파동임피던스

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 13번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 2차 · 2010년 3차 · 2012년 1차 · 2012년 3차 · 2014년 1차 · 2014년 2차 · 2014년 3차 · 2015년 2차 · 2015년 3차 · 2018년 2차 · 2019년 1차 · 2021년 1차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

파동임피던스(고유임피던스) $\eta$ 는 매질 속을 지나는 전자파에서 전계와 자계 크기의 비 $\frac{E}{H}$ 이다. 단위는 저항과 같은 Ω 이고, 투자율 $\mu$ , 유전율 $\varepsilon$ 인 매질에서 $\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$ 이다. 진공(투자율 $\mu_{0}$ , 유전율 $\varepsilon_{0}$ )에서는 $\eta_{0}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}=120\pi\approx377\,\Omega$ 이다. 두 매질의 경계에서 반사를 다루는 문항에서는 같은 전계와 자계의 비를 특성 임피던스 $n$ 이라 쓴다.

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매질에서는 $\mu=\mu_{0}\mu_{r}$ , $\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ 을 넣어 $\eta=\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}$ 가 된다( $\eta_{0}$ 는 진공의 값 약 $377\,\Omega$ ). $\varepsilon_{r}$ 은 분모에 있어 클수록 $\eta$ 가 작아지고, $\mu_{r}$ 은 분자에 있어 클수록 $\eta$ 가 커진다. $\mu_{r}=1$ 이면 $377\,\Omega$ 를 $\sqrt{\varepsilon_{r}}$ 로 나눈 값이다. 비유전율과 비투자율은 문항에 따라 $\varepsilon_{s}$ , $\mu_{s}$ 또는 $\varepsilon_{r}$ , $\mu_{r}$ 로 쓰지만 같은 양이며, 이 장에서는 $\varepsilon_{r}$ , $\mu_{r}$ 로 쓴다.

고유임피던스 계산은 공식에 숫자를 넣어 진공값을 나누는 순서이다. 비유전율 80, 비투자율 1 인 순수한 물에서는 1단계 공식 $\eta=\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}$ , 2단계 숫자 대입 $\eta=377\times\sqrt{\frac{1}{80}}$ , 3단계 $\sqrt{80}\approx8.944$ , 4단계 $\eta=\frac{377}{8.944}\approx42.15\,[\Omega]\approx\text{약 }42.2\,[\Omega]$ 이다. $\mu_{r}=1$ , $\varepsilon_{r}=81$ 인 매질에서는 $\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}=\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{9}$ 이므로 $\eta=377\times\frac{1}{9}=41.9\,\Omega$ 이다. 두 경우 모두 비유전율이 커서 $\eta$ 가 진공값 377 Ω 보다 작아진다.

전계와 자계의 비가 $\eta$ 이므로 자계는 $H=\frac{E}{\eta}$ 로 구한다. 진공에서는 $H=\frac{E}{377}$ 이고, 전계 식이 $\sqrt{2}\,E_{e}\sin\omega\left(t-\frac{x}{c}\right)$ 꼴이면 $\sqrt{2}\,E_{e}$ 가 최대값이고 실효값은 $E_{e}$ 이다. 실효값끼리의 비가 $\eta_{0}$ 이므로 $H_{e}=\frac{E_{e}}{377}\approx2.65\times10^{-3}E_{e}\,\mathrm{A/m}$ 이다. 공기 중에서 전계가 $E=5\sin\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)\,\mu\mathrm{V/m}$ 이면 $H=\frac{5}{377}\sin\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)$ 이고 모양은 전계와 같으며, 크기는 약 $1.3\times10^{-2}\,\mu\mathrm{A/m}$ 이다. 비유전율 80, 비투자율 1 인 수중에서는 $\eta$ 가 약 $42.2\,\Omega$ 로 작아 같은 전계에도 자계가 커지며, 전계 최대값이 6 이면 $H_{m}=\frac{E_{m}}{\eta}=\frac{6}{42.2}\approx0.142\,\mathrm{AT/m}$ 이다.

전자파가 임피던스가 다른 두 매질의 경계에 수직으로 입사하면 일부가 반사된다. 입사 전계 $E_{i}$ , 반사 전계 $E_{r}$ 일 때 반사계수는 $\Gamma=E_{r}/E_{i}$ 이고 $\Gamma=\frac{n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}$ 이다. 무반사는 $\Gamma=0$ 이므로 분자가 0 이 되는 $n_{1}=n_{2}$ 가 조건이다. 두 임피던스가 같으면 반사 없이 모두 통과하고, 차이가 클수록 반사되는 몫이 커진다. $n_{2}=0$ 이면 $\Gamma=-1$ , $n_{1}=0$ 이면 $\Gamma=1$ 이 되어 전계가 모두 반사된다. $n_{1}n_{2}=0$ 은 둘 중 하나가 0 이라는 뜻이어서 이 경우와 같고 역시 모두 반사된다. 임피던스를 맞춰 반사를 없애는 일을 임피던스 정합이라 한다.

전자파가 매질 1 에서 매질 2 로 수직 입사할 때 투과 전계와 투과 자계는 $E_{2}=\frac{2\eta_{2}}{\eta_{1}+\eta_{2}}E_{1}$ , $H_{2}=\frac{2\eta_{1}}{\eta_{1}+\eta_{2}}H_{1}$ 이다. 첫째 매질의 파동임피던스가 더 클 때( $\sqrt{\frac{\mu_{1}}{\varepsilon_{1}}}>\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\varepsilon_{2}}}$ , 곧 $\eta_{1}>\eta_{2}$ )는 투과 쪽 $\eta$ 가 작으므로 반사파가 전계를 깎고 자계를 보태 $E_{2}$ 는 $E_{1}$ 보다 작고 $H_{2}$ 는 $H_{1}$ 보다 크다.

3 이 개념이 나온 기출문제

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4 체크리스트 + 암기팁

암기팁

\displaystyle \eta=377\times\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}

— 비유전율이 크면 임피던스는 작아진다.

\mu_{r}=1

이면

377\,\Omega\div\sqrt{\varepsilon_{r}}

암기팁 공기 중

\displaystyle H=\frac{E}{377}

— 전계를 377 로 나눈다. 임피던스가 같으면 통과, 다르면 반사 — 무반사는

n_{1}=n_{2}

함정 주의 수직 입사에서

\eta_{1}&gt;\eta_{2}

이면

E

는 작아지고

H

는 커진다. 무반사는 임피던스가 0 이 되는 경우가 아니라 두 임피던스가 같은 경우이다.

고유임피던스 숫자 문제: $\eta=\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}$ 에 넣고 $\varepsilon_{r}$ 이 큰 매질은 377 Ω 보다 작아야 한다. $\varepsilon_{r}=81$ 이면 $377\div9\approx41.9\,\Omega$ 이고 13.9(약 3분의 1 크기)·21.9·33.9 는 맞지 않는 값이다. $\varepsilon_{r}=80$ 이면 약 42.2 Ω 이고 38.2·46.2·50.2 는 정답과 다르다. 이 밖에 $\varepsilon_{r}=4$ , $\mu_{r}=1$ 인 콘크리트는 $\sqrt{4}=2$ 로 나눈 $\frac{377}{2}\approx188.5\,\Omega$ , $\mu_{r}=1$ , $\varepsilon_{r}=90$ 은 $377\times0.105\approx39.7\,\Omega$ 이다.
무반사 조건: 정답은 $n_{1}=n_{2}$ ( $\Gamma=0$ ). $n_{2}=0$ ( $\Gamma=-1$ ), $n_{1}=0$ ( $\Gamma=1$ ), $n_{1}n_{2}=0$ 은 모두 전계가 전부 반사되어 무반사 조건이 아니다.
전계와 자계의 비를 식으로 고르기: $\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=377\sqrt{\frac{\mu_{r}}{\varepsilon_{r}}}\,\Omega$ . $\mu_{r}$ 이 분자, $\varepsilon_{r}$ 이 분모에 있는 모양을 고른다.

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자계 구하기: 진공·공기 중에서 $H=\frac{E}{377}$ . 실효값을 묻는데 전계 식에 $\sqrt{2}$ 가 곱해져 있으면 $\sqrt{2}$ 는 실효값을 최대값으로 바꾸는 계수이므로 실효값끼리의 비에는 들어가지 않는다. 전계의 단위 $\mu\mathrm{V/m}$ 를 Ω 로 나누면 자계의 단위 $\mu\mathrm{A/m}$ 가 된다.
경계면 투과: 수직 입사에서 $\eta_{1}>\eta_{2}$ 이면 $E_{2}$ 는 작아지고 $H_{2}$ 는 커진다( $E_{2}$ 는 $E_{1}$ 보다 작고, $H_{2}$ 는 $H_{1}$ 보다 크다).
안테나 출력 $W$ 에서 거리 $r$ 인 진공 중 자계의 실효치: 구면의 전력밀도 $P=\frac{W}{4\pi r^{2}}\,[\mathrm{W/m^{2}}]$ , 전력밀도는 $P=E\cdot H$ 이고 진공에서 $\frac{E}{H}=377\,\Omega$ 이므로 $E=377H$ , $P=377H^{2}$ . 같게 놓으면 $377H^{2}=\frac{W}{4\pi r^{2}}$ , $H^{2}=\frac{W}{4\pi r^{2}\cdot377}=\frac{1}{4r^{2}}\cdot\frac{W}{377\pi}$ 에서 $H=\frac{1}{2r}\cdot\sqrt{\frac{W}{377\pi}}\,[\mathrm{A/m}]$ 이다. 발문이 실효치를 묻고 있으므로 이 식에서 나온 값을 그대로 쓴다.