원형 코일의 자계(중심·축상)

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 7번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 3차 · 2011년 3차 · 2012년 3차 · 2013년 3차 · 2016년 3차 · 2017년 3차 · 2021년 1차

2 쉬운 설명

반지름 $a$ 인 원형 전류 $I$ 한 바퀴가 중심에 만드는 자계는 $\frac{I}{2a}$ 이다(단위 AT/m). 비오-사바르 법칙으로 전류의 작은 조각이 중심에 만드는 자계는 $dH=\frac{I\,dl}{4\pi a^{2}}$ 이다. 중심에서는 모든 조각이 같은 거리 $a$ 에 있고 자계의 방향도 같아 단순히 더해지므로, 원둘레 $2\pi a$ 를 곱하면 $\frac{I}{4\pi a^{2}}\times2\pi a=\frac{I}{2a}$ 가 된다.

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코일을 $N$ 번 감으면 같은 자계가 $N$ 번 겹쳐 $H=\frac{NI}{2a}$ 이다. 권수가 많을수록, 반지름이 작을수록 세고 감은 횟수에 비례한다. 권수를 구할 때는 $N=\frac{2aH}{I}$ 로 푼다. 지름이 주어지면 반지름은 지름의 절반이므로, 지름 10 cm 는 $a=0.05\,\mathrm{m}$ 로 바꿔 넣는다.

원 전체가 아니라 호의 일부만 전류가 흐르면, 모든 전류 요소가 중심에서 같은 거리에 있고 자계 방향도 같아 자계는 호의 길이에 비례한다. 반원은 원의 절반이므로 $\frac{I}{2a}\times\frac{1}{2}=\frac{I}{4a}$ 이다. 반대로 반원 두 개를 합치면 원이 되어 자계는 두 배인 $\frac{I}{2a}$ 가 된다.

코일면의 중심을 지나 면에 수직인 중심축 위의 한 점(중심에서 거리 $x$ )에서는 $H=\frac{a^{2}I}{2(a^{2}+x^{2})^{3/2}}$ 이다. 코일 가장자리에서 그 점까지의 거리 $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ 가 분모에 세제곱으로 들어가고, $x=0$ 이면 $\frac{I}{2a}$ 가 된다. 반지름 1 cm, 전류 10 A, $x$ 가 $\sqrt{3}$ cm 이면 $a=0.01\,\mathrm{m}$ , $x=\sqrt{3}\times0.01\,\mathrm{m}$ 이고 $a^{2}+x^{2}=4\times10^{-4}\,\mathrm{m^{2}}$ 이므로 $\sqrt{a^{2}+x^{2}}=0.02\,\mathrm{m}$ 이다. $(a^{2}+x^{2})^{3/2}=8\times10^{-6}\,\mathrm{m^{3}}$ 을 넣으면 $H=\frac{10^{-4}\times10}{2\times8\times10^{-6}}=\frac{10^{-3}}{16\times10^{-6}}=\frac{1}{16}\times10^{3}\,\mathrm{AT/m}$ 이다.

전류가 같은 방향으로 도는 고리나 코일이 여러 개이면 중심(축 위)의 자계는 더해진다. 두 자계의 크기와 방향이 같으면 합은 정확히 두 배이다. 같은 고리 두 개가 원점에서 같은 거리 $z$ (앞 문단의 $x$ 와 같은 축 위 거리)에 위아래로 놓여 전류 방향이 같으면 합이 정확히 두 배가 되어 분모의 2가 사라지고, $H=\frac{a^{2}I}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\cdot a_{z}$ 이다. 방향은 고리를 따라 도는 $a_{\varphi}$ 가 아니라 축 방향 $a_{z}$ 이다.

같은 길이 $l$ 의 도선을 $n$ 번 감을 때 코일 반지름을 $r$ (앞 문단들의 $a$ 와 같은 양)로 쓰면 한 바퀴 길이가 $2\pi r$ 이므로 $l=n\times2\pi r$ , 곧 $r=\frac{l}{2\pi n}$ 이다. 이것을 $H=\frac{nI}{2r}$ 에 넣으면 $H=\frac{\pi n^{2}I}{l}$ 이다. 많이 감을수록 권수가 늘고 반지름도 줄어 두 곳에서 모두 자계가 커지므로, 도선 길이가 일정하면 중심 자계는 권수의 제곱에 비례한다. 그래서 $M$ 회 코일은 $N$ 회 코일의 $\frac{M^{2}}{N^{2}}$ 배이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 원형 코일 중심

\displaystyle H=\frac{NI}{2a}

— 지름이 주어지면 반지름으로 바꿔 넣는다.

암기팁 원형 전류 중심

\displaystyle \frac{I}{2a}

— 반원은 절반인

\displaystyle \frac{I}{4a}

. 축 위 자계는

x=0

이면

\displaystyle \frac{I}{2a}

로 돌아온다.

함정 주의 도선 길이가 일정하면 중심 자계는 권수의 제곱에 비례한다(

\displaystyle H=\frac{\pi n^{2}I}{l}

). 권수 효과와 반지름 효과가 겹치므로

M

이 아니라

M^{2}

이다.

원형 코일 중심의 자계는 $H=\frac{NI}{2a}$ 이다( $a$ 는 반지름). 지름이 주어지면 반지름으로 바꾸고 cm 는 m 로 바꿔 넣는다. 권수는 자계에 비례하므로 필요한 횟수의 절반·1.5배·2배만 감으면 자계도 그만큼 달라진다.
반원 전류의 중심 자계는 원 전체 $\frac{I}{2a}$ 의 절반인 $\frac{I}{4a}$ 이다. $\frac{I}{2a}$ 는 원 한 바퀴 값이고, $\frac{I}{a}$ 나 $\frac{2I}{a}$ 는 원 전체 값보다도 커서 반원의 값이 될 수 없다.
중심축 위 자계는 $H=\frac{a^{2}I}{2(a^{2}+x^{2})^{3/2}}$ 이고 $x=0$ 이면 $\frac{I}{2a}$ 이다. 방향은 축 방향이며 멀어질수록 약해진다.

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축 위 문제에서는 단위를 m 로 맞춘 뒤 $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ 를 먼저 구한다. 반지름 1 cm, $x$ 가 $\sqrt{3}$ cm 이면 이 거리는 2 cm 이고 $a^{2}+x^{2}=4a^{2}$ 이므로 $(a^{2}+x^{2})^{3/2}=8a^{3}$ 이다. 이 경우 $H=\frac{I}{16a}$ 로 간단해지고 10 A 일 때 $\frac{1}{16}\times10^{3}\,\mathrm{AT/m}$ 이다.
같은 고리 두 개가 원점에서 같은 거리에 있고 전류 방향이 같으면 원점의 합은 고리 하나의 정확히 2배이다. 이때 방향은 $a_{\varphi}$ 가 아니라 $a_{z}$ 이다.
두 동심 코일의 전류 방향이 같으면 중심 자계는 더해진다. 권수 1회·반지름 1 m 인 $A$ 는 $H_{A}=\frac{I_{A}}{2}$ , 권수 2회·반지름 2 m 인 $B$ 는 $H_{B}=\frac{I_{B}}{2}$ 이다. 합이 $A$ 만 있을 때의 2배가 되려면 $H_{B}=H_{A}$ 이고 전류비는 1이다. 같은 길이의 도선을 감으면 중심 자계는 권수의 제곱에 비례한다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 3차 전기자기학 18번 — 원형 코일 중심 자계의 감은 횟수지름 10cm의 원형 코일에 1A의 전류를 흘릴 때, 코일 중심의 자계를 1000A/m로 하려면 코일을 몇 회 감으면 되는가?계산해설 보기 →2013년 3차 전기자기학 10번 — 반원형 전류의 중심 자계반지름 a[m]인 반원형 전류 I[A]에 의한 중심에서의 자계의 세기는 몇 [AT/m] 인가?계산해설 보기 →2017년 3차 전기자기학 4번 — 원형 코일 중심축 위의 자계반지름 1cm인 원형코일에 전류 10A가 흐를 때, 코일의 중심에서 코일면에 수직으로 √3cm 떨어진 점의 자계의 세기는 몇 AT/m 인가?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 5개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

비오-사바르 법칙

반지름

a

인 원형 전류

I

의 중심 자계는

H=\frac{I}{2a}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 2문항이 인용

원형 코일의 중심 자계

권수

N

, 반지름

a

인 원형 코일에 전류

I

가 흐를 때 중심의 자계는

H=\frac{NI}{2a}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 2문항이 인용

비오·사바르 법칙

원형 전류의 중심 자계는

\frac{I}{2a}

이고 호의 길이에 비례하므로 반원은

\frac{I}{4a}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

원형 전류의 자계

반지름

a

, 권수

N

인 코일 중심의 자계는

H=\frac{NI}{2a}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

원형코일 축 위의 자계 — 비오(Biot)·사바르(Savart)

반지름

a

인 원형코일에 전류

I

가 흐를 때 중심축 위 거리

x

의 자계는

H=\frac{a^{2}I}{2(a^{2}+x^{2})^{3/2}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 8문항 중 1문항이 인용

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