근궤적의 가지 수

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 15번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 2차 · 2012년 1차 · 2014년 1차 · 2014년 2차 · 2014년 3차 · 2015년 1차 · 2016년 1차 · 2016년 3차 · 2017년 2차 · 2018년 2차 · 2019년 3차 · 2020년 2차 · 2020년 3차 · 2021년 1차

2 쉬운 설명

근궤적은 개루프 전달함수 $G(s)H(s)$ 의 이득 $K$ 를 0 에서 무한대까지 키울 때 폐루프 극점이 $s$ 평면에서 움직이는 길이다. 그 길이 몇 갈래로 그려지는지가 가지 수이며, 극점 수와 영점 수 중 큰 쪽과 같다.

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극점은 전달함수의 분모를 0 으로 만드는 $s$ 값이고 영점은 분자를 0 으로 만드는 $s$ 값이다. 근궤적은 $K=0$ 일 때 극점에서 출발해 $K=\infty$ 일 때 영점에 도착하며, 영점이 모자라면 일부 가지는 무한대로 뻗는다. 출발점이 극점이고 도착점이 영점이므로 가지 수는 둘 중 더 많은 쪽의 수가 되고, 이는 특성방정식의 차수와도 같다. 극점이 더 많을 때는 극점 수와 같지만 영점이 더 많을 때는 그렇지 않다.

수를 셀 때는 분모에서 극점을, 분자에서 영점을 읽는다. 같은 값의 근이 겹친 중근은 겹친 횟수만큼 센다. 2017-05-07 시행 65번처럼 분자와 분모에 같은 $(s+1)$ 이 있어도 가지 수를 세는 규칙은 바뀌지 않으며, 극점과 영점의 개수를 따로 세어 큰 쪽을 고른다. 2014-08-17 시행 69번은 특성방정식을 $1+K\,G(s)=0$ 꼴로 바꾸어 $1+K\frac{s+3}{s(s+1)(s+2)}=0$ 으로 쓰고, 극점 $0,\ -1,\ -2$ 3 개와 영점 $-3$ 1 개에서 가지 수 3 을 얻는다.

2010-03-07 시행 67번은 $G(s)H(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)(s+3)}$ 이다. 극점은 $s=0,-1,-3$ 의 3개, 영점은 $s=-2$ 의 1개이므로 $\max(\text{극점 수},\text{영점 수})$ 는 3 이다. 2010-05-09 시행 69번은 $G(s)H(s)=\frac{K(s+3)}{s^{2}(s+2)(s+4)(s+5)}$ 이다. $s^{2}$ 에서 2개와 나머지 3개를 합해 극점이 5개, 영점은 1개이므로 가지 수는 5 이다.

성질을 고르는 문항에서는 가지 수 말고도 다음을 확인한다. 특성방정식의 계수가 실수라서 복소 근이 켤레쌍으로 생기므로 근궤적은 실수축을 기준으로 대칭이다. 점근선(영점이 모자라 무한대로 뻗는 가지가 따라가는 직선)은 실수축 위의 한 점에서 교차하므로 허수축에서 교차한다는 말은 틀리다. 실수축에서 이득 $K$ 가 최대가 되는 점이 이탈점(실수축에서 근궤적이 갈라져 나가는 점)이 될 수 있다는 설명은 2014-03-02 시행 66번 해설이 맞는 설명이라고 한다.

근궤적이 허수축을 지날 때의 $K$ 는 안정과 불안정의 경계가 되는 이득이며, 그 값은 계의 극점과 영점 배치에 따라 계마다 달라져 일정하지 않다. 그래서 허수축을 끊는 $K$ 의 값이 일정하다는 보기는 틀린 설명이다. 근궤적은 $K$ 에 따른 극점 위치를 보여 주므로 절대안정도(안정한지 불안정한지)와 상대안정도(안정한 계가 한계에서 얼마나 떨어져 있는지)를 판단하는 데 쓰인다. 계가 안정하려면 근이 모두 좌반면에 있어야 하므로, 근궤적이 우반면에 있는 구간의 $K$ 범위는 안정 조건이 아니라 불안정한 구간이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 근궤적: 가지 수 = 극점·영점 중 큰 수, 극점에서 출발해 영점으로 도착.

암기팁 근궤적 규칙: 극점에서 출발 · 실수축 대칭 · 점근선은 실수축 위에서 교차.

함정 주의 극점 수와 같다고만 쓴 보기, 점근선이 허수축에서 교차한다는 보기, 허수축을 끊는

K

가 일정하다는 보기는 모두 틀린 서술이다.

가지 수는 극점 수와 영점 수 중 큰 쪽이며 특성방정식의 차수와 같다. 극점 수와 같다고만 한 서술은 영점이 더 많을 때 성립하지 않아 잘못된 설명이다(2014-03-02 시행 66번).
수 세는 순서: 분모의 근으로 극점 개수, 분자의 근으로 영점 개수를 센 뒤 큰 값을 고른다. 중근은 겹친 횟수만큼 센다. 2016-03-06 시행 68번의 분모는 $s=0$ 이 2중이라 극점이 4개이고 영점은 1개이므로 가지 수는 4 이다.
분자와 분모에 같은 인수 $(s+1)$ 이 있어도 극점과 영점의 개수를 따로 세어 큰 쪽을 고른다. 2017-05-07 시행 65번은 극점 3개, 영점 1개라 가지 수가 3 이다.

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맞는 서술: 극점에서 출발해 영점(또는 무한대)으로 도착한다, 실수축에 대칭이다, 점근선은 실수축 위의 한 점에서 교차한다, 가지 수는 특성방정식의 차수와 같다. 틀린 서술: 점근선이 허수축에서 교차한다, 허수축을 끊는 $K$ 의 값이 일정하다, 근궤적은 절대안정도·상대안정도와 관계가 없다.
근궤적이 우반면에 위치하는 $K$ 의 범위가 시스템이 안정하기 위한 조건이라는 서술은 틀렸다. 안정한 $K$ 의 범위는 근궤적이 좌반면에 있는 구간이다(2019-08-04 시행 62번).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2014년 1차 회로이론 및 제어공학 66번 — 근궤적 성질 중 잘못된 것이득이 K인 시스템의 근궤적을 그리고자 한다. 다음 중 잘못된 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →2016년 3차 회로이론 및 제어공학 67번 — 근궤적 성질 중 옳은 것근궤적에 대한 설명 중 옳은 것은?옳은 것 고르기해설 보기 →2020년 3차 회로이론 및 제어공학 64번 — 근궤적 성질 중 틀린 것근궤적의 성질 중 틀린 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 9개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

근궤적의 가지 수

가지 수는 개루프 전달함수의 극점 수와 영점 수 중 큰 값이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 5문항이 인용

근궤적의 가지 수 규칙

근궤적의 가지 수는 개루프 전달함수의 극점 수와 영점 수 중 더 큰 값과 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 2문항이 인용

근궤적의 작도 규칙

근궤적의 가지 수는 극점 수와 영점 수 중 큰 쪽이며 극점에서 출발해 영점에 도착한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 16문항 중 2문항이 인용

근궤적과 안정도

폐루프 극이 s 평면의 왼쪽 절반에 있으면 안정, 허수축 위에 있으면 임계, 오른쪽 절반에 있으면 불안정이다.