제어계의 형과 정상상태 오차

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 14번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 3차 · 2012년 1차 · 2013년 2차 · 2014년 3차 · 2016년 2차 · 2016년 3차 · 2018년 1차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 3차 · 2022년 1차

2 쉬운 설명

제어계의 형(Type) 은 개루프 전달함수의 분모에 곱해진 $s$ 의 개수(원점의 극점 수)이다. 개루프 전달함수는 되먹임 고리를 끊었을 때 입력에서 출력까지의 전달함수이고, 정상편차(정상상태 오차) $e_{ss}$ 는 시간이 충분히 지난 뒤 목표값과 출력 사이에 남는 차이이다.

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$s$ 가 없으면 0형, 하나이면 1형, 둘이면 2형, 셋이면 3형이다. $s$ 는 적분기에 해당하므로 그 개수가 적분기의 개수이다. 2012-03-04 시행 64번에서 개루프 전달함수 $\frac{1}{s(s+1)}$ 은 분모에 $s$ 가 한 개라 1형이고, $s+1$ 같은 인수는 형에 영향을 주지 않는다.

단위 계단 입력의 정상편차는 위치 편차 상수 $K_{p}$ (위치상수라고도 적힌다)로 정해진다. 출력을 그대로(이득 1) 되돌려 빼는 단위 부궤환계(단위 되먹임계·단위 피드백계라고도 적힌다)에서 $e_{ss}=\frac{1}{1+K_{p}}$ 이고, $K_{p}=\lim_{s\to0}G(s)$ , 곧 $G(0)$ 이다. $K_{p}$ 가 클수록 남는 편차가 작다.

단위 부궤환계에서 단위 램프 입력( $r(t)=t$ , 시간에 비례해 커지는 입력으로 단위속도 입력이라고도 적힌다)의 정상편차는 속도 편차 상수 $K_{v}$ 로 정해진다. $e_{ss}=\frac{1}{K_{v}}$ 이고, $K_{v}$ 는 $\lim_{s\to0}sG(s)$ 로, 곧 개루프 전달함수에 $s$ 를 곱한 뒤 $s$ 를 0 으로 보내 구한다. 분모에 $s$ 가 하나 있는 1형이면 곱한 $s$ 와 약분된다. $K_{v}$ 가 클수록 정상편차가 작다.

형과 편차의 관계는 다음과 같다. 적분기 $\frac{1}{s}$ 가 하나 있는 1형은 $K_{p}$ 가 무한대여서 단위 계단 입력의 정상상태 편차가 0 이다(2020-06-06 시행 69번). 1형은 $s$ 를 곱하면 약분되어 $K_{v}$ 가 유한하고(2020-09-26 시행 65번), 램프(단위속도) 입력의 정상편차도 유한한 값으로 남는다(2013-06-02 시행 65번). 분모에 $s$ 가 없는 0형이면 $K_{v}$ 는 0 이다(2020-09-26 시행 65번).

오차 전달함수에 최종값 정리를 써서 정상상태 오차를 구하기도 한다. 2022-03-05 시행 64번은 순방향이 $\frac{19.8}{s+a}$ 인 단위 부궤환계로, 오차 전달함수가 $\frac{s+a}{s+a+19.8}$ 이다. 여기에 단위계단 입력 $\frac{1}{s}$ 을 넣고 최종값 정리를 쓰면 $e_{ss}=\frac{a}{a+19.8}$ 이고, 이 값을 0.01 로 놓고 풀면 $a$ 는 0.2 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 형 = 개루프 전달함수 분모의

s

개수. 계단 입력

\displaystyle e_{ss}=\frac{1}{1+K_{p}}

K_{p}=G(0)

· 램프 입력

\displaystyle e_{ss}=\frac{1}{K_{v}}

K_{v}=\lim sG(s)

(s\to0)

함정 주의 문제가 묻는 것이

K_{v}

가 아니라 제어요소의

k

인 문항이 있다. 정상편차에서

K_{v}

를 거꾸로 구한 뒤

k

까지 풀어야 한다(2021-08-14 시행 70번). 2021-03-07 시행 69번과 발문이 같아도 개루프를 이루는

G_{P}

의 분자가 달라, 2021-08-14 시행 70번은 분자가 20 이라

K_{v}=10k

이고

\displaystyle 0.01=\frac{1}{10k}

에서

k

는 10 이다.

형은 분모의 $s$ 개수이다. 단위 부궤환이면 개루프 전달함수는 순방향 블록 그대로이고, 되먹임 경로에 블록이 있으면 $G(s)H(s)$ 처럼 그것까지 곱한 뒤 센다. 블록이 여럿이면 곱해서 약분한 뒤 남은 $s$ 를 센다(2010-03-07 시행 65번은 약분하면 $s$ 가 한 번 남아 1형, 2016-05-08 시행 67번은 $\frac{1}{s(s+1)}$ 이라 1형).
형 보기를 가릴 때: 0형은 분모에 $s$ 가 없는 계, 2형은 두 개, 3형은 세 개인 계이다. $\frac{1}{s(s+1)}$ 은 $s$ 가 한 개이므로 이들이 아니라 1형이다(2012-03-04 시행 64번).
계단 입력은 $e_{ss}=\frac{1}{1+K_{p}}$ 에 $K_{p}=G(0)$ 을 넣는다. 2014-08-17 시행 66번은 $K_{p}$ 가 2 라서 $\frac{1}{3}$ , 2016-08-21 시행 61번은 $G(0)$ 이 $\dfrac{1}{2}$ 이라서 $\dfrac{2}{3}$ 이다. 위치 편차 상수는 $K_{p}=\lim_{s\to0}G(s)H(s)$ 로 정의된다(2020-08-22 시행 61번).

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편차에서 거꾸로 $K$ 를 구할 때(2018-03-04 시행 61번): $G(0)=\frac{6K(0+1)}{(0+2)(0+3)}=\frac{6K}{6}=K$ 이므로 $\frac{1}{1+K}=0.05$ 에서 $1+K=20$ , 곧 $K=19$ 이다. $K$ 를 20, 0.95, 0.05 로 놓으면 $e_{ss}=\frac{1}{1+20}$ , $e_{ss}=\frac{1}{1+0.95}$ , $e_{ss}=\frac{1}{1+0.05}$ 이 되어 0.05 와 다르다.
램프 입력에서 $k$ 를 구할 때(2021-03-07 시행 69번): 개루프는 $G_{C1}$ ( $=k$ ), $G_{C2}$ , $G_{P}$ 가 이어진 모양이고 $G(s)=k\cdot\frac{1+0.1s}{1+0.2s}\cdot\frac{200}{s(s+1)(s+2)}$ 이다. $G_{C2}$ 는 $s\to0$ 에서 1 이 되고, 분모의 $s$ 는 곱한 $s$ 와 지워져 $K_{v}=k\times1\times\frac{200}{1\times2}=100k$ 이다. $\frac{1}{100k}=0.01$ 에서 $k$ 는 1 이다. $k$ 가 0.1, 10, 100 이면 정상편차가 각각 0.1, 0.001, 0.0001 이라 0.01 이 아니다.
외란이 출력단에서 더해지는 이 문항(2010-07-25 시행 64번)은 목표값을 0 으로 놓고(중첩의 원리) 식을 세우면 $\frac{C}{D}=\frac{1}{1+G(s)}$ 가 된다. 이 문항의 블록 $\frac{20}{1+s}$ 에서 $G(0)=20$ 이라 단위계단 외란의 정상편차는 $\frac{1}{1+G(0)}=\frac{1}{1+20}=\frac{1}{21}$ 이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2012년 1차 회로이론 및 제어공학 64번 — 블록선도로 표시된 제어계의 형그림과 같은 블록선도로 표시되는 제어계는?[그림47]옳은 것 고르기해설 보기 →2018년 1차 회로이론 및 제어공학 61번 — 계단 입력 정상편차 0.05 일 때 K개루프 전달함수 G(s)가 다음과 같이 주어지는 단위 부궤환계가 있다. 단위 계단입력이 주어졌을 때, 정상상태 편차가 0.05가 되기 위해서는 K의 값은 얼마인가? [그림35]계산해설 보기 →2021년 1차 회로이론 및 제어공학 69번 — 램프 입력 정상편차 0.01 일 때 k블록선도의 제어시스템은 단위 램프 입력에 대한 정상상태 오차(정상편차)가 0.01이다. 이 제어시스템의 제어요소인

G_{C1}

(s)의 k는? [그림84]계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 13개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

제어계의 형

개루프 전달함수에서 원점의 극점(

s

) 개수가 형을 정한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 2문항이 인용

계단 입력에 대한 정상상태 편차

단위 부궤환계의 단위 계단 입력에 대한 정상상태 편차는

e_{ss}=\frac{1}{1+K_{p}}

이고

K_{p}=\lim_{s\to0}G(s)

이다.