신호흐름선도와 메이슨 공식

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 29번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2010년 3차 · 2011년 1차 · 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2012년 3차 · 2013년 3차 · 2014년 2차 · 2015년 1차 · 2015년 2차 · 2015년 3차 · 2016년 1차 · 2016년 2차 · 2017년 1차 · 2017년 2차 · 2017년 3차 · 2018년 1차 · 2019년 1차 · 2019년 2차 · 2019년 3차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 3차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

신호흐름선도는 변수를 마디로, 변수 사이의 관계를 이득이 적힌 화살표(가지)로 나타낸 그림이다. 메이슨의 이득공식은 이 선도에서 전향경로와 고리의 이득으로 입력과 출력 사이의 전달함수를 구하는 공식이다.

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전향경로는 입력 마디에서 출력 마디까지 같은 마디를 두 번 지나지 않고 화살표 방향으로 가는 길이다. 해설에 따라 순방향 경로·전방경로·앞먹임 경로·정통로라고도 쓰지만 정의는 같다. 고리(루프, 폐루프)는 한 마디에서 출발해 화살표를 따라 같은 마디로 되돌아오는 닫힌 길이다. 경로 이득과 고리 이득은 지나는 가지의 이득을 모두 곱한 값이고, 두 고리나 경로가 같은 마디를 지나면 서로 닿는다고 한다. 입력·출력 기호는 문항에 따라 $R$ · $C$ , $y_{1}$ · $y_{2}$ 등으로 달라도 푸는 방식은 같다.

전달함수는 $\frac{C}{R}=\frac{\sum P_{k}\Delta_{k}}{\Delta}$ 이다. $P_{k}$ 는 $k$ 번째 전향경로의 이득이다(해설에 따라 $G_{k}$ 로 적기도 한다). 분모는 $\Delta=1-\sum L+\sum L_{i}L_{j}-\cdots$ 로, $L$ 은 고리 이득이며 1 에서 고리 이득의 합을 빼고 서로 닿지 않는 두 고리 이득의 곱의 합을 더하는 식이다. $\Delta_{k}$ (여인수, 코팩터, 협인수라고도 한다)는 그 전향경로와 닿지 않는 고리만으로 만든 값이어서, 경로가 모든 고리와 닿으면 $\Delta_{k}=1$ 이다.

고리가 모두 서로 닿으면 닿지 않는 고리 쌍의 곱 항이 없어 분모는 $\Delta=1-\sum L$ 이다. 고리가 없으면 분모가 1 이어서 전달함수는 경로 이득의 합이며, 이득이 $a$ , 2, 3 인 세 경로이면 $a+5$ 이다(2011-08-21 시행 68번). 고리 이득이 음수이면 분모에서 더해진다. 예를 들어 고리 이득이 $-G_{2}G_{3}$ 와 $-G_{1}G_{2}G_{4}$ 이고 두 고리가 $G_{2}$ 를 같이 지나 닿으면 $\Delta=1+G_{2}G_{3}+G_{1}G_{2}G_{4}$ 이다(2019-08-04 시행 68번).

이득 숫자가 적힌 선도의 예(2020-09-26 시행 66번)를 보자. 전향경로가 하나이고 이득은 $P=1\times3\times4\times1=12$ 이다. 고리는 둘로 $L_{1}=3\times5=15$ , $L_{2}=4\times6=24$ 이다. 두 고리가 마디 2 를 함께 지나 닿아 있으므로 닿지 않는 쌍이 없어 $\Delta=1-(15+24)=-38$ 이고, 전향경로가 두 고리와 모두 닿아 $\Delta_{1}=1$ 이므로 $\frac{12}{-38}=-\frac{6}{19}$ 이다.

전향경로가 둘(이득 $G_{1}$ , $G_{2}$ )이고 고리가 하나(이득 $G_{1}H_{1}$ )인 선도(2011-06-12 시행 62번)를 보자. 두 경로가 모두 고리와 닿아 있어 여인수가 둘 다 1 이므로 $\frac{C}{R}=\frac{G_{1}\times1+G_{2}\times1}{\Delta}=\frac{G_{1}+G_{2}}{1-G_{1}H_{1}}$ 이다. 전향경로는 각각 따로 더해야 하며 곱하면 안 된다. $\frac{G_{1}+G_{2}}{1+G_{1}H_{1}}$ 은 분모의 부호가 반대인 경우이고, $\frac{G_{1}G_{2}}{1+G_{1}H_{1}}$ 은 분자를 곱하고 분모 부호도 반대로 한 두 가지가 함께 잘못된 경우이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 경로는 더하고, 분모는

1-\text{고리이득}

. 닿지 않는 고리 쌍이 있으면 그 곱을 다시 더해 준다. 이득이 음수인 고리는 분모에서 더해진다.

암기팁 RC 회로:

\displaystyle I=\frac{V_{i}-V_{o}}{R}

\displaystyle V_{o}=\frac{1}{Cs}I

→ 가지 이득

\displaystyle \frac{1}{R}

\displaystyle \frac{1}{Cs}

\displaystyle -\frac{1}{R}

. 여기서

R

은 저항,

C

는 축전기이다. 같은 직렬 RC 회로를 전압 기호

E_{i}

E_{o}

로 쓰는 문항도 있다(2010-07-25 시행 61번).

함정 주의 전향경로가 여럿이면 곱하지 않고 더한다. 서로 닿는 고리끼리는 곱해서 더하지 않는다. 닿는지는 같은 마디를 지나는지로 따진다. 이득이

ab

인 고리가 세 개여도 닿는 관계가 선도마다 달라서, 어떤 선도(2020-06-06 시행 67번)에서는

\Delta=1-3ab+a^{2}b^{2}

, 다른 선도(2022-03-05 시행 63번)에서는

\Delta=1-3ab+2a^{2}b^{2}

이다.

먼저 전향경로를 모두 찾고, 고리를 모두 찾아 이득을 적는다. 고리를 셀 때는 자기 고리(한 마디에서 나가 같은 마디로 바로 돌아오는 선)도 고리 하나로 세고, 오른쪽으로만 가는(되돌아오지 않는) 선은 고리가 아니다. 경로와 고리, 고리와 고리가 닿는지는 같은 마디를 지나는지로 따진다. 2014-05-25 시행 65번에서 전향경로가 $P_{1}=G_{1}G_{2}G_{3}G_{4}$ 와 $P_{2}=G_{4}G_{5}$ 이고, $P_{2}$ 와 닿지 않는 고리가 $L_{1}=-G_{2}H_{1}$ 뿐이라 $\Delta_{2}=1-L_{1}=1+G_{2}H_{1}$ 이며 분자는 $G_{1}G_{2}G_{3}G_{4}+G_{4}G_{5}+G_{2}G_{4}G_{5}H_{1}$ 이다.
전향경로 이득이 24 이고 귀환 이득이 양의 값이며 고리 이득이 15 와 144 이고 두 고리가 가지 3 을 함께 써 서로 닿는 2015-08-16 시행 63번 선도에서는 $\Delta=1-(15+144)=-158$ 이고, 전향경로가 두 고리와 모두 닿아 $\Delta_{1}=1$ 이므로 답이 $-\frac{12}{79}$ 이다. 2020-09-26 시행 66번( $\Delta=-38$ )의 오답 보기 $-\frac{2}{5}$ ( $-\frac{12}{30}$ 과 같은 값), $-\frac{12}{29}$ , $-\frac{12}{37}$ 은 분모가 30, 29, 37 이라 $\Delta=-38$ 과 다르다.
전향경로 이득이 $a^{3}$ 이고 이득이 $ab$ 인 서로 떨어진 세 고리가 있으며 전향경로가 세 고리와 모두 닿는( $\Delta_{1}=1$ ) 2016-05-08 시행 62번 선도에서는 $\Delta=(1-ab)^{3}$ 이어서 $\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{a^{3}}{(1-ab)^{3}}$ 이다. 오답 $\frac{a^{3}}{1-3ab}$ 는 $(1-ab)^{3}=1-3ab+3(ab)^{2}-(ab)^{3}$ 의 뒤 두 항이 없고, $\frac{a^{3}}{1-3ab+ab}$ · $\frac{a^{3}}{1-3ab+2ab}$ 의 분모는 각각 $1-2ab$ , $1-ab$ 라서 다르다.

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직렬 RC 회로를 신호흐름선도로 옮길 때는 회로 식을 라플라스 변환해 가지 이득을 읽는다. 여기서 $R$ 은 저항, $C$ 는 축전기(콘덴서)이며, 앞에서 입력·출력을 뜻한 $R$ · $C$ 와 다르다. 예를 들어 2015-03-08 시행 69번에서 $I(s)=\frac{1}{R}V_{i}(s)-\frac{1}{R}V_{o}(s)$ 와 $V_{o}(s)=\frac{1}{Cs}I(s)$ 이므로 $V_{i}\to I$ 가 $\frac{1}{R}$ , $I\to V_{o}$ 가 $\frac{1}{Cs}$ , $V_{o}\to I$ 가 $-\frac{1}{R}$ 이다. 되먹임 항의 부호는 원래 방정식의 부호를 따른다.
미분방정식은 $\frac{1}{s}$ (문항에 따라 $S^{-1}$ 로 적는다)를 곱하는 가지로 보고 선도로 옮긴다. 예를 들어 2017-05-07 시행 66번의 $2\frac{dc(t)}{dt}+5c(t)=r(t)$ 를 $\frac{dc(t)}{dt}=\frac{1}{2}r(t)-\frac{5}{2}c(t)$ 로 정리하고 $c(t)=X_{1}$ , $\frac{dc}{dt}=X_{2}$ 로 놓으면 $X_{2}=\frac{1}{2}R-\frac{5}{2}X_{1}$ ( $R$ 은 입력)이고 $X_{1}$ 은 $X_{2}$ 의 적분이다.
거꾸로 $\frac{1}{s}$ 두 개를 지나는 선도에서 식을 세울 때는 첫 마디를 $\frac{d^{2}c}{dt^{2}}$ , 적분기를 한 번·두 번 지난 마디를 $\frac{dc}{dt}$ , $c(t)$ 로 보고 되먹임 계수를 식의 계수로 옮긴다. 2022-04-24 시행 69번 선도에서 $\frac{dc}{dt}$ 에서 $-3$ 배, $c(t)$ 에서 $-2$ 배가 되먹임되면 $\frac{d^{2}c}{dt^{2}}=r(t)-3\frac{dc}{dt}-2c(t)$ 이다(모든 초기 값은 0).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 2차 회로이론 및 제어공학 62번 — 경로 둘, 고리 하나의 전달함수다음의 신호흐름 선도에서 C/R는?[그림37]계산해설 보기 →2016년 2차 회로이론 및 제어공학 62번 — 떨어진 세 고리의 분모그림의 신호 흐름 선도에서 [그림61]은? [그림62]계산해설 보기 →2020년 3차 회로이론 및 제어공학 66번 — 이득 숫자 선도의 전달함수그림의 신호 흐름 선도에서 C(s)/R(s)는? [그림37]계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 11개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

메이슨의 이득공식 — Samuel Jefferson Mason

C/R=Σ(순방향경로이득×여인수)/Δ, Δ=1-(고리이득의 합)+…

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 20문항이 인용

메이슨의 이득 공식 — 메이슨

전달비는

\frac{\sum G_{k}\Delta_{k}}{\Delta}

이며

\Delta

는 1 에서 고리 이득의 합을 빼고 서로 닿지 않는 고리 곱의 합을 더하는 식으로 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 2문항이 인용

되먹임 전달함수

앞으로 가는 길의 이득이

G

이고 음의 단위 되먹임이면

\frac{C}{R}=\frac{G}{1+G}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

메이슨 이득 공식

전체 이득은 각 경로 이득에 그 경로와 닿지 않는 부분의

\Delta_{k}

를 곱해 더하고

\Delta

로 나눈다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

메이슨의 이득공식(Mason's Gain Formula) — Samuel Mason

전체 전달함수는 각 정통로 이득과 그 협인수의 곱을 모두 더한 뒤, 되먹임 고리들로 만든 그래프 행렬식으로 나누어 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

메이슨의 이득공식(Mason's gain formula) — Samuel Mason

전체 전달함수 = (각 전향경로 이득 × 그 경로와 겹치지 않는 부분의 행렬식)의 합 ÷ 시스템 전체 행렬식.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

미분 방정식의 신호 흐름 선도

미분은

X_{2}=\dot X_{1}

로 놓고 적분은

S^{-1}

가닥으로 나타내어 식의 항마다 이득과 방향을 맞춘다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

신호흐름도와 미분방정식의 대응

적분기(1/s) 뒤의 되먹임 계수는 그 적분 차수에 대응하는 미분항의 계수가 되어, 신호흐름도를 그대로 미분방정식으로 옮길 수 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

신호흐름선도와 메이슨의 이득공식 — 메이슨(S. J. Mason)

되먹임 고리가 있는 한 구간의 등가 이득은 전향 이득을 (1-고리이득)으로 나눈 값이며, 같은 구간이 직렬로 반복되면 전체 이득은 그 거듭제곱이 된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

회로 식의 라플라스 변환

저항·콘덴서 식을 라플라스 변환해 변수 사이의 이득을 구하면 신호흐름 선도의 가지 이득이 된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

회로방정식의 신호흐름선도 변환

키르히호프 전압법칙과 소자의 전류-전압 관계식을 마디와 가지로 옮기면 신호흐름선도가 되며, 되먹임 항의 부호는 원래 방정식의 부호를 그대로 따른다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 32문항 중 1문항이 인용

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