맥스웰 방정식은 전기장과 자기장이 서로 어떻게 만들어지는지를 네 식으로 정리한 것이다. 미분 꼴로는 ∇×H=i+∂t∂D, ∇×E=−∂t∂B, ∇⋅D=ρ, ∇⋅B=0 이다. 이를 rot, div 로 쓰면 rotE=−∂t∂B, rotH=i+∂t∂D, divD=ρ, divB=0 이며 같은 식이다. 네 식은 각각 다른 법칙에서 나왔으므로 식마다 법칙 이름을 붙여 두면 보기를 가르기 쉽다.
패러데이 법칙∇×E=−∂t∂B 은 자속밀도 B 가 시간에 따라 변하면 그 둘레에 전계가 생겨 감돈다는 식이다(마이너스 부호는 변화를 방해하는 방향을 뜻한다). 앙페르-맥스웰 법칙∇×H=i+∂t∂D 은 전도전류 i 와 변위전류 ∂t∂D (전속밀도의 시간 변화가 만드는 전류와 같은 효과)가 자계를 감돌게 한다는 식이다. 곧 변하는 자기장은 전기장을 만들고, 앙페르-맥스웰 법칙의 식은 변하는 전기장이 자기장을 만든다는 뜻이며, 이 두 식이 서로를 만들어 내며 전자파가 퍼져 나간다.
가우스 법칙∇⋅D=ρ 는 전속이 전하에서 나온다는 식이어서, 단위 체적당 발산 전속 수가 공간전하밀도와 같다는 뜻이다. 네 번째 식은 자속의 연속성 ∇⋅B=0 으로, 자속에는 처음과 끝이 없고 단독 자극이 없다는 뜻이다. 전기장은 전하에서 시작해 전하에서 끝나지만 자속선은 닫힌 고리를 이루므로 어느 폐곡면에서도 들어간 만큼 나온다. 그래서 자속밀도의 발산은 0 이며, ∇⋅B=μH 나 divB=H 처럼 0 이 아닌 꼴로 쓴 식은 맥스웰 방정식이 아니다.
적분 꼴 네 식은 다음과 같다. 가우스 법칙 ∮sD⋅dS=∫vρdv, 자속의 연속성 ∮sB⋅dS=0, 패러데이 법칙 ∮cE⋅dl=−∫s∂t∂B⋅ds, 앙페르-맥스웰 법칙 ∮cH⋅dl=I+∫s∂t∂D⋅ds 이다. 자기장에는 N 극만 또는 S 극만 따로 있는 자하가 없어 자속선이 끊기지 않으므로, B 의 폐곡면 적분은 0 이다. 그래서 ∮sB⋅dS=ρs 는 틀린 식이고 맞는 식은 ∮sB⋅dS=0 이다.
손실이 없는 매질, 곧 도전율이 0 이어서 전기를 통하지 않는 완전 유전체에서 전계와 자계는 파동방정식∇2E=εμ∂t2∂2E, ∇2H=εμ∂t2∂2H 을 따른다(ε 는 유전율, μ 는 투자율). 시간 미분이 두 번(∂t2∂2) 들어가면 파동이 퍼져 나가는 식이고, 계수 εμ 는 전파속도 v=εμ1 와 연결된다. 전계 식과 자계 식은 같은 모양이어야 하므로 두 계수가 모두 εμ 이다. 시간 미분이 한 번뿐인 식은 도체 속 전류가 퍼져 사라지는 확산식의 모양이어서 완전 유전체에는 맞지 않는다.
식을 읽는 법: ∇× 는 rot(curl)로 벡터가 한 점 둘레를 감도는 정도(회전)이고, ∇⋅ 는 div 로 벡터가 한 점에서 퍼져 나가는 정도(발산)이다. 문항에 따라 전류밀도를 i 또는 J, 공간전하밀도를 ρ 또는 ρv 로 쓰며 같은 양이다(이 장에서는 i, ρ 로 쓴다). 앙페르-맥스웰 법칙의 이름도 문항에 따라 암페어 법칙으로 쓴다. 라플라시안 ∇2 는 값이 공간에서 얼마나 구부러져 있는지를 나타내는 연산으로, 위치에 대한 두 번 미분의 합이다.
맥스웰 넷: rotE=−∂t∂B · rotH=i+∂t∂D · divD=ρ · divB=0. 전속은 전하에서, 자속은 끊기지 않고, 앙페르-맥스웰은 H 의 회전, 패러데이는 E 의 회전.
완전 유전체 파동방정식: ∇2E=εμ∂t2∂2E — 시간 미분 두 번, 계수 εμ.
자속은 끊기지 않는다 — ∮B⋅dS=0, divB=0. B 의 발산이 μH 나 H 와 같다고 쓴 보기, B 의 폐곡면 적분이 전하밀도와 같다고 쓴 보기가 틀린 식이다.
맥스웰 네 식(미분 꼴): rotE=−∂t∂B · rotH=i+∂t∂D · divD=ρ · divB=0. 앙페르 법칙에는 전도전류 i 와 변위전류 ∂t∂D 가 함께 들어가고, 전류와 전하가 들어갈 자리가 비어 있는 보기는 맥스웰 방정식이 아니다.
「기본방정식이 아닌 것·틀린 것」 고르기: 네 식에 이름을 붙여 본다. ∇×H=i+∂t∂D 앙페르-맥스웰, ∇×E=−∂t∂B 패러데이, ∇⋅D=ρ 가우스는 맞고, ∇⋅B=μH 는 기본방정식이 아니다(자속밀도의 발산은 ∇⋅B=0). 적분 꼴에서는 가우스 ∮sD⋅dS=∫vρdv, 패러데이, 앙페르-맥스웰 식이 맞고 ∮sB⋅dS=ρs 가 틀린 식이다.
의미 설명 중 틀린 것 고르기: 「자계는 발산하며, 자극은 단독으로 존재한다」가 틀리다 — divB=0 이므로 자계는 발산하지 않고 자극은 단독으로 존재하지 않는다. 「전계의 회전은 자속밀도의 시간적 감소율과 같다」(rotE=−∂t∂B)와 「단위 체적당 발산 전속 수는 단위 체적당 공간전하밀도와 같다」(divD=ρ)는 맞는 설명이다.
패러데이 법칙에서 유도된 식을 고르기: ∇×E=−∂t∂B. 나머지는 divD=ρ(가우스), divB=0(자속의 연속성), ∇×H=i+∂t∂D(앙페르-맥스웰 법칙)이다.
완전 유전체의 파동방정식 고르기: 시간 미분이 두 번이고 E 식과 H 식의 계수가 모두 εμ 인 쌍이 정답이다. 시간 미분이 한 번뿐이면 파동방정식이 아니고, 둘째 식의 계수가 εμ 가 아닌 kμ 로 되어 있으면 E 식과 H 식의 모양이 달라 틀리다.
적분 꼴 식 읽기: ∮s 는 폐곡면 적분이다(가우스·자속의 연속성 식). B 의 폐곡면 적분은 0 이며 전하밀도와 같다고 쓴 식은 틀리다.
전자기 현상을 네 개의 식으로 정리한 것. 패러데이 법칙의 미분 꼴은 ∇×E=−∂B/∂t 이다.
미분형 네 식은 rotE=−∂t∂B, rotH=i+∂t∂D, divD=ρ, divB=0 이다.