구동점 임피던스와 극점·영점

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 7번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2012년 2차 · 2012년 3차 · 2014년 3차 · 2016년 3차 · 2017년 1차 · 2020년 3차 · 2021년 2차

2 쉬운 설명

구동점 임피던스는 회로의 두 단자에서 본 전체 임피던스로, $Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}$ 처럼 전압을 전류로 나눈 값을 $s$ 의 함수로 쓴 것이다. 이 함수의 분모를 0으로 만드는 $s$ 값이 극점, 분자를 0으로 만드는 $s$ 값이 영점이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

$s$ 는 복소 주파수(라플라스 변환의 변수)이다. 구동점 임피던스 함수에서 극점은 $Z(s)$ 가 무한대가 되는 점이다. 전압이 같다면 임피던스가 클수록 전류가 줄어 무한대이면 전류가 0이 되므로, 극점은 단자가 열린 개방 회로 상태와 같다. 반대로 영점은 $Z(s)=0$ 이 되는 점이라 전류가 제한 없이 흐르는 단락 회로 상태이다.

극점과 영점은 식을 분수 꼴로 두고 분모와 분자를 따로 0으로 놓아 찾는다. 2012-08-26 시행 76번의 $Z(s)=\frac{(s+1)(s+2)}{(s+3)(s+4)}$ 에서는 분모 $(s+3)(s+4)$ 가 0이 되려면 한 괄호가 0이어야 하므로 $s=-3$ 또는 $s=-4$ 가 극점이다. 분자에서 나오는 $-1,\,-2$ 는 영점이므로 극점에 넣지 않는다.

전달함수에서도 극점은 분모의 근, 영점은 분자의 근이다. 2016-08-21 시행 64번은 극점이 $-1\pm j2$ , 영점이 $-2$ 인 전달함수를 고르는 문항이고, 정답은 $\dfrac{s+2}{(s+1)^{2}+4}$ 이다. $(s+1)^2+4=0$ 에서 $(s+1)^2=-4$ 이므로 $s=-1\pm j2$ 이고, 분자 $s+2=0$ 에서 $s=-2$ 이다. 허수 $j$ 는 제곱하면 $-1$ 이 되는 수이다. 괄호 안의 부호가 극점의 실수 부분을 정해, $(s+1)$ 이면 $-1$ , $(s-1)$ 이면 $1$ 이다.

2012-05-20 시행 65번의 전달함수 $G(s)=\frac{s+2}{s^{2}+1}$ 에서는 $s^{2}+1=0$ 의 근 $s=\pm j$ 가 극점이고, $s+2=0$ 의 근 $s=-2$ 가 영점이다. 분모의 차수가 분자보다 높아 $s\to\infty$ 에서 $G(s)\to0$ 이 되므로 무한대도 영점으로 센다. 그래서 이 문항의 정답은 극점 $\pm j$ , 영점 $-2$ 와 $\infty$ 를 함께 든 ④ 「±j, -2 와 ∞」 이다.

회로의 구동점 임피던스는 $s$ 영역으로 바꿔 구한다. 저항 $R$ 은 $R$ , 인덕터 $L$ 은 $sL$ , 콘덴서 $C$ 는 $\frac{1}{sC}$ 로 쓴다. 2020-09-26 시행 77번에서는 콘덴서 $\frac{1}{2}\,\mathrm{F}$ 가 $\frac{2}{s}$ , 저항 1 Ω 과 인덕터 2 H 의 직렬 가지가 $1+2s$ 이고 두 길이 병렬이므로 곱 ÷ 합으로 합성한다. 분자와 분모에 $s$ 를 곱해 정리하면 $\frac{2(2s+1)}{2s^{2}+s+2}\,\Omega$ 이다. 2017-03-05 시행 74번 해설은 병렬 가지의 어드미턴스(임피던스의 역수)를 더한 뒤 역수를 취해 같은 식에 이른다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 극점 = 분모 = 0 → 임피던스 무한대 → 개방 회로, 영점 = 분자 = 0 → 임피던스 0 → 단락 회로.

암기팁

s

영역에서

R\to R

L\to sL

\displaystyle C\to\frac{1}{sC}

로 바꾸고, 병렬은 곱 ÷ 합으로 합성한다.

함정 주의 극점을 고를 때 분자의 근(영점)을 섞지 않는다. 2012-08-26 시행 76번에서

-1,\,-2

는 분자의 근이라 극점이 아니다.

극점은 분모의 근, 영점은 분자의 근이다. 2012-08-26 시행 76번에서 보기 ①「-1, -2」는 분자의 근인 영점만 모은 것이고, ③「-1, -2, -3, -4」는 영점 $-1,\,-2$ 를 극점에 섞은 것이며, ④「-1, -3」은 영점 $-1$ 과 극점 $-3$ 이 하나씩 섞인 것이다. 극점은 $-3,\,-4$ 두 개이다.
극점과 영점이 주어진 전달함수를 고를 때는 보기마다 극점과 영점을 따로 풀어 발문과 비교한다. 2016-08-21 시행 64번에서 ② 는 분자가 $s-2$ 라 영점이 $2$ 로 달라 발문의 $-2$ 와 맞지 않고, ③ 은 분모가 $(s-1)^2+4$ 라 극점이 $1\pm j2$ 로 달라 발문의 $-1\pm j2$ 와 맞지 않으며, ④ 는 영점 $2$ 와 극점 $1\pm j2$ 가 둘 다 발문과 다르다.
구동점 임피던스 함수에서 극점은 개방 회로 상태, 영점은 단락 회로 상태이다. 2014-08-17 시행 80번 보기 ①「단락회로 상태를 의미한다.」는 영점의 뜻이므로 극점에는 맞지 않는다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

분모의 차수가 분자보다 높아 $s\to\infty$ 에서 $G(s)\to0$ 이 되면 무한대도 영점으로 센다. 2012-05-20 시행 65번 보기 중 영점에 무한대가 들어 있는 것은 ④ 뿐이다.
2020-09-26 시행 77번의 정답 식은 분자 $2(2s+1)$ , 분모 $2s^{2}+s+2$ 이고 부호가 모두 + 이다. ② $\frac{2s^{2}+s-2}{-2(2s+1)}$ 는 분자 끝이 −2 이고 분모에 −2 가 붙어 있고, ③ $-\frac{2(2s+1)}{2s^{2}+s-2}$ 는 분자 앞에 − 가 있고 분모 끝이 −2 이며, ④ $\frac{2s^{2}+s+2}{2(2s+1)}$ 는 분자와 분모의 위치가 정답과 반대이다.
$R$ - $L$ 직렬 가지에 $C$ 가 병렬로 걸린 회로(2021-05-15 시행 74번)의 구동점 임피던스는 $Z(s)=\frac{1}{C}\frac{s+\frac{R}{L}}{s^{2}+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}$ 이다. 영점이 $s=-10$ 이면 $\frac{R}{L}=10$ , 극점 $-5\pm j20$ 에서는 분모가 $s^{2}+10s+425$ 이므로 $\frac{1}{LC}=425$ 이고, $Z(0)=R=1$ 에서 $R$ 이 1 Ω 이므로 $L$ 은 0.1 H, $C$ 는 약 0.0235 F 이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2012년 3차 회로이론 및 제어공학 76번 — 분수식 임피던스의 극점 찾기2단자 임피던스 함수 [그림71] 일 때 극점(pole)은?옳은 것 고르기해설 보기 →2016년 3차 회로이론 및 제어공학 64번 — 극점·영점에 맞는 전달함수 고르기다음의 전달함수 중에서 극점이 [그림74] 영점이 -2인 것은?옳은 것 고르기해설 보기 →2020년 3차 회로이론 및 제어공학 77번 — 회로의 구동점 임피던스 식 구하기그림과 같은 회로의 구동점 임피던스 (Ω)는?[그림55]계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 8개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

RLC 회로의 구동점 임피던스

R-L 직렬 가지에 C 를 병렬로 한 회로의 Z(s) = (1/C)(s + R/L)/(s² + (R/L)s + 1/(LC)).

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

구동점 임피던스

병렬 회로는 어드미턴스의 합의 역수가 임피던스이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

구동점 임피던스 함수의 영점과 극점

구동점 임피던스는 극점에서 무한대(개방), 영점에서 0(단락)이 된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

구동점 임피던스의 극점과 영점

극점에서는 임피던스가 무한대로 개방 상태이고, 영점에서는 임피던스가 0 으로 단락 상태이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

극점과 영점

전달함수에서 분모의 근이 극점, 분자의 근이 영점이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

라플라스 변환 영역의 임피던스

s 영역에서 저항은 R, 인덕터는 sL, 콘덴서는 1/(sC) 이고 병렬 합성은 곱을 합으로 나눈 값이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

임피던스 함수의 극점과 영점

함수

Z(s)

에서 분모를 0으로 만드는

s

가 극점, 분자를 0으로 만드는

s

가 영점이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

전달함수의 극점과 영점

극점은 분모의 근, 영점은 분자의 근이며 분모 차수가 높으면 무한대가 영점에 포함된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

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