유한 직선전류의 자계

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 7번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 3차 · 2012년 2차 · 2014년 3차 · 2016년 1차 · 2018년 1차 · 2021년 1차 · 2021년 2차

2 쉬운 설명

유한 직선전류는 양 끝이 있어 길이가 정해진 직선 모양의 전류이다. 이 전류가 가까운 점에 만드는 자계는 비오-사바르 법칙으로 구하며, 그 점에서 도선까지의 수직거리 $d$ (문항에 따라 $a$ 로도 적는다)와 도선 양 끝을 바라보는 각 $\theta_{1}$ , $\theta_{2}$ 로 $H=\frac{I}{4\pi d}(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2})$ 이다. 자계의 세기 $H$ 의 단위는 $\mathrm{A/m}$ (문항에 따라 $\mathrm{AT/m}$ 로도 적힌다)이다.

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여기서 $\theta$ 는 점에서 도선에 내린 수선과, 점에서 도선 끝으로 향한 선이 이루는 각이다. 각을 수선에서부터 잰다는 점이 핵심이다. 자속밀도 $B$ 로 구하면 $B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi d}(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2})$ 이고, 진공의 투자율 $\mu_{0}$ 는 $4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$ 이므로 $\frac{\mu_{0}}{4\pi}=10^{-7}$ 이 된다. 양 끝의 각이 90°이면 무한히 긴 도선의 자계가 된다.

정다각형 회로의 중심 자계는 한 변만 구해서 변의 수만큼 곱한다. 모든 변은 길이가 같고 중심에서 각 변까지의 거리도 같으며, 회로 안쪽(중심)에서는 모든 변이 만드는 자계가 면에 수직이고 같은 방향이라 크기를 그대로 더하기 때문이다. 순서는 (1) 중심에서 한 변까지의 수직거리 구하기, (2) 변의 양 끝 각 구하기, (3) 한 변의 자계 구하기, (4) 변의 수만큼 곱하기이다.

정사각형(한 변 $l$ , 문항에 따라 $s$ 로도 적는다)은 중심에서 한 변까지의 수직거리가 변의 절반 $\frac{l}{2}$ 이고, 양 끝의 각이 각각 $45^{\circ}$ 이다. $\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 가 두 번 들어가 합이 $\sqrt{2}$ 이므로 한 변의 자계는 $\frac{\sqrt{2}\cdot I}{2\pi l}$ 이고, 네 변을 더한 중심 자계는 $H=\frac{2\sqrt{2}I}{\pi l}$ 이다. 자속밀도로 쓰면 $B=\frac{2\sqrt{2}\cdot\mu_{0}I}{\pi l}$ 이다.

수치 문제는 먼저 한 변의 길이를 정한다. 총길이 8 m 도선으로 정사각형을 만들면 한 변은 2 m 이고 중심에서 한 변까지의 수직거리는 그 절반인 1 m 이다. 전류 $\pi\,\mathrm{A}$ 가 만드는 한 변의 자계는 $H_{1}=\frac{\pi}{4\pi\times1}\times\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\,[\mathrm{A/m}]$ 로 전류의 $\pi$ 와 식 안의 $\pi$ 가 약분되고, 이를 4배 하면 $\sqrt{2}\,[\mathrm{A/m}]$ 이다. 한 변이 10 cm(0.1 m)이고 전류가 10 A 이면 중심까지 0.05 m 이고, 한 변의 자계 $\frac{50\sqrt{2}}{\pi}$ 의 4배인 $\frac{200\sqrt{2}}{\pi}\,\mathrm{A/m}$ 이다. 한 변이 4 m, 전류 1 A 인 루프는 중심까지의 거리와 변의 반 길이가 모두 2 m 라 $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이고, 변 하나가 $0.707\times10^{-7}$ , 네 변의 합이 $2.83\times10^{-7}\,\mathrm{Wb/m^{2}}$ 이다.

다른 정다각형도 같은 순서이다. 정삼각형(한 변 $L$ )은 중심에서 한 변까지 $d=\frac{\sqrt{3}}{6}L$ , 양 끝의 각이 $60^{\circ}$ 이며, 한 변의 자계 $\frac{3I}{2\pi L}$ 의 3배인 $H=\frac{9I}{2\pi L}$ 이다. 정육각형(한 변 $l$ )은 $d=\frac{\sqrt{3}}{2}l$ , 양 끝의 각이 $30^{\circ}$ 이며, 한 변의 자계 $\frac{I}{2\sqrt{3}\pi l}$ 의 6배인 $H=\frac{\sqrt{3}I}{\pi l}$ 이다. 도형이 달라도 거리와 각만 바꾸면 된다.

3 이 개념이 나온 기출문제

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4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 정사각형 중심 자계

\displaystyle H=\frac{2\sqrt{2}I}{\pi l}

— 한 변 길이

l

만 구하면 바로 대입.

암기팁 정삼각형 중심

\displaystyle H=\frac{9I}{2\pi L}

은 한 변

\displaystyle \frac{3I}{2\pi L}

의 3배, 정육각형 중심

\displaystyle H=\frac{\sqrt{3}I}{\pi l}

은 한 변의 6배.

함정 주의 도선의 총길이를 한 변의 길이로 착각하지 말 것(총길이 ÷ 변의 수). 정사각형 루프에 원 모양 루프 공식

\displaystyle B=\frac{\mu_{0}I}{2a}

를 쓰는 것도 함정이다.

정다각형 중심의 자계 = (한 변의 자계) × (변의 수). 정삼각형 3, 정사각형 4, 정육각형 6이며 방향이 같아 그대로 더한다. 한 변만 구하고 멈추면 틀린다(8 m 도선 문제에서 한 변만 계산하면 $\frac{\sqrt{2}}{4}\,[\mathrm{A/m}]$ 로 정답의 $\frac{1}{4}$ 이다).
수직거리와 각은 도형마다 다르다. 정사각형은 $\frac{l}{2}$ · $45^{\circ}$ , 정삼각형은 $\frac{\sqrt{3}}{6}L$ · $60^{\circ}$ , 정육각형은 $\frac{\sqrt{3}}{2}l$ · $30^{\circ}$ . 각은 수선에서부터 잰다.
도선의 총길이만 주어지면 먼저 한 변을 구한다. 8 m 도선이면 한 변이 2 m 이다. 보기 ① $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 는 정답의 절반이라 계산과 맞지 않고, ③ $2\sqrt{2}$ 는 정답의 2배로 한 변의 길이를 절반(1 m)으로 잘못 쓰면 나올 수 있는 값이며, ④ $4\sqrt{2}$ 는 정답의 4배이다. 정답은 ② $\sqrt{2}\,[\mathrm{A/m}]$ .

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한 변 10 cm 는 0.1 m 로 바꾸고 중심까지의 거리는 그 절반 0.05 m 이다. 정답 ② $\frac{200\sqrt{2}}{\pi}$ 는 한 변의 자계 $\frac{50\sqrt{2}}{\pi}$ 에 4를 곱한 값이다. ① $\frac{100\sqrt{2}}{\pi}$ 는 정답의 절반, ③ $\frac{300\sqrt{2}}{\pi}$ 는 정답의 $\frac{3}{2}$ 배, ④ $\frac{400\sqrt{2}}{\pi}$ 는 정답의 2배라 모두 아니다.
한 변 4 m, 1 A 의 정사각형 루프 중심 자속밀도는 변 하나 $0.707\times10^{-7}$ 의 4배인 ① $2.83\times10^{-7}$ . ② $5.65\times10^{-7}$ 은 정답의 2배, ③ $11.31\times10^{-7}$ 은 정답의 4배(한 변이 $2.83\times10^{-7}$ 이어야 나오는 크기인데 한 변은 $0.707\times10^{-7}$ ), ④ $14.14\times10^{-7}$ 은 정답의 5배로 네 변의 합보다 훨씬 크다.
$H$ 와 $B$ 를 구분한다. $H=\frac{I}{4\pi d}(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2})$ , $B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi d}(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2})$ 이고 $\frac{\mu_{0}}{4\pi}=10^{-7}$ 이다. 정사각형 루프에 원 모양 루프의 공식 $B=\frac{\mu_{0}I}{2a}$ 를 쓰면 안 된다 — 서로 다른 공식이다.