이득여유와 위상여유

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 11번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 2차 · 2011년 1차 · 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2014년 3차 · 2016년 1차 · 2016년 2차 · 2017년 1차 · 2018년 2차 · 2019년 2차 · 2020년 1차

2 쉬운 설명

이득여유와 위상여유는 주파수 응답으로 계의 안정도를 읽는 척도이다. 이득여유는 위상이 $-180^{\circ}$ 가 되는 주파수에서 이득이 0 dB 보다 얼마나 낮은지를 나타내고, 위상여유는 이득이 0 dB 인 주파수에서 위상이 $-180^{\circ}$ 까지 얼마나 남았는지를 나타낸다.

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보드선도는 위쪽에 이득(크기) 선도, 아래쪽에 위상 선도를 같은 주파수 축으로 나란히 그린 것이다. 피드백 제어계는 위상이 $-180^{\circ}$ 가 될 때 이득이 1(0 dB) 이상이면 불안정해진다. 그래서 위상이 $-180^{\circ}$ 가 되는 주파수(위상 교차 주파수)를 찾아 그 점의 이득이 0 dB 에서 얼마나 아래인지를 보며, 그 값이 이득여유이다. 이득여유가 클수록 이득이 더 커져도 안정을 유지할 여유가 크다.

위상여유는 이득 교차 주파수, 곧 개루프 응답의 진폭비가 1 이 되는 주파수에서 읽는다. 그 주파수에서 위상곡선이 $-180^{\circ}$ 선까지 얼마나 남았는지가 위상여유이다. 2011-03-20 시행 64번의 해설은 이득 교차점에서 위상각 선도가 $-180^{\circ}$ 축의 위에 있으면 위상여유가 있어 안정하다고 본다. 위상이 선 위에 정확히 걸리면 임계 안정이고, 선 아래로 내려가면 불안정이다.

두 여유는 짝을 이루지만 읽는 자리가 다르다. 이득여유는 위상 $-180^{\circ}$ 인 주파수에서 이득을, 위상여유는 이득 0 dB 인 주파수에서 위상을 읽는다. 두 값은 나이퀴스트 선도에서도 읽을 수 있다. 2014-08-17 시행 64번의 해설은 두 여유가 모두 양의 값이면 안정, 둘 다 0 이면 임계 안정, 음수이면 불안정으로 판정한다.

최소 위상 함수(우반평면에 극점과 영점이 없는 전달함수)에서는 위상여유가 양수이면 안정하고 0 이면 임계 안정이다. 안정한 계가 불안정해지기까지 얼마나 여유가 있는지를 나타내는 상대 안정도는 위상여유가 클수록 커진다(2016-05-08 시행 69번).

주파수 응답으로 설계할 때 안정도의 척도로 쓰는 것은 공진치, 위상여유, 이득여유이다. 공진치는 주파수 응답 곡선에서 가장 높은 봉우리의 크기이며 클수록 흔들리기 쉽다. 고유주파수는 계통이 스스로 진동하는 주파수로 응답의 빠르기와 관련된 값이어서 안정도의 척도와는 관계가 적다(2016-03-06 시행 69번).

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 이득여유 = 위상

-180^{\circ}

에서의 이득과 0 dB 의 차이, 위상여유 = 이득 0 dB 에서의 위상과

-180^{\circ}

의 차이.

암기팁 안정도 척도 = 공진치 · 위상여유 · 이득여유 (고유주파수는 빠르기).

함정 주의 이득여유를 읽는 위상은

-180^{\circ}

이다. 위상

0^{\circ}

나

180^{\circ}

-90^{\circ}

를 기준으로 삼지 않는다.

이득여유를 읽는 자리를 고르는 문항(2011-08-21 시행 66번, 2019-04-27 시행 67번, 2020-06-06 시행 64번)의 답은 위상이 $-180^{\circ}$ 가 되는 주파수에서 이득과 0 dB 의 차이(크기)이다. 위상 $0^{\circ}$ · $180^{\circ}$ · $-90^{\circ}$ 에서 읽는 보기는 기준이 틀렸고, 크기 선도의 0~20 dB 사이 길이나 -20~20 dB 사이 값도 이득여유를 구하는 방법이 아니다.
두 여유의 기준을 짝지어 기억한다. 위상여유의 기준은 이득이 0 dB 인 주파수이고, 이득여유의 기준은 위상 $-180^{\circ}$ 인 주파수이다. 2020-06-06 시행 64번의 해설은 위상 $0^{\circ}$ 를 기준으로 삼지 않도록 주의하라고 한다.
이득 교차점에서 위상각 선도가 $-180^{\circ}$ 축의 상부에 있을 때의 안정 여부를 묻는 문항(2011-03-20 시행 64번)의 답은 「안정하다」이다. 위상이 선 위에 정확히 걸리는 경우가 임계 안정이고 선 아래로 내려가는 경우가 불안정이므로, 「불안정하다」와 「임계 안정이다」는 이 조건에 맞지 않는다.

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이득여유 4~12 dB, 위상여유 30~40도인 제어계(2014-08-17 시행 64번)는 두 값이 모두 양수이므로 안정이다. 「불안정」과 「임계안정」은 여유가 0 이하일 때의 이야기이고, 「인디셜응답 시간이 지날수록 진동은 확대」는 불안정한 제어계의 모습이다.
틀린 설명을 고르는 문항(2016-05-08 시행 69번)의 답은 「최소 위상 함수의 상대 안정도는 위상각의 증가와 함께 작아진다」이다. 해설은 위상여유가 커질수록 상대 안정도가 커지므로 이 설명이 방향을 거꾸로 말한다고 본다. 「이득 교차 주파수는 진폭비가 1이 되는 주파수이다」, 「최소 위상 함수는 양의 위상 여유이면 안정하다」, 「최소 위상 함수는 위상 여유가 0이면 임계 안정하다」는 맞는 설명이다.
안정도의 척도와 관계가 적은 것을 고르는 문항(2016-03-06 시행 69번)의 답은 「고유주파수」이다. 공진치는 클수록 흔들리기 쉬워 척도이고, 위상여유는 이득이 0 dB 인 주파수에서 위상이 $-180^{\circ}$ 까지 남은 정도, 이득여유는 위상이 $-180^{\circ}$ 인 주파수에서 이득이 0 dB 에 못 미치는 정도로 모두 척도이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 3차 회로이론 및 제어공학 66번 — 보드선도에서 이득여유 구하기보드 선도의 이득 여유는 어떻게 구하는가?옳은 것 고르기해설 보기 →2016년 1차 회로이론 및 제어공학 69번 — 안정도 척도와 관계가 적은 것주파수 응답에 의한 위치제어계의 설계에서 계통의 안정도 척도와 관계가 적은 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →2019년 2차 회로이론 및 제어공학 67번 — 이득여유를 읽는 위상곡선 위치보드 선도에서 이득여유에 대한 정보를 얻을 수 있는 것은?옳은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 6개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

이득여유

이득여유는 위상 교차주파수(위상이

-180^{\circ}

가 되는 주파수)에서 이득이 0 dB 에서 떨어진 정도이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 2문항이 인용

보드 선도를 이용한 안정도 판별

이득 교차점에서의 위상이 -180°보다 크면(위상여유가 양수이면) 폐루프 시스템은 안정하다.