평행 도선 사이의 힘

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 7번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 3차 · 2011년 2차 · 2012년 2차 · 2018년 2차 · 2019년 1차 · 2020년 2차 · 2020년 3차

2 쉬운 설명

전류가 흐르는 두 평행 도선은 서로 힘을 주고받는다. 한 도선의 전류가 둘레에 자계를 만들고, 이웃 도선의 전류가 그 자계 속에서 힘을 받기 때문이다. 단위 길이당 힘은 $F=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi d}$ 이다( $\mu_{0}$ 는 진공의 투자율, $d$ 는 도선 간격이며 문항에 따라 $r$ 로도 쓴다).

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힘의 방향은 전류의 방향으로 정해진다. 두 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당기고(흡인력), 반대 방향이면 서로 밀어낸다(반발력). 단상 선로는 가는 선과 오는 선 한 쌍(왕복 전선)이어서 전류가 반대 방향이므로 반발력이 되고, 왕복 전선에 흡인력이 작용한다는 설명은 틀리다.

식은 이렇게 얻는다. 도체 1 이 거리 $d$ 에 만드는 자계는 $H=\frac{I_{1}}{2\pi d}$ 이고 자속밀도는 $B=\mu_{0}H$ 이다. 도체 2 의 단위 길이가 받는 힘은 $F=BI_{2}=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi d}$ 이다. $\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$ 을 넣으면 $\pi$ 가 약분되어 $F=\frac{2\times10^{-7}I_{1}I_{2}}{d}$ 가 되고(단위 $\mathrm{N/m}$ ), 1 m 간격의 두 도체에 각각 $1\,\mathrm{A}$ 가 흐르면 $F=2\times10^{-7}\,\mathrm{N/m}$ 이다.

비례 관계를 정리하면 힘은 두 전류의 곱에 비례하고 거리에 반비례한다. 거리 $d$ 는 분모에 1 제곱으로 들어가므로 $d$ 에 비례하거나 $d^{2}$ 에 비례·반비례한다는 설명은 모두 틀리고, 거리가 2 배로 멀어지면 힘은 절반이 된다. 두 도선에 같은 크기 $I$ 가 흐르면 $F=\frac{\mu_{0}I^{2}}{2\pi d}$ 이므로 전류의 제곱에 비례한다. 힘은 투자율 $\mu_{0}$ 에 비례하며 반비례하지 않는다.

단상 선로의 계산은 전류와 간격만 쓴다. 간격 $1.5\,\mathrm{m}$ 로 평행한 무한히 긴 단상 송전선로에 $6600\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{A}$ 를 송전하면, 6600 V 는 식에 들어가지 않고 $F=2\times10^{-7}\times\frac{3\times3}{1.5}=1.2\times10^{-6}\,\mathrm{N/m}$ 이며 왕복 전선이라 전류 방향이 반대이므로 반발력이다.

힘이 주어지고 전류를 구하는 문제는 식을 거꾸로 푼다. 진공 중에서 $2\,\mathrm{m}$ 떨어진 두 무한 평행 도선에 단위 길이당 $10^{-7}\,\mathrm{N}$ 의 반발력이 작용하고 전류의 크기가 같다면, $10^{-7}=2\times 10^{-7}\times\frac{I^{2}}{2}$ 에서 $I^{2}=1$ 이므로 $I=1\,\mathrm{A}$ 이고, 반발력이므로 전류는 서로 반대 방향이다. 선간거리 $1\,\mathrm{m}$ 의 평행 왕복 도선에 $4\times10^{-7}\,\mathrm{N/m}$ 의 힘이 작용하는 경우는 $I^{2}=\frac{1\times4\times10^{-7}}{2\times10^{-7}}=2$ 이므로 $I=\sqrt{2}\,\mathrm{A}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

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4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 평행 전선 사이 힘

\displaystyle F=2\times10^{-7}\times\frac{I_{1}I_{2}}{d}\,\mathrm{N/m}

— 왕복선(전류 반대)은 반발력, 같은 방향이면 흡인력.

암기팁 평행도선의 힘

\displaystyle F=\frac{\mu_{0}I^{2}}{2\pi d}

→

\displaystyle I=\sqrt{\frac{2\pi dF}{\mu_{0}}}

— 거리는 1 제곱 반비례, 전류는 곱(같으면 제곱)에 비례.

함정 주의 송전 전압(6600 V)은 식에 들어가지 않는다. 힘은 전압이 아니라 두 전류와 간격으로 정해지며, 반발력·흡인력은 전류 방향(반대·같음)으로 결정된다.

평행 도선 사이의 단위 길이당 힘은 $F=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi d}=\frac{2\times10^{-7}I_{1}I_{2}}{d}\,\mathrm{N/m}$ 이다. 4 개 보기가 $2$ 나 $4$ 와 $\pi$ 의 유무만 다르면 $\pi$ 가 약분되어 사라진다는 점을 쓴다(1 m 간격, 각각 1 A 이면 $2\times10^{-7}$ ).
같은 방향의 전류는 끌어당기고(흡인력), 반대 방향의 전류는 밀어낸다(반발력). 왕복(단상) 선로는 반발력이다. 반발력이라는 조건이 주어지면 전류 방향은 반대이다.
힘은 거리에 1 제곱 반비례하고( $d$ 에 비례, $d^{2}$ 에 비례·반비례는 모두 틀림), 두 전류의 곱에 비례한다. 같은 크기의 왕복 전류이면 전류의 제곱에 비례하고 투자율에 비례(반비례 아님)하며, 흡인력이 아니라 반발력이다.

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단상 선로 문제의 전압(6600 V)은 식에 들어가지 않는다. 3 A·1.5 m 이면 1 m 당 $1.2\times10^{-6}\,\mathrm{N}$ , 반발력이다. $1.2\times10^{-3}\,\mathrm{N}$ 은 정답보다 1000 배 크고, 「흡인력」이라 한 보기는 방향이 틀리며, $6.28\times10^{-7}\,\mathrm{N}$ 은 방향은 맞지만 크기가 다르다.
역산형: 같은 크기의 전류가 흐르는 두 도선이 2 m 떨어져 단위 길이당 $10^{-7}\,\mathrm{N}$ 의 반발력이면 $1\,\mathrm{A}$ , 반대 방향이다. 「2 A」나 「같은 방향」이 들어간 보기는 틀리다(같은 방향이면 끌어당긴다). 식을 $I=\sqrt{\frac{2\pi dF}{\mu_{0}}}$ 로 바꿔 쓸 수도 있다.
같은 방향으로 각각 $10\,\mathrm{A}$ 가 흐르는 평행 도체가 $0.2\,\mathrm{m}$ 떨어져 있으면 $F=\frac{2\times10^{-7}\times10\times10}{0.2}=10^{-4}\,\mathrm{N/m}$ 이고 서로 끌어당긴다. 그림 문항에서 두 도체가 $x$ 축 위의 $-0.10$ 과 $0.10$ 에 있으면 오른쪽 도체는 $-a_{x}$ 쪽으로 끌려간다.