근궤적의 기본 성질

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 5번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 3차 · 2011년 1차 · 2012년 2차 · 2017년 1차 · 2019년 2차

2 쉬운 설명

근궤적법은 폐루프 전달함수의 극의 위치를 개루프 전달함수 $G(s)H(s)$ 의 이득 상수 $K$ 의 함수로 나타내는 기법이다. 폐루프 전달함수 $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$ 의 극은 $1+G(s)H(s)=0$ 의 근이며, $K$ 를 0 에서 크게 키울 때 이 근들이 복소평면에서 움직이는 자취가 근궤적이다.

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이 장은 이득을 $K$ 로 쓴다(2011-03-20 시행 65번은 소문자 $k$ 로 쓰는 같은 양이며, 그 문항의 식은 원문 그대로 둔다). 근궤적은 $K=0$ 일 때 개루프 극점에서 출발해 $K\to\infty$ 일 때 개루프 영점 또는 무한원점으로 향한다. 특성방정식 $(s+1)(s+2)(s+3)+k(s+4)=0$ 에서 $k=0$ 이면 $k(s+4)$ 항이 사라져 $(s+1)(s+2)(s+3)=0$ 이 남으므로 $s=-1,-2,-3$ 이 $k=0$ 인 점이다. $s=-4$ 는 $k$ 를 한없이 키울 때 근이 향해 가는 도착점이다.

실수축 위의 한 점이 근궤적에 속하는지는 그 점보다 오른쪽에 있는 극점과 영점의 개수를 합쳐 홀수인지로 가린다. 2010-07-25 시행 69번의 $G(s)H(s)=\frac{K(s+1)}{s(s+2)}$ 는 극점이 $0$ , $-2$ 이고 영점이 $-1$ 이다. 0보다 오른쪽은 0개(짝수), $-1$ ~0은 1개(홀수), $-2$ ~ $-1$ 은 2개(짝수), $-2$ 보다 왼쪽은 3개(홀수)이므로 $-1$ ~0 구간과 $-2$ 의 왼쪽이 근궤적이다.

근궤적이 $s$ 평면의 허수축( $j\omega$ 축)과 교차하면 폐루프 극이 허수축 위에 있어, 응답이 줄지도 커지지도 않고 일정한 진폭으로 진동하는 임계상태이다. 극이 왼쪽 반평면에 있으면 안정이고 오른쪽 반평면으로 넘어가야 불안정이므로, 허수축 위는 불안정이 아니라 그 경계이다. 허수축과 만나는 점의 이득이 임계 이득이며, 이득을 그보다 작게 하면 안정하고 크게 하면 불안정해진다.

단위 궤환계의 개루프 전달함수 $G(s)=\frac{K}{s(s+2)}$ 에서 $K$ 가 변할 때 특성방정식은 $s^{2}+2s+K=0$ 이고 근은 $s=-1\pm\sqrt{1-K}$ 이다. $K<0$ 이면 근은 모두 실근이고, $K=0$ 이면 $s=0,\,-2$ 로 $G(s)$ 의 극점과 같다. $0<K<1$ 이면 두 근 모두 음의 실근이고, $K=1$ 이면 $s=-1$ 의 중근이며, $K>1$ 이면 $s=-1\pm j\sqrt{K-1}$ 인 복소 켤레근이다. 이 켤레근의 실수부는 $-1$ 이고 중근이 아니다.

문제가 $K$ 에 따라 극의 위치가 움직이는 자취를 그리는 방법을 물으면 근궤적법이다. 보드 선도법·나이퀴스트 판정법·주파수 응답법은 주파수에 따른 응답을 이용하는 방법이라 극의 자취를 그리지 않으므로, 극의 위치를 $K$ 의 함수로 나타내는 기법을 묻는 문제의 답이 될 수 없다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 근궤적

K=0

인 점 = 개루프 극점(

K

가 곱해지지 않은 인수들의 근). 실수축에서는 오른쪽 극점·영점 개수가 홀수인 구간이 근궤적.

암기팁 근궤적 ∩

j\omega

축 = 임계상태(안정도 한계).

함정 주의 허수축 위는 불안정이 아니라 안정과 불안정의 경계이다.

s=-4

처럼

K

가 곱해진 쪽 인수의 근은

K=0

인 점이 아니다.

근궤적에서 $K=0$ 인 점은 개루프 극점이다. 특성방정식에서 $K$ 가 곱해진 항을 없앤 식의 근을 구한다. $K$ 가 곱해진 $(s+4)$ 의 근 $s=-4$ 는 $K$ 를 키울 때 향하는 도착점이지 $K=0$ 인 점이 아니다. 인수의 부호를 반대로 읽은 $s=1,2,3$ 이나 $s=4$ 도 $K=0$ 인 점이 아니다.
실수축 위 근궤적: 극점과 영점의 위치로 구간을 나눠 구간마다 오른쪽의 극점·영점 개수를 센다. 합이 홀수인 구간이 근궤적이고 짝수인 구간은 빠진다.
2010-07-25 시행 69번의 정답은 원점에서 $-1$ 사이와 $-2$ 에서 $-\infty$ 사이이다. 원점과 $-2$ 사이를 고른 보기는 $-2$ ~ $-1$ 구간(오른쪽 2개, 짝수)까지 통째로 포함해 틀리고, $-2$ 와 $+\infty$ 사이를 고른 보기는 0보다 큰 구간(오른쪽 0개, 짝수)을 포함해 틀린다. 원점에서 $+2$ 사이는 오른쪽에 극점·영점이 없는 구간(0개, 짝수)이라 근궤적에 속하지 않는다.

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근궤적이 허수축과 교차할 때 폐루프 제어계는 임계상태이다. 안정하다고 할 수 없는 이유는 극이 허수축 위에 있으면 응답이 시간이 지나도 사라지지 않기 때문이다. 불안정은 극이 오른쪽 반평면으로 넘어가야 하고, 교차하는 이득에서는 극의 위치가 허수축 위로 정해지므로 알 수 없는 것도 아니다.
극의 위치를 $K$ 의 함수로 나타내는 기법은 근궤적법이고, 보드 선도법·나이퀴스트 판정법은 주파수에 따른 응답을 이용한다.
$s^{2}+2s+K=0$ 에서 $K<1$ 이면 실근, $K=1$ 이면 중근 $-1$ , $K>1$ 이면 복소 켤레근이다. 그래서 $K>1$ 에서 두 근이 음의 실수부 중근이라는 서술은 틀리다(2019-04-27 시행 70번).

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2010년 3차 회로이론 및 제어공학 69번 — 실수축 위 근궤적의 범위개루프 전달함수 G(s)H(s)=(K(S＋1))/(S(S＋2))일 경우, 실수축상의 근 궤적의 범위는?계산해설 보기 →2011년 1차 회로이론 및 제어공학 65번 — 이득이 0 일 때 근궤적의 점특성 방정식(s+1)(s+2)(s+3)+k(s+4)=0의 완전 근궤적상 k=0인 점은?계산해설 보기 →2017년 1차 회로이론 및 제어공학 67번 — 허수축 교차 시 제어계 상태근궤적이 s평면의 jw축과 교차할 때 폐루프의 제어계는?옳은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 5개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

근궤적법

폐루프 극은

1+G(s)H(s)=0

의 근이며, 이득

K

에 따른 극의 이동을 그린 것이 근궤적이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 6문항 중 2문항이 인용

2차 특성방정식의 근

s^{2}+2s+K=0

의 근은

s=-1\pm\sqrt{1-K}

이며

K<1

이면 실근,

K=1

이면 중근,

K>1

이면 복소 켤레근이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 6문항 중 1문항이 인용

근궤적과 안정도

근궤적이 허수축과 교차하는 이득에서 계는 임계 안정이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 6문항 중 1문항이 인용

근궤적법의 출발점과 종착점

근궤적은 언제나 k=0에서 개루프 극점에서 출발해 k→∞에서 개루프 영점 또는 무한원점으로 향한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 6문항 중 1문항이 인용

근궤적의 실수축 구간 규칙

실수축 위의 점이 근궤적에 속하려면 그 점보다 오른쪽에 있는 극과 영점의 개수 합이 홀수여야 한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 6문항 중 1문항이 인용

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