2차 제어계의 감쇠비와 응답

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 14번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 1차 · 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2012년 2차 · 2013년 3차 · 2014년 2차 · 2015년 2차 · 2017년 2차 · 2018년 3차 · 2019년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

2차 제어계의 응답 모양은 감쇠비 $\zeta$ (제동비·감쇠율이라고도 한다)로 정해진다. $\zeta$ 는 진동이 얼마나 빨리 가라앉는지를 나타내는 값이고, $\omega_{n}$ 은 감쇠가 없을 때 계가 스스로 진동하는 각주파수인 고유 각주파수이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

문항에 따라 감쇠비를 $\delta$ , $\zeta$ , $\alpha$ 로, 고유 각주파수를 $\omega_{n}$ 이나 $w_{n}$ 으로 적지만 각각 같은 양이다. 이 장은 주로 $\zeta$ , $\omega_{n}$ 을 쓴다. 응답 이름은 $\zeta$ 의 범위로 갈린다. $\zeta=0$ 무제동(진동이 줄지 않고 계속, 「비제동」으로도 적힌다), $0<\zeta<1$ 부족제동(진동하면서 점점 줄어듦), $\zeta=1$ 임계제동(진동 없이 가장 빨리 안정), $\zeta>1$ 과제동(진동 없이 아주 느리게 다가감), $\zeta<0$ 발산(응답이 점점 커지는 불안정)이다.

응답이 진동하는지는 특성방정식 $s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}=0$ 의 근으로도 읽힌다. 근은 $s=-\zeta\omega_{n}\pm j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}$ 이고 $j$ 가 붙은 부분이 허수부이다. $0<\zeta<1$ 이면 허수부가 남아 진동하고, 실수부 $-\zeta\omega_{n}$ 이 음수라 진동의 크기가 줄어든다. $\zeta<0$ 이면 $-\zeta\omega_{n}$ 이 양수여서 근이 오른쪽 반평면에 놓이고, 응답에 $e^{-\zeta\omega_{n}t}$ 꼴의 항이 있어( $t$ 는 시간) 시간이 갈수록 커진다.

전달함수의 분모를 표준형 $\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$ 과 비교하면 $\omega_{n}$ , $\zeta$ 를 읽어 낸다. 분모의 상수항이 $\omega_{n}^{2}$ , $s$ 의 계수가 $2\zeta\omega_{n}$ 이고, 비교하기 전에 $s^{2}$ 의 계수를 1 로 맞춘다. 2022-04-24 시행 68번은 분모 $4s^{2}+s+1$ 을 4 로 나눠 $s^{2}+0.25s+0.25$ 로 만든 뒤 비교하여 고유 각주파수 0.5, 감쇠비 0.25 를 얻는다.

감쇠가 있으면 실제 진동은 $\omega_{n}$ 보다 느린 감쇠 진동 주파수 $\omega_{d}$ 로 일어나고, $\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}$ 이다. 2020-09-26 시행 68번은 전달함수 $\frac{25}{s^{2}+6s+25}$ 에서 상수항으로 고유 각주파수 5 를 읽고, $s$ 의 계수 6 을 $2\times5$ 로 나눠 감쇠비 0.6 을 얻는다. 이어 1 에서 0.36 을 뺀 값의 제곱근 0.8 을 5 에 곱해 $\omega_{d}$ 가 4 rad/s 라고 답한다.

고유 각주파수는 극점으로도 구한다. 극점이 $s=-1\pm j1$ 이면 원점에서 극점까지의 거리 $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ 가 $\omega_{n}$ 이다(2011-06-12 시행 66번, 그림 문항).

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

\zeta&gt;1

과제동 ·

\zeta=1

임계 ·

0&lt;\zeta&lt;1

부족제동 ·

\zeta=0

무제동 ·

\zeta&lt;0

발산.

암기팁

\omega_{n}

은 원점에서 극점까지의 거리(피타고라스). 직렬 RLC(콘덴서 양단 출력)는

\displaystyle \omega_{n}=\frac{1}{\sqrt{LC}}

\displaystyle \zeta=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}

함정 주의 공진주파수 식은 2 가 붙은

w_{m}=w_{n}\sqrt{1-2\alpha^{2}}

이다.

\sqrt{1-\alpha^{2}}

꼴은 감쇠 진동의 주파수에 쓰이는 식이다(2014-05-25 시행 66번 해설).

구간을 순서대로 외운다: $\zeta>1$ 과제동 · $\zeta=1$ 임계제동 · $0<\zeta<1$ 부족제동 · $\zeta=0$ 무제동 · $\zeta<0$ 발산.
$\zeta>1$ 이면 과제동이다(2011-03-20 시행 62번과 2015-05-31 시행 69번의 답). $\zeta<0$ 이면 발산이다(2021-03-07 시행 67번). $\zeta>1$ 을 묻는 두 문항(2011-03-20 시행 62번 · 2015-05-31 시행 69번)에서는 비제동( $\zeta=0$ )·부족제동( $0<\zeta<1$ )·발산( $\zeta<0$ ) 보기가 범위가 달라 오답이다. $\zeta<0$ 을 묻는 2021-03-07 시행 67번에서는 무제동( $\zeta=0$ )·임계제동( $\zeta=1$ )·과제동( $\zeta>1$ ) 보기가 범위가 달라 오답이다. 발산은 응답이 점점 커지는 불안정한 경우이다.
근의 모양으로도 가른다. 서로 다른 두 음의 실근은 과제동, 겹친 근은 임계제동, 켤레 복소수는 부족제동, 순허수는 무제동이다. $3s^{2}+4s+1=(3s+1)(s+1)=0$ 의 근은 $s=-\frac{1}{3},-1$ 로 서로 다른 두 실근이라 과제동이다(2021-05-15 시행 66번).

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표준형과 비교할 때는 $s^{2}$ 의 계수를 먼저 1 로 맞춘다. 상수항이 $\omega_{n}^{2}$ , $s$ 의 계수가 $2\zeta\omega_{n}$ 이다. 직렬 RLC 회로에서 콘덴서 양단 전압을 출력으로 보면 $\omega_{n}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ , $\zeta=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$ 이고, R 이 100 Ω, L 이 2 H, C 가 200 μF 이면 고유 각주파수는 50 rad/s, 감쇠비는 0.5 이다(2019-04-27 시행 61번).
비슷한 식을 구별한다. 감쇠 진동 주파수는 $\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}$ 이고, 공진주파수는 $w_{m}=w_{n}\sqrt{1-2\alpha^{2}}$ 로 $w_{n}$ 보다 낮다(2014-05-25 시행 66번은 감쇠비를 $\alpha$ , 고유주파수를 $w_{n}$ 으로 적는다). 감쇠비가 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이상이면 공진 봉우리가 생기지 않는다.
과도응답의 감쇠비를 묻는 문항(2013-08-18 시행 62번)에서는 감쇠비가 제2 오버슈트를 최대 오버슈트로 나눈 값이다(곱한 값이나 더한 값, 거꾸로 나눈 값이 아니다).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 1차 회로이론 및 제어공학 62번 — 감쇠비가 1보다 클 때 응답 이름2차 시스템의 감쇄율 δ 가 δ>1 이면 어떤 경우인가?옳은 것 고르기해설 보기 →2015년 2차 회로이론 및 제어공학 69번 — 감쇠비가 1보다 클 때 응답 상태2차계의 감쇠비 δ가 δ >1이면 어떤 경우인가?옳은 것 고르기해설 보기 →2021년 1차 회로이론 및 제어공학 67번 — 감쇠율이 음수일 때 과도응답2차 제어시스템의 감쇠율(Damping Ratio, ζ)이 ζ＜0 인 경우 제어시스템의 과도응답 특성은?옳은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 13개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

2차계의 감쇠비

감쇠비

\delta

가 1 보다 크면 과제동, 1 이면 임계제동, 0 과 1 사이이면 부족제동이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 2문항이 인용

2차 계의 제동비와 응답

0<\zeta<1

이면 근이 공액 복소수이며 감쇠진동,

\zeta=1

은 임계제동,

\zeta>1

은 과제동이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차 시스템의 감쇠비와 응답 형태

감쇠비 δ의 크기에 따라 2차 시스템의 응답이 비제동·부족제동·임계제동·과제동으로 나뉘며, δ>1이면 진동 없이 느리게 정착하는 과제동이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차 제어계의 제동 특성

근

s=-\delta w_{n}\pm w_{n}\sqrt{\delta^{2}-1}

에서

\delta<1

이면 복소수 근이어서 부족제동이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차 제어계의 제동비

\delta<1

이면 부족 제동이며 최대 오버슈트는

e^{-\pi\delta/\sqrt{1-\delta^{2}}}

로

\delta

가 작을수록 커진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차 제어계의 주파수 응답

감쇠비가 0 이상 1/√2 미만이면 주파수 응답에 봉우리가 생기고 그 주파수는

w_{n}

√(1−2α²) 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차 제어계의 표준형

G(s) = ωn²/(s² + 2ζωn·s + ωn²) 이며 감쇠 진동 주파수 ωd = ωn√(1 − ζ²) 이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차계 극점과 고유각주파수의 관계

복소평면 위 극점 s=-σ±jω 에서 원점까지의 거리 √(σ²+ω²)가 고유각주파수 ωn이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차계의 감쇠비와 과도응답

특성근의 실수부가 −ζ

ω_{n}

이므로 ζ 가 음수이면 근이 오른쪽 반평면에 놓여 응답이 발산한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차계의 감쇠비와 응답

2차계의 근

s=-\zeta\omega_{n}\pm j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}

에서

0<\zeta<1

이면 복소 켤레근이므로 진동하며 감쇠하는 부족제동이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

2차계의 표준형

2차계 전달함수

\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}

에서 직렬 RLC 의 C 양단 전압은

\omega_{n}=\frac{1}{\sqrt{LC}}

\zeta=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

과도응답의 감쇠비

감쇠비는 제2 오버슈트를 최대 오버슈트로 나눈 값이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

표준 2차 제어계의 계수 비교법

전달함수를 s²의 계수가 1인 표준형 ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²)로 맞춘 뒤 상수항과 s항의 계수를 비교해 ωn, ζ를 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 15문항 중 1문항이 인용

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