키르히호프 법칙과 마디 해석

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 11번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 3차 · 2013년 2차 · 2015년 3차 · 2016년 1차 · 2016년 3차 · 2017년 1차 · 2017년 3차 · 2020년 2차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

키르히호프 전류법칙(KCL)은 한 마디(접속점·노드)에 들어오는 전류의 합과 나가는 전류의 합이 같다는 법칙이다. 마디의 전압을 모르는 값으로 두고 이 법칙으로 전류 방정식을 세워 푸는 방법이 마디 해석(마디 전압법·절점전압법)이다.

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전하는 새로 생기거나 사라지지 않으므로 접속점에 전하가 쌓이지 않고, 그래서 들어오는 전류의 합이 나가는 전류의 합과 같다. 이 때문에 전하 보존의 법칙과 가장 관계가 깊은 법칙이 키르히호프 전류법칙이다(2016-08-21 시행 71번의 정답). 키르히호프 전압법칙(KVL)은 폐회로에서 전압 상승의 합과 강하의 합이 같다는 법칙으로, 에너지가 사라지거나 새로 생기지 않는다는 법칙에서 나온다.

마디 해석은 이렇게 푼다. 기준 마디를 0 V 로 두고 나머지 마디의 전압을 미지수로 놓은 뒤, 마디마다 들어오는 전류의 합 = 나가는 전류의 합 식을 세운다. 마디 전압의 기호는 문항마다 그 문항의 것을 그대로 쓴다. 전압원과 저항이 직렬인 가지의 전류는 (전원전압 − 마디 전압) ÷ 저항 꼴로 쓴다. 2010-07-25 시행 80번에서는 마디 a 의 전압을 $V$ 라 하여 $\frac{20-V}{5}+5=\frac{V}{20}$ 를 세우고 $V=36\,\mathrm{V}$ 를 얻어, 20 Ω 에 흐르는 전류가 1.8 A 이다. 2016-03-06 시행 74번은 종속전압원을 $2i_{x}$ 로 쓰면 미지수가 $i_{x}$ 와 $V$ 둘이 되어, 마디 식과 2 Ω 의 전류 식을 연립해 푼다.

전류원과 전압원이 함께 있으면 전류원은 직렬 저항에 관계없이 정해진 전류를 내보내고, 전압원과 병렬인 저항은 전압을 바꾸지 못한다. 2013-06-02 시행 75번이 그 예로, 전류원 $\frac{15}{8}\,\mathrm{A}$ 는 직렬 100 Ω 에 관계없이 $V_{a}$ 마디로 들어오고, 전압원과 병렬인 30 Ω 은 전압을 바꾸지 못한다. 전압원의 윗단자가 − 이므로 4 Ω 의 오른쪽 마디는 $-3\,\mathrm{V}$ 이고, $V_{a}$ 마디의 전류 식 $\frac{15}{8}=\frac{V_{a}}{8}+\frac{V_{a}-(-3)}{4}$ 에서 $V_{a}=3\,\mathrm{V}$ , $I_{a}=\frac{3-(-3)}{4}=\frac{3}{2}\,\mathrm{A}$ 이다.

전류원과 컨덕턴스가 병렬로 묶인 회로는 컨덕턴스로 푼다. 컨덕턴스 $G$ 는 저항의 역수 $G=\frac{1}{R}$ 이고 단위는 $\mho$ 이며, 병렬로 묶이면 컨덕턴스를 그냥 더한다. 마디에 들어오는 순수한 전류를 전체 컨덕턴스로 나누면 마디 전압이다. 2017-03-05 시행 77번에서는 위로 향한 15 A 가 마디에 전류를 넣고 아래로 향한 30 A 가 전류를 빼내므로 순수한 전류가 $I=15-30=-15\,\mathrm{A}$ , 병렬 컨덕턴스의 합이 $G=30+15=45\,\mho$ , 마디 전압이 $V=\frac{I}{G}=\frac{-15}{45}=-\frac{1}{3}\,\mathrm{V}$ 이다. 컨덕턴스 $G_{2}$ 에 흐르는 아래 방향 전류는 $i=G_{2}V=15\times\left(-\frac{1}{3}\right)=-5\,\mathrm{A}$ 이며, 부호는 그림의 $i$ 화살표(아래 방향)를 기준으로 읽는다.

같은 저항 $R$ 6개를 이은 회로에 대칭 3상 전압을 가한 2021-08-14 시행 79번은 회로의 대칭성을 쓴다. 입력(대칭 3상 전압)과 회로 구조가 함께 3겹 대칭을 이룰 때, 내부 마디 전압은 대응하는 단자 전압의 4분의 1 이 된다. 세 단자 a, b, c 의 전압을 $V_{a}$ , $V_{b}$ , $V_{c}$ , 가한 선간전압을 $V$ 로 쓴다. 세 단자에서 저항 하나씩을 거쳐 삼각형의 꼭짓점 T, M, N 에 이어지고, 삼각형의 세 변에도 저항이 하나씩 있다. T 에서 키르히호프 전류법칙으로 $3V_{T}=V_{a}+V_{M}+V_{N}$ 을 세워 풀면 $V_{T}=\frac{V_{a}}{4}$ 이고, b 와 c 사이 전압의 크기가 선간전압 $V$ 이므로 $I=\frac{V}{4R}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 마디 전압을 미지수로 놓고 「들어오는 전류 = 나가는 전류」 한 줄만 세우면 끝.

암기팁 전하 보존 ↔ KCL(전류), 에너지 보존 ↔ KVL(전압).

함정 주의 전류원은 직렬 저항을 무시하고, 전압원과 병렬인 저항은 전압을 바꾸지 못한다. 테두리가 전선으로만 이어진 회로는 겉보기와 달리 마디가 두 개뿐일 수 있으니 마디 수부터 센다(2022-04-24 시행 71번: 모든 소자가 두 마디 사이에 병렬이라 마디 전압 하나로 풀리고 6 Ω 에 5 A 가 흐른다).

키르히호프 전류법칙(KCL)은 접속점에 전하가 쌓이지 않는다는 데서 나오므로 전하 보존의 법칙과 짝이고, 전압법칙(KVL)은 에너지 보존과 짝이다. 2016-08-21 시행 71번은 전하 보존의 법칙과 가장 관계가 있는 법칙을 고르는 문항이고 정답은 키르히호프의 전류법칙이다(보기에는 전압법칙 · 옴의 법칙 · 렌츠의 법칙이 있다).
마디 해석은 마디 전압을 미지수로 놓고 「들어오는 전류 = 나가는 전류」 식을 세우는 것이다. 2016-03-06 시행 74번은 종속전압원을 $2i_{x}$ 로 쓰면 미지수가 $i_{x}$ 와 $V$ 둘이 되어, 마디 식 $V=3i_{x}+3$ 과 2 Ω 의 전류 식 $i_{x}=\frac{10-V}{2}$ 를 연립해 $i_{x}=1.4\,\mathrm{A}$ 를 얻는다.
2013-06-02 시행 75번(절점전압 $V_{a}$ 와 지로전류 $I_{a}$ )의 정답은 $V_{a}=3\,\mathrm{V}$ , $I_{a}=\frac{3}{2}\,\mathrm{A}$ 이다. 보기의 $V_{a}$ 값을 전류 식에 넣어 보면 4 V 는 $\frac{4}{8}+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}$ , 5 V 는 $\frac{5}{8}+2=\frac{21}{8}$ , 2 V 는 $\frac{2}{8}+\frac{5}{4}=\frac{12}{8}$ 로 모두 $\frac{15}{8}$ 와 달라 성립하지 않고, 3 V 만 $\frac{3}{8}+\frac{3+3}{4}=\frac{15}{8}$ 로 성립한다.

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2017-03-05 시행 77번의 정답은 $-5\,\mathrm{A}$ 이다. 마디 전압이 $-\frac{1}{3}\,\mathrm{V}$ 로 음수이므로 아래 방향 $i$ 도 음수이고, 그래서 크기가 같은 보기 5 A 는 부호가 반대라 틀린다. 보기 $-10\,\mathrm{A}$ 와 10 A 는 크기가 10 A 여서 계산 결과와 다르다.
2021-08-14 시행 79번의 정답은 $\frac{V}{4R}$ 이다. T 의 식과 같은 식을 M, N 에서도 세워 세 식을 모두 더한 뒤, 대칭 3상 전압은 세 값을 더하면 0 이라는 점을 쓰면 $V_{T}+V_{M}+V_{N}=0$ 이다. 그러면 $4V_{T}=V_{a}$ , 곧 $V_{T}=\frac{V_{a}}{4}$ 이고 M, N 도 같은 방법으로 $V_{M}=\frac{V_{b}}{4}$ , $V_{N}=\frac{V_{c}}{4}$ 이다. M-N 사이 저항을 흐르는 전류는 $I=\frac{V_{M}-V_{N}}{R}=\frac{V_{b}-V_{c}}{4R}$ 이고, b 와 c 사이 전압의 크기가 선간전압 $V$ 이므로 $I=\frac{V}{4R}$ 이다. 보기 $\frac{V}{R}$ 은 저항 하나만 있는 가장 단순한 회로의 전류식이라 이 회로와 맞지 않고, $\frac{V}{2R}$ 와 $\frac{V}{5R}$ 는 구한 $\frac{V}{4R}$ 과 분모의 수가 달라 틀린다.
한 줄 회로에서 두 전지가 맞서면(전지 기호는 긴 선이 +극) 합성 기전력은 큰 쪽에서 작은 쪽을 뺀 값이고 방향은 큰 전지가 미는 방향이다. 2017-08-26 시행 71번은 60 V 와 25 V 전지의 +극이 모두 오른쪽이고 합성 기전력이 35 V 이어서 정답이 반시계 방향이다. 고리를 시계 방향으로 돌며 전지를 지날 때 오르는지 내리는지를 합해 양수이면 시계 방향, 음수이면 반시계 방향이며, 저항은 방향이 아니라 전류의 크기만 정한다.