근궤적의 점근선과 교차점

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 8번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2011년 2차 · 2011년 3차 · 2016년 3차 · 2018년 1차 · 2018년 3차 · 2019년 1차 · 2020년 1차 · 2022년 1차

2 쉬운 설명

점근선은 영점이 모자라 무한대로 뻗는 근궤적 가지가, 이득 $K$ 가 매우 커질 때 따라가는 직선이다. 이 직선들이 실수축 위의 한 점에서 만나는데 그 점이 교차점 $\sigma$ 이다.

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극점은 전달함수의 분모를 0 으로 만드는 $s$ 값이고 영점은 분자를 0 으로 만드는 $s$ 값이다. 극점 수를 $P$ , 영점 수를 $Z$ 로 쓴다(문항에 따라 $n$ , $m$ 으로도 쓰는 같은 양이다). 극점이 영점보다 많으면 남는 수만큼의 근이 무한히 먼 곳으로 향하므로 점근선은 $P-Z$ 개이다.

교차점은 $\sigma=\frac{\sum\text{극점}-\sum\text{영점}}{P-Z}$ 이다. 극점의 합에서 영점의 합을 빼고 극점 수와 영점 수의 차로 나눈다. 교차점은 극점과 영점의 위치만으로 정해지며 $K$ 의 값과는 관계없다. 영점이 없으면 극점의 합을 극점 수로 나누기만 하면 되는데, 이 값은 극점들의 평균 위치와 같다.

계산은 분모의 근으로 극점의 값과 개수를, 분자의 근으로 영점의 값과 개수를 읽고, 각각의 합을 구해 공식에 넣는 순서이다. 2011-08-21 시행 61번은 분모 $s(s+3)(s-4)$ , 분자 $K(s+1)$ 이어서 극점이 $0,\,-3,\,4$ 의 3개, 영점이 $-1$ 의 1개이고 $\sigma=\frac{(0-3+4)-(-1)}{3-1}=\frac{2}{2}=1$ 이다.

같은 자리에 극점이 2개 겹친 2중 극점은 합을 낼 때 두 번 센다. 2018-03-04 시행 63번은 극점이 $0,\,1,\,1,\,-2,\,-2$ 의 5개이고 영점이 $5$ 의 1개이다. 극점의 합이 $-2$ 이므로 $\sigma=\frac{-2-5}{5-1}=-\frac{7}{4}$ 이다. 2016-08-21 시행 62번도 극점 $0$ 이 2중이어서 극점이 $0,0,-2,-3$ 의 4개이다.

영점이 없는 경우와 같은 인수가 있는 경우에도 같은 공식을 쓴다. 2018-08-19 시행 66번은 극점이 $0,\ -4,\ -5$ 이고 영점이 없어 $\sigma=\frac{(0-4-5)-0}{3-0}=-3$ 이다. 2022-03-05 시행 68번은 분자와 분모에 똑같이 있는 $(s+3)$ 을 먼저 지워도 되고, 지우고 남은 극점 $0,0,-1,-4$ 와 영점 없음으로 $\sigma=\frac{0+0-1-4}{4}=-\frac{5}{4}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 점근선 교차점

\displaystyle \sigma=\frac{\sum\text{극점}-\sum\text{영점}}{P-Z}

— 극점의 합에서 영점의 합을 뺀다.

암기팁 2중 극점은 두 번 센다. 분자·분모에 같은 인수가 있으면 먼저 지워도 된다.

함정 주의 극점 하나의 위치(예: 극점

0

)를 교차점으로 고르거나, 극점의 합에서 영점의 합을 뺀 값에서 멈추지 않는다.

P-Z

로 나누는 데까지가 교차점이다.

교차점은 극점의 합에서 영점의 합을 뺀 값을 극점 수와 영점 수의 차로 나눈다. 분모의 근이 극점이고 분자의 근이 영점이며, 인수 $(s-4)$ 의 근은 $4$ 이다(2011-08-21 시행 61번).
2011-08-21 시행 61번: 극점 $0,\,-3,\,4$ 와 영점 $-1$ 로 구한 교차점은 $1$ 이다. 보기 $0$ 은 극점 $0$ 의 위치일 뿐 교차점이 아니고, $3$ 과 $-4$ 는 계산한 값과 다르다.
2018-03-04 시행 63번: 극점의 합 $-2$ 에서 영점의 합 $5$ 를 뺀 $-7$ 을 $P-Z=4$ 로 나눈 값이 $-\frac{7}{4}$ 이다. 보기 $-\frac{3}{2}$ , $\frac{5}{3}$ , $-\frac{1}{5}$ 은 이 값과 다르다. $\frac{5}{3}$ 는 부호도 크기도 다르다.

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2019-03-03 시행 67번: $G(s)H(s)=\frac{K(s-1)}{s(s+1)(s-4)}$ 의 극점은 $0,\ -1,\ 4$ 로 합이 3, 영점은 $1$ 이다. $\sigma=\frac{3-1}{3-1}=1$ 이며, 뺀 값 2 를 $P-Z=2$ 로 나눠야 1 이 된다. 보기 $-1$ , $0$ , $2$ 는 이 값과 다르다.
2중 극점은 합과 개수에 모두 두 번 센다. 2011-06-12 시행 69번은 극점이 $0,0,-1,-2,-4$ 의 5개로 합이 $-7$ , 영점이 $2,3$ 의 2개로 합이 $5$ 이므로 $\frac{-7-5}{5-2}=-4$ 이다.
영점이 없으면 극점의 합을 극점 수로 나누고, 분자와 분모에 같은 인수가 있으면 먼저 지워도 된다. 점근선은 $P-Z$ 개이고 교차점은 $K$ 값과 관계없이 극점과 영점의 위치로만 정해진다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 3차 회로이론 및 제어공학 61번 — 점근선과 실수축의 교차점G(s)H(s)가 다음과 같이 주어지는 계에서 근궤적 점근선의 실수축과의 교차점은? [그림38]계산해설 보기 →2018년 1차 회로이론 및 제어공학 63번 — 2중 극점이 있는 교차점개루프 전달함수 [그림36]일 때 주어지는 계에서 점근선 교차점은?계산해설 보기 →2019년 1차 회로이론 및 제어공학 67번 — 점근선 교차점 구하기[그림36] 에서 점근선의 교차점을 구하면?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 2개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

근궤적의 점근선

점근선은

n-m

개이고 실수축과 만나는 점은

\sigma=\frac{\sum\text{극점}-\sum\text{영점}}{n-m}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 5문항이 인용

근궤적 점근선의 교차점 공식

σ=(Σ극-Σ영점)/(극의 개수-영점의 개수)로 점근선이 실수축과 만나는 점을 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 2문항이 인용

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