라우스-후르비츠 안정도 판별

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 29번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2010년 3차 · 2011년 1차 · 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2012년 3차 · 2013년 1차 · 2013년 3차 · 2014년 1차 · 2015년 1차 · 2015년 2차 · 2015년 3차 · 2016년 3차 · 2017년 1차 · 2017년 2차 · 2017년 3차 · 2018년 1차 · 2018년 3차 · 2019년 1차 · 2019년 3차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

라우스-후르비츠 판별법은 특성방정식의 근을 직접 구하지 않고, 계수로 만든 표(라우스 표)의 첫 열 부호만 보고 안정 여부를 알아내는 방법이다. 첫 열의 부호가 모두 같으면 안정하고, 부호가 바뀐 횟수는 오른쪽 반평면에 있는 근의 개수와 같다.

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제어계가 안정하다는 것은 입력이 사라진 뒤 출력이 0 으로 가라앉는다는 뜻이다. 이는 특성방정식(폐루프 전달함수의 분모를 0 으로 놓은 식)의 근이 모두 $s$ 평면의 왼쪽 반평면(좌반면)에 있을 때 성립한다. 오른쪽 반평면(우반면, 실수부가 양수인 영역)에 근이 하나라도 있으면 불안정하고, 근이 허수축 위에 있으면 안정과 불안정의 경계인 안정 한계이다.

표를 만들기 전에 필요조건을 먼저 본다. 특성방정식에 빠진 차수가 없고 모든 계수가 같은 부호여야 하며, 이를 어기면 표를 만들지 않아도 불안정하다. 2010-07-25 시행 62번은 $s$ 의 계수가 -2 로 이미 음수라서 $K$ 가 얼마든 불안정하다고 풀었다. 이 장에서 $K$ 와 $k$ 는 문항에 따라 달리 적힌 같은 역할의 문자로 본다. 필요조건은 안정을 보장하지는 않으므로, 이를 갖춘 식은 표의 첫 열까지 확인한다.

2차식 $s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0$ 은 $a_{1}$ 과 $a_{0}$ 가 둘 다 양수이면 안정이다. $s^{2}+Ks+2K-1=0$ 에서는 $K>0$ 과 $2K-1>0$ 이 함께 필요해서 $K>\frac{1}{2}$ 이다(2011-06-12 시행 63번). 3차식 $s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0$ 은 라우스 표의 $s^{1}$ 행 첫 원소가 $\frac{a_{2}a_{1}-a_{0}}{a_{2}}$ 이고, 모든 계수가 양수이면서 $a_{2}a_{1}>a_{0}$ 이면 안정이다.

라우스 표는 첫 두 행에 계수를 번갈아 적고, 아래 행은 위의 두 행으로 계산해 채운다. $s^{3}$ 행이 $1,\ 2$ , $s^{2}$ 행이 $11,\ 40$ 이면 $s^{1}$ 행 첫 값은 $\frac{11\times2-1\times40}{11}=-\frac{18}{11}$ 이다. 첫 열 $1,\ 11,\ -\frac{18}{11},\ 40$ 은 부호가 두 번 바뀌므로 양의 실수부를 갖는 근이 2개이다(2013-03-10 시행 67번). 첫 열이 이미 주어진 문항은 표를 만들지 않고 부호만 비교한다.

계수에 $K$ 가 들어 있으면 $K$ 가 들어 있는 칸마다 첫 열의 값이 양수여야 한다는 조건을 부등식으로 풀고, 그 조건을 함께 만족하는 범위를 구한다(2017-03-05 시행 68번처럼 조건이 한 칸에서만 나오기도 한다). $s^{3}+3s^{2}+3s+1+K=0$ 에서는 $s^{3}$ 행이 $1,\ 3$ , $s^{2}$ 행이 $3,\ (1+K)$ 이므로 $s^{1}$ 행 첫 칸은 $\frac{3\times3-1\times(1+K)}{3}=\frac{8-K}{3}$ , $s^{0}$ 행 첫 칸은 $1+K$ 이다. 첫 열이 모두 양수이려면 $8-K>0$ 과 $1+K>0$ 이어야 하므로 $-1<K<8$ 이다(2020-09-26 시행 63번).

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 라우스 표 첫 열의 부호 변화 횟수 = 우반면 근의 개수. 첫 열이 모두 같은 부호이면 안정.

암기팁 계수가 하나라도 빠지거나 부호가 섞이면 그 자리에서 불안정이고, 라우스 표는 그다음이다.

함정 주의 안정 범위의 끝 값은 넣지 않는다. 첫 열의 값이 0 이 되는

K

는 안정 한계이므로 등호가 붙은 보기는 틀리다.

2차식 문항(2011-06-12 시행 63번)의 답은 $K>\frac{1}{2}$ 이다. $K>0$ 만으로는 부족하고 상수항 $2K-1$ 도 양수여야 한다. $K<\frac{1}{2}$ 은 상수항이 음수가 되어 부등호 방향이 반대이고, $0<K<\frac{1}{2}$ 은 $K>0$ 은 만족하지만 $2K-1$ 이 음수가 되어 불안정하다.
3차식 문항(2017-03-05 시행 68번)은 $s^{3}$ 행이 $1,\ k+3$ , $s^{2}$ 행이 $2,\ 10$ 이므로 $s^{1}$ 행의 값이 $\frac{2(k+3)-1\times10}{2}=k-2$ 이고, 답은 $k>2$ 이다. $k<2$ 와 $k<1$ 은 $k-2$ 가 음수가 되어 첫 열의 부호가 바뀐다. $k>1$ 은 $1<k\le2$ 구간을 포함하는데, 이 구간에서는 $k-2$ 가 0 이하여서 첫 열이 모두 양수가 아니다.
범위의 양 끝을 확인한다(2020-09-26 시행 63번). $K=-1$ 이면 라우스 표 마지막 칸이 0 이 되고 $K=8$ 이면 $s^{1}$ 행의 첫 칸이 0 이 되어 둘 다 안정 한계이므로, 등호가 들어간 보기는 틀리다. $K<-1$ 또는 $K>8$ 이면 첫 열에 음수가 생겨 불안정하다.

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안정한 식을 고르는 문항(2010-05-09 시행 65번)은 필요조건부터 걸러 낸다. 음수 계수가 있는 식과 $s^{4}$ 항이 빠진 식은 표 없이 탈락하고, 남은 $2s^{3}+3s^{2}+4s+5=0$ 은 첫 열 $2$ , $3$ , $\frac{2}{3}$ , $5$ 가 모두 양수여서 안정이다.
첫 열의 부호가 바뀐 횟수는 우반면 근의 개수이다(2019-08-04 시행 66번이 이 뜻을 묻고, 정답은 우반면에 존재하는 근의 수이다). 2010-03-07 시행 66번은 첫 열이 $1,2,-18,40$ 이어서 부호가 두 번 바뀌므로 양의 실수부를 갖는 근이 2개이다.
경계를 묻는 문항: $s^{1}$ 행 첫 값이 0 이 되는 이득이 안정 경계이다. 2013-08-18 시행 61번(그림 문항)은 $k=180$ 에서 $s^{1}$ 행의 첫 값이 0 이 되므로, 바로 윗줄 $s^{2}$ 행으로 세운 보조방정식 $9s^{2}+k=0$ 을 풀어 $s=\pm j\sqrt{20}$ 을 얻고, 2021-08-14 시행 64번은 $\frac{84-K}{7}=0$ 에서 $K=84$ 를 얻는다. 표를 만들다 첫 원소가 0 이면 0 대신 아주 작은 양수 $\epsilon$ 을 넣어 계속한다(2017-05-07 시행 64번).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 2차 회로이론 및 제어공학 63번 — 2차식이 안정할 K 의 범위특성방정식

s^{2}

+Ks+2K-1=0 제어계가 안정될 K 의 범위는?계산해설 보기 →2017년 1차 회로이론 및 제어공학 68번 — 3차식이 안정할 k 의 범위특성방정식

S^{3}

S^{2}

+(k+3)S+10=0에서 Routh 안정도 판별법으로 판별시 안정하기 위한 k의 범위는?계산해설 보기 →2020년 3차 회로이론 및 제어공학 63번 — 3차식 안정 K 의 범위(양 끝 제외)Routh-Hurwitz 안정도 판별법을 이용하여 특성방정식이

s^{3}

s^{2}

+3s+1+K=0으로 주어진 제어시스템이 안정하기 위한 K의 범위를 구하면?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 20개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

라우스 판별법

특성방정식의 라우스 표에서 첫 열의 부호가 바뀐 횟수는 양의 실수부를 갖는 근의 개수와 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 37문항 중 7문항이 인용

라우스 안정도 판별법

라우스 표 첫 열의 부호가 모두 같으면 안정이고, 부호가 바뀐 횟수만큼 불안정한 근이 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 37문항 중 3문항이 인용

라우스-후르비쯔 안정도 판별법

라우스 표의 첫째 열 원소가 모두 같은 부호이면 계는 안정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 37문항 중 3문항이 인용

라우스-후르비쯔 안정 판별

특성방정식의 계수가 모두 같은 부호이고 라우스 표의 첫 열 부호가 모두 같으면 안정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 37문항 중 2문항이 인용

라우스-후르비쯔 안정 판별법

특성방정식의 라우스 표 첫 열이 모두 같은 부호이면 모든 근이 좌반면에 있어 안정이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 37문항 중 2문항이 인용

라우스-후르비쯔 안정판별법

특성방정식의 라우스표 첫째 열 부호가 모두 같으면 안정, 하나라도 다르면 불안정하며 부호가 바뀐 횟수만큼 우반면 근이 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 37문항 중 2문항이 인용

라우스-후르비쯔 판별법 — 라우스·후르비쯔

안정하려면 특성방정식의 모든 계수가 존재하고 같은 부호여야 한다는 필요조건이 있으며, 이를 만족하지 못하면 계수값(K 등)과 무관하게 항상 불안정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 37문항 중 2문항이 인용

루스 안정 판별법

루스 표 제1열의 부호가 바뀌는 횟수는 s 평면의 오른쪽 절반에 있는 근의 개수와 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 37문항 중 2문항이 인용

근궤적과 라우스표의 관계

특성방정식의 라우스표에서 s¹행(또는 중간행)이 0이 되는 K는 근궤적이 허수축을 지나는 임계 이득이다.