직렬회로의 임피던스(RL·RC·RLC)

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 6번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2012년 2차 · 2015년 3차 · 2017년 3차 · 2018년 3차

2 쉬운 설명

임피던스 $Z$ 는 교류 회로에서 저항과 리액턴스를 합친, 전류를 방해하는 전체 정도이며 단위는 $\Omega$ (옴)이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

RL 직렬회로에서는 저항 $R$ 과 유도 리액턴스 $X_{L}$ (코일이 교류 전류를 방해하는 정도, $X_{L}=\omega L$ )을 직각삼각형의 두 변으로 보고, 빗변을 임피던스의 크기로 잡는다. $Z=R+jX_{L}$ 이고 $|Z|=\sqrt{R^{2}+X_{L}^{2}}$ , 위상각은 $\theta=\tan^{-1}\frac{X_{L}}{R}$ 이며 이 회로에서는 전류가 전압보다 뒤진다. 각주파수는 이 장에서 $\omega$ 로 쓴다(문항에 w 로 인쇄된 것도 같은 양이다). 주파수 $f$ 로 쓰면 유도 리액턴스는 $2\pi fL$ 이다.

RC 직렬회로에서는 콘덴서의 용량 리액턴스 $X_{C}=\frac{1}{2\pi fC}$ 가 저항과 직각으로 합쳐져 $|Z|=\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}$ 가 되고, 전류는 $I=\frac{V}{|Z|}$ 이다. 주파수 $f$ 와 용량 $C$ 가 클수록 콘덴서의 방해는 작아진다. 용량이 $\mu\mathrm{F}$ 로 주어지면 $10^{-6}\,\mathrm{F}$ 로 바꾸어 넣는다. 저항 $100\,\Omega$ , 용량 $30\,\mu\mathrm{F}$ , 주파수 60 Hz, 전압 100 V 인 문항에서는 $X_{C}$ 가 약 88.4 Ω, 임피던스 크기가 $\sqrt{100^{2}+88.4^{2}}\approx133.5\,\Omega$ 이므로 $I=\frac{100}{133.5}\approx0.75\,\mathrm{A}$ 이다.

전압과 전류의 최댓값과 위상차로 저항을 구하는 방법이다. 임피던스 크기는 $|Z|=\frac{V_m}{I_m}$ 이고, 전류가 전압보다 뒤진 각이 임피던스의 위상각 $\theta$ 이다. 삼각형의 밑변이 저항이므로 $R=|Z|\cos\theta$ 이고 리액턴스는 $X_L=|Z|\sin\theta$ 이다. 전압의 최댓값이 100 V, 전류의 최댓값이 2 A 이고 전류가 $45^{\circ}$ 뒤진 RL 직렬회로에서는 $|Z|=\frac{100}{2}=50\,\mathrm{\Omega}$ 이고 $R=50\cos45^{\circ}\approx35.4\,\mathrm{\Omega}$ 이다. 저항은 임피던스의 한 성분이므로 RL 직렬회로에서 임피던스 크기 50 Ω 이상의 값은 저항이 될 수 없다.

RL 직렬회로의 역률 $\cos\theta$ 는 피상전력 중 유효전력이 차지하는 비율이며, 임피던스 삼각형에서 밑변(저항)을 빗변(임피던스)으로 나눈 $\cos\theta=\frac{R}{Z}$ 이다. 역률 식의 $Z$ 는 임피던스의 크기(앞의 $|Z|$ )이다. 저항이 30 Ω, 인덕턴스가 0.127 H, 전압식이 $v=100\sqrt{2}\sin 100\pi t$ 이면 전압식에서 $\omega=100\pi$ 이므로 $X_{L}=\omega L\approx40\,\Omega$ 이고, $Z=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=50\,\Omega$ 이어서 $\cos\theta=\frac{R}{Z}=\frac{30}{50}=0.6$ 이다.

RLC 직렬회로의 임피던스는 $Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$ 이다. 코일의 리액턴스 $\omega L$ 은 전류를 늦추는 쪽으로, 콘덴서의 리액턴스 $\frac{1}{\omega C}$ 은 전류를 앞세우는 쪽으로 작용하고, 둘 중 큰 쪽이 회로 전체의 성격을 정한다. $\omega L>\frac{1}{\omega C}$ 이면 허수부가 양수이고 임피던스의 각 $\theta=\tan^{-1}\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}$ 도 양수이다. 전류는 $I=\frac{V}{Z}$ 이므로 전류의 각은 전압의 각보다 $\theta$ 만큼 작아져, 전류가 전압보다 뒤진다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 RL 직렬:

\displaystyle |Z|=\frac{V_m}{I_m}

R=|Z|\cos\theta

X_L=|Z|\sin\theta

. 역률은

\displaystyle \cos\theta=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+X_{L}^{2}}}

— 30, 40, 50 이면 0.6.

암기팁 RC 직렬:

\displaystyle X_{C}=\frac{1}{2\pi fC}

|Z|=\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}

\displaystyle I=\frac{V}{|Z|}

함정 주의 저항과 용량 리액턴스를 그냥 더하지 않고 제곱해서 더한 뒤 제곱근을 취한다.

\mu\mathrm{F}

는

10^{-6}\,\mathrm{F}

로 바꾼 뒤 넣는다.

저항과 리액턴스의 크기를 그냥 더하지 않는다. 직각으로 놓고 RL 은 $\sqrt{R^{2}+X_{L}^{2}}$ , RC 는 $\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}$ 로 합친다.
RL 직렬회로에서 저항은 임피던스의 밑변 성분이라 $R=|Z|\cos\theta$ 이며 임피던스보다 클 수 없다. 보기에 $|Z|$ 와 같은 값이나 $|Z|$ 보다 큰 값이 있으면 저항이 아니다. 전압·전류가 최댓값으로 주어지면 $|Z|=\frac{V_m}{I_m}$ 이다.
RL 직렬회로의 역률은 $\frac{R}{Z}$ 이다. 저항 30 Ω, 유도 리액턴스 약 40 Ω 이면 임피던스가 50 Ω 이어서 역률은 0.6 이다.

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RC 직렬회로의 전류는 전압을 임피던스 크기로 나눈 $I=\frac{V}{|Z|}$ 이다. $X_{C}=\frac{1}{2\pi fC}$ 에 넣기 전에 $\mu\mathrm{F}$ 를 $10^{-6}\,\mathrm{F}$ 로 바꾼다.
RLC 직렬회로에서 $\omega L>\frac{1}{\omega C}$ 이면 유도 쪽 성분이 커서 전류가 전압보다 뒤진다. 같은 식의 보기가 앞선다·뒤진다로만 갈리는 문항이 있으니 방향을 끝까지 확인한다.
저항 $R$ 과 코일 $L$ 을 직렬로 이은 회로에서 $L=0$ 일 때 $R$ 의 전력은 $P_{0}=\frac{V^{2}}{R}$ , $L$ 을 넣으면 $P=\frac{V^{2}R}{R^{2}+X_{L}^{2}}$ 이다. 저항이 600 Ω, 주파수 60 Hz, 전압 200 V 인 문항에서 $R$ 의 전력을 $L=0$ 일 때의 절반으로 하면 $R^{2}+X_{L}^{2}=2R^{2}$ 이므로 $X_{L}=R=600\,\Omega$ 이고 $L=\frac{600}{2\pi\times60}\approx1.59\,\mathrm{H}$ 이다(이 문항에서의 결과이다).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 3차 회로이론 및 제어공학 78번 — RL 직렬회로의 역률R=30[Ω], L=0.127[H]의 직렬 회로에 v=100√2 sin100πt[V] 의 전압이 인가 되었을 때 이 회로의 역률은 약 얼마인가?계산해설 보기 →2017년 3차 회로이론 및 제어공학 74번 — 전압·전류로 저항 구하기R-L 직렬회로에 e=100sin(120πt)[V]의 전압을 인가하여 i=2sin(120πt-45°)[A]의 전류가 흐르도록 하려면 저항은 몇 Ω인가?계산해설 보기 →2018년 3차 회로이론 및 제어공학 71번 — RC 직렬회로의 전류R=100Ω, C=30㎌의 직렬회로에 f=60Hz, V=100V의 교류전압을 인가할 때 전류는 약 몇 A 인가?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 6개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

R-L 직렬회로의 임피던스

Z=R+jX_L

이고

|Z|=\sqrt{R^{2}+X_L^{2}}

, 위상각

\theta=\tan^{-1}\frac{X_L}{R}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

RC 직렬회로의 임피던스

임피던스 크기는

|Z|=\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}

이고

X_{C}=\frac{1}{2\pi fC}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

RL 직렬회로의 역률

저항

R

과 유도 리액턴스

X_{L}=\omega L

의 직렬회로에서 임피던스는

Z=\sqrt{R^{2}+X_{L}^{2}}

이고 역률은

\cos\theta=\frac{R}{Z}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

RL 직렬회로의 임피던스

저항과 코일을 직렬로 이은 회로의 임피던스 크기는

\sqrt{R^{2}+(2\pi fL)^{2}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

교류 회로의 복소수 계산

각 가지의 전류와 전압강하를 복소수로 구해 두 점의 전위차를 계산한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

직렬 RLC 회로의 임피던스와 위상각

Z=R+j\left(wL-\frac{1}{wC}\right)

에서 허수부가 양수이면 전류는 전압보다

\theta=\tan^{-1}\frac{wL-\frac{1}{wC}}{R}

만큼 뒤진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

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