푸아송·라플라스 방정식

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 6번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2014년 2차 · 2015년 2차 · 2016년 2차 · 2017년 2차 · 2017년 3차 · 2020년 1차

2 쉬운 설명

전위 $V$ 가 공간에서 휘어진 정도 $\nabla^{2}V$ 는 그 자리의 전하밀도 $\rho$ 와 연결되고, 이 관계가 푸아송 방정식 $\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon}$ 이다( $\varepsilon$ 은 유전율). 전하가 없는 곳은 $\rho=0$ 이므로 $\nabla^{2}V=0$ 이 되고, 이것이 라플라스 방정식이다. $\nabla^{2}$ 은 $x,\ y,\ z$ 로 두 번씩 미분해 더하는 연산(라플라시안)이다.

4문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

푸아송 방정식은 세 식을 차례로 이어서 얻는다. 가우스 정리의 미분형 $\mathrm{div}D=\rho_{v}$ ( $\rho_{v}$ 는 체적전하밀도로 앞의 $\rho$ 와 같은 양이다)에 $D=\varepsilon E$ 를 넣으면 $\varepsilon\,\mathrm{div}E=\rho_{v}$ 이고, 여기에 $E=-\mathrm{grad}V$ 를 넣으면 $-\varepsilon\,\mathrm{div}(\mathrm{grad}V)=\rho_{v}$ 이다. $\mathrm{div}(\mathrm{grad}V)=\nabla^{2}V$ 이므로 $\nabla^{2}V=-\frac{\rho_{v}}{\varepsilon}$ 이 되고, $\rho_{v}=0$ 이면 $\nabla^{2}V=0$ 이다. $\mathrm{rot}\,E=-\frac{\partial B}{\partial t}$ 는 자속이 변할 때의 전계를 다루는 식이라 이 유도에 들어가지 않는다.

식의 모양은 $\rho$ 가 위, $\varepsilon$ 이 아래, 앞에 마이너스이다. $\rho$ 와 $\varepsilon$ 의 자리가 바뀌거나 $-$ 부호가 빠지면 틀린 식이다. 같이 나오는 발산의 정리 $\int_{S}E\cdot dS=\int_{v}\mathrm{div}\,E\,dv$ , 가우스의 정리 $\mathrm{div}\,D=\rho$ , 라플라스 방정식 $\nabla^{2}V=0$ 은 모두 맞는 식이다.

라플라스 방정식은 선형 방정식이다. $V$ 가 일차로만 들어 있어서 두 해를 더한 것도 해가 된다(중첩의 원리). 그리고 전극이나 도체의 모양에 관계없이 체적전하밀도가 0 인 모든 점에서 $\nabla^{2}V=0$ 이 성립한다. 도체 표면은 등전위면이라 그곳의 전계는 표면에 수직(법선 방향)이다.

전위가 식으로 주어졌을 때 전하밀도는 $\rho=-\varepsilon\nabla^{2}V$ 로 구한다. 먼저 이차 편미분을 더해 $\nabla^{2}V$ 를 만들고( $V$ 에 $z$ 가 없으면 $z$ 방향 미분은 0), 점의 좌표를 넣은 뒤 $\varepsilon$ 을 곱하고 부호를 바꾼다. 유전율은 $\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{s}$ 이므로 비유전율이 2 이면 $\varepsilon=2\varepsilon_{0}$ 이다. $V=\frac{1}{x}+2xy^{2}$ 이면 $\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}=\frac{2}{x^{3}}$ , $\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=4x$ 이고, $x=\frac{1}{2}$ 에서 $\nabla^{2}V=\frac{2}{(1/2)^{3}}+4\times\frac{1}{2}=16+2=18$ 이다. 따라서 $\rho=-\varepsilon\nabla^{2}V=-2\times8.855\times10^{-12}\times18$ 이고 $\rho\approx-3.19\times10^{-10}\,\mathrm{C/m^{3}}=-319\,\mathrm{pC/m^{3}}$ 이므로 보기 중 $-320$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 푸아송

\displaystyle \nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon}

, 라플라스

\nabla^{2}V=0

—

\rho

가 위,

\varepsilon

이 아래.

암기팁

\rho=-\varepsilon\nabla^{2}V

— 이차 편미분을 더하고

\varepsilon

를 곱한 뒤 부호를 바꾼다.

함정 주의 푸아송은 전하가 있을 때, 라플라스는 전하가 없을 때이며 둘 다 선형 방정식이다. 정전계 해석에서 틀린 것은 「비선형」이라고 한 보기이고, 유도에 관련이 없는 식은

\displaystyle \mathrm{rot}\,E=-\frac{\partial B}{\partial t}

이다.

푸아송 방정식은 $\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon}$ 이다. $\rho$ 와 $\varepsilon$ 의 자리가 바뀐 식( $\frac{\varepsilon}{\rho}$ 꼴)이나 $-$ 부호가 없는 식이 「틀린 식」으로 나온다.
라플라스 방정식은 선형이다. 「비선형 방정식이다」는 틀린 설명이다. 이 방정식은 전극이나 도체의 형태에 관계없이 체적전하밀도가 0 인 모든 점에서 $\nabla^{2}V=0$ 이 성립한다.
푸아송 방정식은 가우스 정리의 미분형에서 얻는다(옳은 설명). 도체 표면은 등전위면이라 전계는 표면에 대해 법선 방향이다(옳은 설명). 정전계 해석에서 「틀린 것」은 비선형이라고 한 보기이다.

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푸아송·라플라스 방정식을 유도할 때 쓰는 식은 $\mathrm{div}D=\rho_{v}$ , $D=\varepsilon E$ , $E=-\mathrm{grad}V$ 셋이다( $\rho_{v}$ 는 $\rho$ 와 같은 체적전하밀도). $\mathrm{rot}\,E$ 식은 관련이 없다.
전하밀도 계산: $\rho=-\varepsilon\nabla^{2}V$ . 이차 편미분을 더하고, 비유전율이 주어지면 $\varepsilon_{0}$ 에 곱해 $\varepsilon$ 을 만든 뒤, 부호를 바꾼다. 계산값이 $-319$ 이면 $-20$ , $-40$ , $-160$ 은 절댓값이 작아 답이 아니다.
발산의 정리 $\int_{S}E\cdot dS=\int_{v}\mathrm{div}\,E\,dv$ , 가우스의 정리 $\mathrm{div}\,D=\rho$ , 라플라스 방정식 $\nabla^{2}V=0$ 은 맞는 식이므로 이 셋과 비교해 틀린 하나를 고른다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2015년 2차 전기자기학 7번 — 식이 틀린 것 고르기다음 중 식이 틀린 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →2017년 2차 전기자기학 5번 — 전위로 전하밀도 구하기어떤 공간의 비유전율은 2이고, 전위 [그림10]이라고 할 때 점 (1/2,2)에서의 전하밀도 p는 약 몇 pC/

m^{3}

인가?계산해설 보기 →2020년 1차 전기자기학 6번 — 정전계 해석의 틀린 설명정전계 해석에 관한 설명으로 틀린 것은?옳지 않은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 6개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

푸아송 방정식

전하가 분포한 공간에서

\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon}

가 성립한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 2문항이 인용

정전계의 푸아송·라플라스 방정식

\nabla^{2}V=-\frac{\rho_{v}}{\varepsilon}

이며

\rho_{v}=0

인 곳에서

\nabla^{2}V=0

이다. 두 식은 선형이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

포아송 방정식과 라플라스 방정식

\mathrm{div}\,D=\rho

D=\varepsilon E

E=-\nabla V

에서

\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon}

이고

\rho=0

이면

\nabla^{2}V=0

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

푸아송 방정식과 라플라스 방정식

전위는

\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon}

를 따르고, 전하가 없으면

\nabla^{2}V=0

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

푸아송 방정식의 유도

\mathrm{div}D=\rho_{v}

D=\varepsilon E

E=-\mathrm{grad}V

를 결합해

\nabla^{2}V=-\frac{\rho_{v}}{\varepsilon}

를 얻는다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

푸아송·라플라스 방정식

가우스 정리의 미분형에서 푸아송 방정식

\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon}

를 얻고,

\rho=0

이면 선형인 라플라스 방정식

\nabla^{2}V=0

이 된다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 7문항 중 1문항이 인용

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