유효·무효·피상전력과 역률

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 21번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2010년 3차 · 2011년 3차 · 2012년 1차 · 2012년 2차 · 2013년 1차 · 2013년 2차 · 2013년 3차 · 2014년 1차 · 2014년 2차 · 2014년 3차 · 2015년 1차 · 2016년 1차 · 2017년 2차 · 2018년 2차 · 2020년 1차 · 2020년 2차 · 2021년 1차 · 2021년 2차 · 2021년 3차 · 2022년 2차

2 쉬운 설명

유효전력 $P$ 는 부하에서 실제로 일(열·빛·회전 등)을 하는 전력(단위 W), 무효전력 $Q$ 는 일은 하지 않고 전원과 부하 사이를 오가기만 하는 전력(단위 var), 피상전력 $S$ 는 전압과 전류의 실효값을 그대로 곱한 겉보기 전력(단위 VA)이다. 역률은 피상전력 중 유효전력이 차지하는 비율로 $\cos\theta=P/S$ 이며, $\theta$ 는 전압과 전류의 위상차각이다.

5문단 · 상세한 내용보기접어서 간단히 보기

세 전력은 직각삼각형을 이루어 피상전력이 빗변이고 $S^{2}=P^{2}+Q^{2}$ 이다. 위상차각을 $\theta$ 로 쓰고(문항에 따라 $\varphi$ 로도 쓰는데 같은 각이다) $P=S\cos\theta$ , $Q=S\sin\theta$ 로 쓴다. $\cos\theta$ 가 역률이고 $\sin\theta$ 는 무효율이다. $(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}=1$ 이므로 역률이 0.8 이면 $\sin\theta=\sqrt{1-0.8^{2}}=0.6$ 이다. 단상 문항의 전압 실효값은 $E$ 또는 $V$ , 전류 실효값은 $I$ 로 쓰고, 3상 문항의 $V$ 는 선간전압이다.

단상에서 피상전력은 전압과 전류 실효값의 곱이고 무효전력은 $Q=EI\sin\varphi$ 이다. 값이 최댓값으로 주어지면 먼저 $\sqrt{2}$ 로 나누어 실효값으로 바꾼다. 전압 최댓값이 50 V, 전류 최댓값이 4 A 이고 두 식의 위상 차이가 $30^{\circ}$ 인 문항에서는 $S=EI=\frac{50}{\sqrt{2}}\times\frac{4}{\sqrt{2}}=100\,\mathrm{VA}$ 이다. 무효전력은 여기에 $\sin 30^{\circ}=0.5$ 를 곱한 50 var 이다.

평형 3상에서는 선간전압 $V$ 와 선전류 $I$ 로 $S=\sqrt{3}\,VI$ 이므로 무효전력은 $Q=\sqrt{3}\,VI\sin\theta$ 이다. 선간전압 $V=200\,\mathrm{V}$ , 선전류 $I=10\sqrt{3}\,\mathrm{A}$ , 역률 80 % 인 문항에서는 $S=\sqrt{3}\,VI=\sqrt{3}\times 200\times 10\sqrt{3}=6000\,\mathrm{VA}$ 이다. 역률이 0.8 이므로 $\sin\theta=0.6$ 이고, 무효전력은 6000 VA 에 0.6 을 곱한 3600 var 이다.

3상 선로의 손실은 전선 세 가닥 각각의 $I^{2}R$ 을 더한 $3I^{2}R$ 이다. 선로저항이 0.5 Ω, 손실이 50 W 이면 $3\times I^{2}\times0.5=50$ 에서 선전류가 약 5.77 A 이고, 이 전류가 부하로 들어간다. 대칭 3상 부하의 소비전력이 1,800 W, 역률이 0.8(지상)이면 3상 소비전력식 $P=\sqrt{3}\cdot V\cdot I\cdot\cos\theta$ 에서 부하의 단자전압은 $V=\frac{1{,}800}{\sqrt{3}\times5.77\times0.8}=225\,[\mathrm{V}]$ 이다.

복소전력은 전압에 전류의 켤레복소수를 곱한 값으로, 실수부가 유효전력 $P$ , 허수부가 무효전력 $Q$ 이고 $\dot S=P+jQ$ 의 크기가 피상전력이다. 전류의 켤레복소수는 허수부의 부호만 바꾼 값이며 문항에 따라 $I^{*}$ 또는 $\bar{I}$ 로 쓴다. 전압 $100+j20$ , 전류 $8+j6$ 이면 전류의 켤레복소수 $8-j6$ 을 곱한 값의 실수부 920 이 소비전력(W)이다. 복소전력이 $P+jQ$ 로 주어지고 크기를 물으면 유효전력과 무효전력이 직각이므로 $S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}$ 이다.

3 이 개념이 나온 기출문제

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4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 무효전력

Q=EI\sin\varphi

— 최댓값이 주어지면 먼저

\sqrt{2}

로 나눠 실효값으로 바꾼다.

암기팁 3상 무효전력

Q=\sqrt{3}\,VI\sin\theta

, 역률 0.8 이면

\sin\theta=0.6

함정 주의 역률을 100 % 로 개선하는 문항에서 전동기의 3 HP 는 출력이다. 무효전력은 전동기가 전원에서 받는 입력(출력을 효율 90 % 로 나눈 값)을 기준으로 하며, 이 문항은 1 HP 를 746 W 로 환산한다. 역률을 100 % 로 개선할 때 필요한 병렬 콘덴서 용량은 지금 전동기가 갖고 있는 무효전력(

Q=P\times\tan\varphi

)과 같다.

무효전력은 $\text{무효전력}=\text{피상전력}\times\sin\theta$ 이고 $\sin\theta=\sqrt{1-\text{역률}^{2}}$ 로 구한다. 피상전력이 22 kVA, 역률이 0.8 이면 무효율 0.6 을 곱해 13200 var 이다. 유효전력 80 W, 무효전력 60 var 이면 $S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}=\sqrt{80^{2}+60^{2}}=100\,\mathrm{VA}$ 이고 $\cos\theta=\frac{P}{S}=\frac{80}{100}=0.8$ , 곧 80 % 이다.
최댓값이나 순시식 앞의 수가 주어지면 $\sqrt{2}$ 로 나눠 실효값을 얻는다. 위상차 $30^{\circ}$ 인 무효전력 문항의 정답은 실효값의 곱 100 VA 에 $\sin 30^{\circ}=0.5$ 를 곱한 50 var 이다. 보기의 100 은 정답의 2배이고, 86.6 과 70.7 도 50 과 다르다.
3상 무효전력은 $Q=\sqrt{3}\,VI\sin\theta$ 이다. 앞의 3상 문항에서 보기의 3000, 2400, 1800 var 은 계산한 3600 var 이 아니다. 무효전력과 역률이 주어지고 선전류를 구할 때는 $I=\frac{Q}{\sqrt{3}V\sin\theta}$ 이며, 역률이 0.6 이면 $\sin\theta=\sqrt{1-0.6^{2}}=0.8$ 이다.

체크리스트 더 보기 3개 더체크리스트 접기

선로 손실이 주어진 3상 문제는 손실 $3I^{2}R$ 로 선전류를 먼저 구하고, 그다음 전력식 $P=\sqrt{3}\cdot V\cdot I\cdot\cos\theta$ 로 전압을 구하는 두 단계이다. 손실은 세 가닥을 모두 더한다. 보기의 627 V, 525 V, 326 V 는 이 방법으로 구한 225 V 와 다르다.
복소수 전압·전류의 소비전력은 $P=\mathrm{Re}\left[E\bar{I}\right]$ 이며, 전류에 켤레를 쓰지 않고 그대로 곱하면 소비전력이 아닌 값이 나온다. $E=100+j50$ , $I=3+j4$ 이면 실수부끼리의 곱과 허수부끼리의 곱을 더한 $100\times3+50\times4=500\,\mathrm{W}$ 와 같다. 병렬 부하에서는 전체 전류가 각 갈래 전류의 합이고, 켤레를 취하므로, 전압의 각도가 0 인 문항에서 전체 전류의 허수부가 양수이면 복소전력의 허수부는 음수로 나온다.
직렬회로의 역률은 $\cos\theta=\frac{R}{|Z|}$ 이다. 코일 $X_{L}$ 과 콘덴서 $X_{C}$ 의 리액턴스는 서로 빼 준다. $R=9\,\Omega$ , $X_{L}=15\,\Omega$ , $X_{C}=3\,\Omega$ 이면 $|Z|=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15\,\Omega$ 이어서 역률은 0.6 이고, 전류 20 A 는 역률에 영향이 없다. 저항 $R$ 과 리액턴스 $X$ 가 병렬이면 $\cos\theta=\frac{X}{\sqrt{R^{2}+X^{2}}}$ 이고 직렬이면 $\frac{R}{\sqrt{R^{2}+X^{2}}}$ 이다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2011년 3차 회로이론 및 제어공학 76번 — 최댓값으로 준 전압·전류의 무효전력어떤 회로에서 전압과 전류가 각각 e=50sin(ωt+θ), i=4sin(ωt+θ-30°) 일 때 무효전력 [Var]은 얼마인가?계산해설 보기 →2016년 1차 회로이론 및 제어공학 80번 — 평형 3상 회로의 무효전력선간전압이 200[V], 선전류가 10√3[A], 부하역률이 80[%]인 평형 3상 회로의 무효전력[Var]은?계산해설 보기 →2021년 1차 회로이론 및 제어공학 80번 — 선로 손실로 부하 단자전압 구하기△결선된 대칭 3상 부하가 0.5[Ω]인 저항만의 선로를 통해 평형 3상 전압원에 연결되어 있다. 이 부하의 소비전력이 1,800[W]이고 역률이 0.8(지상)일 때, 선로에서 발생하는 손실이 50[W]이면 부하의 단자전압[V]의 크기는?계산해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 19개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

3상 전력

3상 평형 부하의 소비전력은

P=\sqrt{3}VI\cos\theta

이고 선로 손실은

3I^{2}R

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 3문항이 인용

2전력계법

평형 3상 회로에서 두 전력계의 지시값이

P_{1}

P_{2}

일 때 유효전력은

P_{1}+P_{2}

이고 역률은

\frac{P_{1}+P_{2}}{2\sqrt{P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-P_{1}P_{2}}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 2문항이 인용

교류 전력

전압·전류의 실효값을

E

I

, 위상차를

\varphi

라 하면 유효전력은

P=EI\cos\varphi

, 무효전력은

Q=EI\sin\varphi

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 2문항이 인용

복소전력

유효전력은

P=\mathrm{Re}[E\bar{I}]

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 2문항이 인용

3상 교류 전력

평형 3상에서

S=\sqrt{3}\,VI

P=S\cos\theta

Q=S\sin\theta

이고

S^{2}=P^{2}+Q^{2}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

3상 무효전력

평형 3상 부하의 무효전력은

Q=\sqrt{3}VI\sin\theta

이고

\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

3상 전력의 직각삼각형 관계

피상전력 S, 유효전력 P, 무효전력 Q는 S²=P²+Q²의 관계를 가지며 역률은 P/S=√(1−(Q/S)²)로 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

교류 병렬회로의 역률

병렬 R-X 회로의 역률은 저항 전류를 전체 전류로 나눈 값이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

교류 소비전력

정현파 전압·전류의 평균 소비전력은

P=VI\cos\theta

이며

V

I

는 실효값이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

교류 전력의 피타고라스 관계

피상전력·유효전력·무효전력은 (피상)²=(유효)²+(무효)² 관계를 가지며, 역률과 무효율도 같은 관계를 만족한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

복소수 전압·전류의 역률

유효전력

P=\mathrm{Re}(E\bar{I})

, 피상전력

S=|E||I|

, 역률

\cos\theta=\frac{P}{S}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

복소전력과 KCL(전류법칙)

병렬 부하에서 전체 전류는 각 부하 전류의 합이고, 복소전력은 전압과 전체 전류의 켤레복소수를 곱해 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

복소전력과 공액복소수

교류 회로의 유효전력은 전압 페이저와 전류 페이저의 공액을 곱한 복소전력의 실수부로 구한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

복소전력과 피상전력

복소전력

\dot S=P+jQ

의 크기는 피상전력

S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

역률개선의 원리

부하가 갖는 무효전력만큼 콘덴서로 상쇄하면 역률이 1(100%)에 가까워진다. 필요한 콘덴서 용량은 부하의 무효전력 Q=P·tanφ와 같다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

임피던스 삼각형과 전력

역률

\cos\theta=\frac{R}{|Z|}

, 무효율

\sin\theta=\frac{X}{|Z|}

, 3상 무효전력

Q=3I^{2}X

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

전력 삼각형

유효전력·무효전력·피상전력은 직각삼각형을 이루며 역률은

\frac{P}{S}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

전력삼각형

피상전력

S

는 유효전력

P

와 무효전력

Q

의 피타고라스 합

S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}

이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

직렬 RLC 회로의 역률

역률은 저항을 임피던스 크기로 나눈 값이며 임피던스는 저항과 합성 리액턴스의 직각삼각형 빗변이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 25문항 중 1문항이 인용

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