합성 인덕턴스(가동·차동 접속)

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 8번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2012년 3차 · 2017년 2차 · 2019년 2차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

인덕턴스에는 두 종류가 있다. 코일 하나가 자기 자신의 전류로 만든 자속을 스스로 받는 정도가 자기 인덕턴스 $L$ 이고 $L=\frac{N\phi}{I}$ 이다. 서로 다른 두 코일 사이의 관계, 곧 한 코일의 전류 변화가 다른 코일에 유도전압을 일으키는 정도가 상호 인덕턴스 $M$ 이다. 둘 다 단위는 H(헨리)이며, $M$ 은 두 코일을 감은 방향에 따라 정(+)도 부(−)도 될 수 있다.

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자기 인덕턴스의 성질을 묻는 문항의 답은 항상 정(+)이다. 코일에 전류를 흘리면 그 전류가 만드는 자속이 코일과 얽히는 방향이라 $N\phi$ 와 $I$ 의 부호가 같기 때문이다. 「항상 부(−)」는 정의와 반대이고, 「항상 0」은 코일에 전류가 흘러도 자속이 전혀 생기지 않아야 하는데 일반적인 코일은 그렇지 않다. 「유도되는 기전력에 따라 정도 되고 부도 된다」는 상호 인덕턴스와 헷갈린 보기이다. 기전력의 방향이 바뀌는 것은 전류가 늘거나 줄어드는 방향이 바뀌었기 때문이며, $e=-L\frac{dI}{dt}$ 에서 부호를 정하는 것은 $\frac{dI}{dt}$ 이지 $L$ 이 아니다.

두 코일 $C_{1}$ , $C_{2}$ 를 직렬로 이은 합성인덕턴스는 $L=L_{C1}+L_{C2}\pm2M$ 이다(보강 $+$ , 상쇄 $-$ ). 두 코일의 자속이 같은 방향으로 더해지는 보강 접속은 $L_{1}=L_{C1}+L_{C2}+2M$ 으로 합성값이 커지고, 자속이 서로 반대로 작용하는 상쇄 접속은 $L_{2}=L_{C1}+L_{C2}-2M$ 으로 작아진다. 그래서 $L_{1}>L_{2}$ 이고, 두 식을 빼면 $L_{1}-L_{2}=4M$ 이므로 $|M|=\frac{L_{1}-L_{2}}{4}$ 이다.

같은 환상철심(도넛 모양 철심)에 두 코일을 감고 누설자속이 0 이면 자속이 새지 않아, 자기 인덕턴스는 $L=\frac{N^{2}}{R_{m}}$ , 상호 인덕턴스는 $M=\frac{N_{1}N_{2}}{R_{m}}$ 이다. $R_{m}$ 은 자속이 흐르기 어려운 정도인 자기저항이고, A코일의 권수가 $N_{1}$ , B코일의 권수가 $N_{2}$ 이다. A코일 100회, B코일 400회, A코일의 자기 인덕턴스가 4 H 인 문항의 풀이 순서는 이렇다. 1단계 $4=\frac{100^{2}}{R_{m}}$ 이므로 $\frac{1}{R_{m}}=\frac{4}{10000}=0.0004$ . 2단계 $M=\frac{N_{1}N_{2}}{R_{m}}$ . 3단계 $M=100\times400\times0.0004$ . 4단계 $100\times400=40000$ , $40000\times0.0004=16$ , 곧 $M=16\,\mathrm{H}$ 이며 이는 $L_{A}=4\,\mathrm{H}$ 에 권수비 $\frac{400}{100}=4$ 를 곱한 값과 같다. 4 H 는 A코일 자체의 자기 인덕턴스 값일 뿐이고, 8 H 는 권수비 2, 12 H 는 3 을 곱한 값으로 실제 권수비 4 와 맞지 않는다.

두 코일이 자기적으로 얼마나 단단히 이어졌는지는 결합계수 $k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}$ 로 나타내며( $L_{1}$ , $L_{2}$ 는 두 코일 각각의 자기 인덕턴스로, 직렬 접속 문단의 $L_{1}$ , $L_{2}$ (합성값)와 다른 양이다) 값은 0 과 1 사이이다. 자속이 하나도 새지 않으면 $M$ 이 최댓값 $\sqrt{L_{1}L_{2}}$ 가 되어 $k=1$ 이고, 코일이 멀리 떨어져 서로 자속을 거의 나누지 못하면 $k$ 는 0 에 가까워진다. 완전결합( $k=1$ )에서는 철심의 퍼미언스 $\Lambda$ (철심이 자속을 얼마나 잘 통하는지)를 쓰면 $M=N_{A}N_{B}\Lambda$ , $L_{A}=N_{A}^{2}\Lambda$ 이고 두 식을 나누면 $\frac{M}{L_{A}}=\frac{N_{B}}{N_{A}}$ 이다. 권수 1000회인 A코일의 자기 인덕턴스가 100 mH, 상호 인덕턴스가 20 mH 이면 $\frac{20\,\mathrm{mH}}{100\,\mathrm{mH}}=0.2$ 이고 $N_{B}=1000\times0.2=200$ 회이다.

인덕턴스 H 의 단위는 정의식을 바꿔 읽으면 여러 모양이 된다. $V=L\frac{dI}{dt}$ 에서 $L$ 의 단위는 $\mathrm{V\cdot s/A}$ , 곧 $\mathrm{\Omega\cdot s}$ 이다. $L=\frac{\Phi}{I}$ ( $\Phi$ 는 자속, 단위 Wb)에서는 $\mathrm{Wb/A}$ , $W=\frac{1}{2}LI^{2}$ 에서는 $\mathrm{J/A^{2}}$ 이다. 반면 $F=BIl$ 에서 $B=\frac{F}{Il}$ 이므로 $\mathrm{N/(A\cdot m)}$ 는 인덕턴스가 아니라 자속밀도 $B$ 의 단위이다( $\mathrm{T}=\mathrm{Wb/m^{2}}=\mathrm{N/(A\cdot m)}$ ).

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 자기 인덕턴스

\displaystyle L=\frac{N\phi}{I}

는 항상 +, 감은 방향에 따라 부호가 바뀌는 것은 상호 인덕턴스

M

만이다.

암기팁

L_{1}-L_{2}=4M

→

\displaystyle |M|=\frac{L_{1}-L_{2}}{4}

(보강

L_{1}

이 크다).

함정 주의 누설자속 0 인 환상철심에서 상호 인덕턴스는 A코일의 자기 인덕턴스 값(4 H)을 그대로 쓰거나 권수비를 잘못 잡은 값(8 H, 12 H)이 아니다. 권수비는

\displaystyle \frac{400}{100}=4

이다.

자기 인덕턴스 $L=\frac{N\phi}{I}$ 는 항상 양(+)이다. 「항상 0」「항상 음」「기전력에 따라 정도 부도 된다」는 모두 틀리고, 감은 방향에 따라 부호가 바뀔 수 있는 것은 상호 인덕턴스 $M$ 이다.
직렬 접속: 보강 $L_{1}=L_{C1}+L_{C2}+2M$ , 상쇄 $L_{2}=L_{C1}+L_{C2}-2M$ . 보강 쪽 $L_{1}$ 이 더 크고 $L_{1}-L_{2}=4M$ , $|M|=\frac{L_{1}-L_{2}}{4}$ .
두 회로 사이의 상호 인덕턴스를 구하는 방법은 노이만의 법칙 $M=\frac{\mu}{4\pi}\oint\oint\frac{d\vec{l}_{1}\cdot d\vec{l}_{2}}{r}$ (두 회로의 도선 모양과 거리). 가우스의 법칙(전하와 전기력선)·플레밍의 오른손 법칙(유도기전력의 방향)·스테판-볼츠만의 법칙(열복사)은 아니다.

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누설자속 0 인 환상철심에서 $L=\frac{N^{2}}{R_{m}}$ , $M=\frac{N_{1}N_{2}}{R_{m}}$ 이므로 $M=L_{A}\times\left(\frac{N_{2}}{N_{1}}\right)$ . A코일 100회·B코일 400회· $L_{A}=4\,\mathrm{H}$ 이면 권수비 4 를 곱한 16 H.
결합계수 $k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}$ (여기의 $L_{1}$ , $L_{2}$ 는 두 코일 각각의 자기 인덕턴스 — 직렬 접속 항목의 합성값 $L_{1}$ , $L_{2}$ 와 다르다) 는 0 과 1 사이이고, 자속이 새지 않으면 $k=1$ . 완전결합이면 $\frac{M}{L_{A}}=\frac{N_{B}}{N_{A}}$ (권수 1000회, 100 mH, 20 mH 이면 $N_{B}=200$ 회).
인덕턴스 H 의 단위는 $\mathrm{\Omega\cdot s}$ , $\mathrm{Wb/A}$ , $\mathrm{J/A^{2}}$ . $\mathrm{N/(A\cdot m)}$ 는 자속밀도의 단위라 틀린 쪽이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2010년 1차 전기자기학 13번 — 자기 인덕턴스의 부호 성질자기 인덕턴스의 성질을 옳게 표현한 것은?옳은 것 고르기해설 보기 →2019년 2차 전기자기학 9번 — 자기 인덕턴스의 부호 성질자기인덕턴스의 성질을 옳게 표현한 것은?옳은 것 고르기해설 보기 →2022년 2차 전기자기학 7번 — 환상철심 두 코일의 상호 인덕턴스단면적이 균일한 환상철심에 권수 100회인 A코일과 권수 400회인 B코일이 있을 때 A코일의 자기 인덕턴스가 4H라면 두 코일의 상호 인덕턴스는 몇 H 인가? (단, 누설자속은 0 이다)계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 6개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

자기 인덕턴스의 정의

자기 인덕턴스는 코일 자신의 전류와 자속쇄교수의 비로 정의되어 항상 양(+)의 값을 가진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 9문항 중 2문항이 인용

노이만의 법칙

두 회로 사이의 상호 인덕턴스는

M=\frac{\mu}{4\pi}\oint\oint\frac{d\vec{l}_{1}\cdot d\vec{l}_{2}}{r}

로 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 9문항 중 1문항이 인용

완전결합 시 인덕턴스-권수 관계

k=1일 때 M=

N_{A}

N_{B}

Λ, L=N²Λ가 성립해 M/

L_{A}

N_{B}

N_{A}

의 비례식을 얻는다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 9문항 중 1문항이 인용

인덕턴스의 여러 단위 표현

V=L(dI/dt), L=Φ/I, W=(1/2)LI² 세 식에서 인덕턴스의 단위를 각각 유도하면 서로 같은 값(Ω·s=Wb/A=J/A²)임을 확인할 수 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 9문항 중 1문항이 인용

직렬 접속의 합성인덕턴스와 상호인덕턴스

직렬 접속의 합성인덕턴스는

L=L_{C1}+L_{C2}\pm2M

이다(보강

+

, 상쇄

-

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 9문항 중 1문항이 인용

환상철심에서의 자기 인덕턴스와 상호 인덕턴스

누설자속이 없는 환상철심에서 L=N²/

R_{m}

, M=N₁N₂/

R_{m}

이 성립해, M=

L_{A}

×(N₂/N₁)로 구할 수 있다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 9문항 중 1문항이 인용

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