같은 사상의 반복(1·1 = 1)과 흡수 법칙으로 간단히 해서 구합니다. 예를 들어 T = A · B, A = 1 + 2 (OR), B = 3 · 1 (AND)인 FT도에서는 T = (1 + 2) · 3 · 1 = 1·3 + 1·2·3 이 됩니다.

{1, 3}이 {1, 2, 3}에 포함되므로 흡수 법칙으로 1·3 + 1·2·3 = 1·3 이 되어 최소 컷셋은 {1, 3}입니다. 이 경우 {1, 2, 3}은 컷셋이지만 {1, 3}을 포함하므로 최소가 아닙니다. {1, 2}는 3이 빠져 있고, {2, 3}은 B가 일어나려면 필요한 1이 없어서 T가 일어나지 않습니다.

최소 패스셋은 다른 패스셋을 포함하는 것을 빼고 남기는 방식으로 찾습니다. 예를 들어 어떤 FT도의 패스셋이 {X2, X3, X4}, {X1, X3, X4}, {X3, X4}라면, 앞의 둘은 모두 {X3, X4}를 포함하므로 {X3, X4}만 남습니다. 최소가 아닌 {X2, X3, X4}를 {X3, X4}와 함께 묶어 답할 수도 없습니다.

패스셋은 시스템을 살리는 조합, 컷셋은 죽이는 조합입니다. 예를 들어 고장이 (1과 2가 모두 고장) 그리고 (3 또는 4 고장)일 때 일어나므로, 1 하나만 살아 있어도, 2 하나만 살아 있어도, 3과 4가 함께 살아 있어도 시스템이 작동합니다. 그래서 최소 패스셋은 {1}, {2}, {3, 4}입니다. {1, 2, 3}, {1, 2, 4}는 함께 고장 나면 시스템이 고장 나는 조합(컷셋)이지 패스셋이 아닙니다.

20180819 문항은 부품 신뢰도가 각각 0.9일 때 R(t)까지 구합니다. 1) 부품 하나가 고장 날 확률 = 1 - 0.9 = 0.1, 2) 3 또는 4가 고장 날 확률 = 1 - (0.9 × 0.9) = 1 - 0.81 = 0.19, 3) 시스템 고장 확률 = 0.1 × 0.1 × 0.19 = 0.0019, 4) 신뢰도 R(t) = 1 - 0.0019 = 0.9981 입니다.