나이퀴스트 판별법

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 13번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 3차 · 2011년 1차 · 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2012년 2차 · 2012년 3차 · 2013년 2차 · 2013년 3차 · 2015년 1차 · 2016년 1차 · 2016년 2차

2 쉬운 설명

나이퀴스트 선도는 개루프 전달함수의 주파수 응답을 복소평면에 그린 곡선이다. 나이퀴스트 판별법은 이 곡선이 임계점 $(-1,\,j0)$ 을 감는 횟수와 방향으로 폐루프의 안정 여부를 판정하는 방법이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

나이퀴스트 선도는 $\omega$ 를 0 에서 무한대까지 바꾸면서 $G(j\omega)$ 의 크기와 위상각을 극좌표에 그린 궤적(극좌표선도)이다. 개루프 전달함수 $G(s)H(s)$ 에 $s=j\omega$ 를 넣은 값을 그린다. 다른 선도와는 그리는 방식으로 가른다. 근궤적도는 이득 $K$ 를 바꾸며 $s$ 평면에 그리고, 보드선도는 크기와 위상을 두 그래프로 따로 그리며, 니콜스 선도는 크기(dB)를 세로축, 위상을 가로축에 놓고 그린다.

기준점이 $(-1,\,j0)$ 인 이유는 특성방정식 $1+G(s)H(s)=0$ 을 $G(s)H(s)=-1$ 로 바꿔 쓸 수 있기 때문이다. 즉 개루프 전달함수의 값이 $-1$ 이 되는 곳이 특성방정식을 만족하는 곳이다. 이 점은 실수부가 $-1$ , 허수부가 0 이어서 실수축 위에 있으며 임계점이라 부른다.

임계점은 원점에서 거리가 1 이고 음의 실수축 위에 있으므로 크기 1, 위상 $-180^{\circ}$ 이다. 크기 1 은 $20\log_{10}1=0\,\mathrm{dB}$ 이므로, 보드선도에서 임계점은 이득 $0\,\mathrm{dB}$ , 위상 $-180^{\circ}$ 인 점이다. 이 점 근처에서 안정도의 여유를 읽는다.

나이퀴스트 선도가 알려 주는 것은 안정 여부와 안정도이다. 곡선이 임계점을 감싸는지로 안정 여부를 직접 판정하고, 곡선이 임계점에서 얼마나 떨어져 지나가는지로 이득여유와 위상여유 같은 안정도를 읽으며, 안정을 개선할 방향의 실마리도 얻는다. 반면 정상 오차(시간이 충분히 지난 뒤 목표값과 출력 사이에 남는 차이)는 선도가 알려 주지 않고, 계의 형(Type)과 입력의 종류로 따로 계산한다(정상 오차를 개루프 전달함수의 형과 오차 상수로 구한다고 한 해설도 있다).

$K>0$ 일 때 $G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(j\omega+1)}$ 의 선도는 위상이 $-90^{\circ}-\arctan(\omega)$ 이다. $\omega\to0$ 이면 크기가 무한대이고 위상이 $-90^{\circ}$ 이며 실수부가 $-K$ 에 가까워지고, $\omega\to\infty$ 이면 크기가 0 이고 위상이 $-180^{\circ}$ 이다. 식을 $G=-\frac{K}{\omega^{2}+1}-j\frac{K}{\omega(\omega^{2}+1)}$ 로 나누면 실수부와 허수부가 모두 음수여서 곡선은 제3사분면에서 원점으로 들어가며 음의 실수축에 접한다. 문항에 $w$ 로 인쇄된 것도 같은 각주파수 $\omega$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 임계점

(-1,\,j0)

= 보드선도의

0\,\mathrm{dB}

-180^{\circ}

암기팁 나이퀴스트 선도 = 안정 여부 + 안정도(여유) 정보 O, 오차 응답 정보 X.

함정 주의 정상 오차(오차 응답)는 나이퀴스트 선도에서 얻는 자료가 아니다. 형(Type)과 오차 상수로 따로 구한다.

임계점 $(-1,\,j0)$ 에 대응하는 보드선도 값은 $0\,\mathrm{dB}$ , $-180^{\circ}$ 이다(2012-03-04 시행 70번, 2016-03-06 시행 70번). 이득 $1\,\mathrm{dB}$ , 위상 $0^{\circ}$ 는 둘 다 다르고, 위상 $-90^{\circ}$ 는 음의 허수축 방향, $90^{\circ}$ 는 양의 허수축 방향이다. 임계점은 음의 실수축 위에 있어 위상이 $-180^{\circ}$ 이다.
나이퀴스트 판정법의 설명 중 틀린 것을 고르는 문항(2011-03-20 시행 66번, 2016-05-08 시행 61번)의 틀린 보기는 「Nyquist 선도는 제어계의 오차 응답에 관한 정보를 준다」이다. 맞는 설명은 안정성과 안정도(이득여유·위상여유)를 함께 판정한다는 것, 임계점과의 거리·여유로 안정 개선의 실마리를 준다는 것, 라우스-후르비츠 판정법처럼 안정 여부를 직접(선도의 감김 횟수로) 판정한다는 것이다.
나이퀴스트 선도에서 얻을 수 있는 자료 중 틀린 것을 고르는 문항(2013-08-18 시행 64번)의 답은 「정상 오차를 알 수 있다」이다. 정상 오차는 개루프 전달함수의 형(Type)과 오차 상수로 구하며, 안정도에 관한 보기는 맞는 설명이다.

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나이퀴스트 안정론의 기준점을 묻는 문항(2010-07-25 시행 68번)의 답은 $-1,\,j0$ 이다. 벡터 궤적이 이 점을 몇 번, 어느 방향으로 감싸는지, 왼쪽에 두는지 오른쪽에 두는지가 판별의 핵심이다.
선도 모양을 고르는 문항(2010-03-07 시행 70번, 2012-05-20 시행 66번, 2012-08-26 시행 69번, 2015-03-08 시행 70번)은 $\omega\to0$ 의 시작(크기 무한대, 위상 $-90^{\circ}$ )과 $\omega\to\infty$ 의 끝(크기 0, 위상 $-180^{\circ}$ )으로 가른다. 2016-05-08 시행 64번 해설은 2차 제어계의 선도가 음의 실수축과 교차하지 않고 이득여유가 $\infty$ 이며 임계점을 감싸지 않아 안정하다고 보았고, 그래서 모두 불안정하다는 보기가 특징이 아닌 것이다.
2013-06-02 시행 68번의 해설은 개루프 전달함수 $G(s)H(s)=\frac{K_{1}}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}$ 를 특성방정식 $1+G(s)H(s)=0$ 에 넣어 정리하고, $K_{1}$ , $T_{1}$ , $T_{2}$ 가 모두 양수이면 특성방정식 $T_{1}T_{2}s^{2}+(T_{1}+T_{2})s+1+K_{1}=0$ 의 세 계수가 모두 양수이므로 값이 얼마든 안정이라고 풀었다. 두 시정수가 양수라는 전제가 필요하며, 부호가 섞이면 이 결론은 성립하지 않는다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 1차 회로이론 및 제어공학 66번 — 나이퀴스트 판정법의 틀린 설명Nyquist 판정법의 설명으로 틀린 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →2012년 1차 회로이론 및 제어공학 70번 — 임계점의 보드선도 이득·위상나이퀴스트 선도에서의 임계점 (-1, J0)는 보드 선도에서 대응하는 이득[dB]과 위상은?계산해설 보기 →2016년 1차 회로이론 및 제어공학 70번 — 임계점의 보드선도 이득·위상나이퀴스트(Nyquist) 선도에서의 임계점 (-1, j0)에 대응하는 보드선도에서의 이득과 위상은?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 12개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

나이퀴스트 판별법과 나이퀴스트 선도 — 나이퀴스트

폐루프 특성방정식 1+G(s)H(s)=0을 G(s)H(s)=-1로 바꿔 쓸 수 있으므로, 벡터 궤적이 점 (-1, j0)을 감는 횟수로 안정성을 판별한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 2문항이 인용

1형 시스템의 나이퀴스트 선도 모양

원점에 극점이 하나 있는 시스템은 ω→0에서 위상 -90°(크기 무한대), ω→∞에서 위상 -180°(크기 0)로 향하는 곡선을 그린다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

2차 제어계의 나이퀴스트 선도

2차 제어계의 선도는 음의 실축과 교차하지 않아 이득 여유가

\infty

이고 임계점을 감싸지 않아 안정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

2차 특성방정식의 안정 조건

2차식은 계수의 부호가 모두 같으면 모든 근의 실수부가 음수이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

나이퀴스트 선도와 보드 선도의 대응

임계점

(-1,\,j0)

은 크기 1 위상

-180^{\circ}

이며 보드 선도에서 이득 0 dB, 위상

-180^{\circ}

에 해당한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

나이퀴스트 선도와 보드선도의 대응

임계점

(-1,\,j0)

은 크기

1

(

0\,\mathrm{dB}

), 위상

-180^{\circ}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

나이퀴스트 선도의 극한 거동

적분기를 하나 가진 계의 선도는

\omega\to0

에서

-90^{\circ}

방향으로 무한대에서 출발하고

\omega\to\infty

에서 원점으로 들어간다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

나이퀴스트 선도의 정의 — Harry Nyquist

주파수 ω를 0에서 ∞까지 바꾸며 G(jω)의 크기와 위상각을 극좌표에 그린 궤적이 나이퀴스트 선도다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

나이퀴스트 안정도 판별

개루프 주파수 응답 곡선이 임계점

-1

을 지나는 모양으로 폐루프의 안정도를 판별한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

나이퀴스트 안정도 판별법 — 나이퀴스트

개루프 주파수 응답 곡선이 임계점

(-1,\,j0)

을 감싸는지로 폐루프의 안정 여부를 판단하고 곡선과 임계점의 거리로 안정도를 판단한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

벡터 궤적

G(j\omega)

의 실수부와 허수부로

\omega

에 따른 자취를 그린 것이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

벡터 궤적(나이퀴스트 선도)의 시작과 끝

w\to0

의 위상과

w\to\infty

의 위상으로 선도가 놓이는 사분면을 알 수 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 14문항 중 1문항이 인용

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