제어계의 안정 조건과 판별법

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1 출제 포인트 — 이렇게 나옵니다

38회 시험 중에서 10번 나왔습니다

2010~2022년 기출 38회 시험 기준

출제 회차 2010년 1차 · 2012년 2차 · 2013년 1차 · 2013년 2차 · 2014년 2차 · 2015년 3차 · 2017년 2차 · 2018년 1차 · 2018년 3차 · 2020년 2차

2 쉬운 설명

제어계가 안정하다는 것은 크기가 유한한 입력을 주었을 때 출력도 유한하게 머문다는 뜻이다. 입력이 없을 때는 초기값에 관계없이 출력이 0 으로 돌아가야 하고, 출력이 시간이 갈수록 한없이 커지는 계는 불안정하다. 안정한 제어계에 임펄스(아주 짧은 순간의 충격 입력)를 가하면 정상상태 출력은 0 이다.

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특성방정식의 근을 $s$ 평면에 놓고 위치로 안정도를 가릴 수 있다. 근이 모두 좌반면(실수부가 음인 영역)에 있으면 응답이 시간이 지나며 0 으로 줄어드는 안정이고, 근이 모두 허수축 위에 있으면 응답이 줄지도 늘지도 않고 일정한 크기로 진동하는 임계 안정(문항에 따라 준안정·한계안정·임계상태라고도 쓴다)이며, 우반면(문항에 따라 우반평면이라고도 쓴다)에 하나라도 있으면 불안정이다. 조건부 안정은 이득 값에 따라 안정과 불안정이 갈리는 계를 말하므로, 모든 근이 좌반면에 있다는 한 가지 조건이 주어지면 안정이다.

전달함수로 판정할 때는 극점(분모를 0 으로 만드는 $s$ 값)의 실수부 부호만 본다. 실수부가 모두 음수이면 안정이고, 양수인 극점이 하나라도 있으면 불안정이며, 분자의 $s$ 는 영점이라서 안정도와 관계가 없다. 2012-05-20 시행 70번 해설은 $G(s)=\frac{s}{(s+2)(s^{2}+2s+2)}$ 에서 $s+2=0$ 의 근 $-2$ 와, $s^{2}+2s+2=0$ 에서 $s=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=-1\pm j$ 를 구해 세 극점의 실수부가 모두 음수이므로 안정이라고 푼다.

샘플러가 들어간 샘플치 제어계는 $z=e^{sT}$ ( $T$ : 샘플 주기)로 옮겨 쓰며, 안정 여부는 특성방정식 $1+GH(z)=0$ 의 근이 $z$ 평면 어디에 있는가로 가린다. $s$ 평면의 왼쪽 절반이 $z$ 평면에서는 단위원의 안쪽이 되므로, 근이 단위원 안( $|z|<1$ )이면 안정, 단위원 위( $|z|=1$ )이면 안정 한계, 단위원 밖( $|z|>1$ )이면 샘플 값이 점점 커지는 불안정이다. 좌반면·우반면은 $s$ 평면에서 쓰는 표현이라 $z$ 평면에 그대로 적용하지 않는다.

안정도 판별법은 보는 대상이 다르다. 근궤적법은 이득 $K$ 같은 파라미터가 변할 때 특성방정식의 근이 $s$ 평면에서 움직이는 경로를 그려 살핀다. 라우스-후르비츠 판별법은 특성방정식의 계수로 표를 만들어 계산만으로 판정하며 근의 움직임은 그리지 않는다. 보드 선도법과 나이퀴스트 판별법은 주파수에 따른 응답을 살핀다. 적용 조건도 달라서, 보드 선도에 의한 판별은 우반면에 극점이나 영점이 없는 계에서만 쓸 수 있고 나이퀴스트 판별법은 우반면 극점 수를 알면 판정할 수 있다.

보드 선도에서는 이득여유 $g_{m}$ (위상이 -180° 인 주파수에서 이득이 0 dB 보다 얼마나 낮은지)와 위상여유 $\phi_{m}$ (이득이 0 dB 인 주파수에서 위상이 -180° 보다 얼마나 위인지)를 곡선에서 읽는다. 둘 다 0 보다 크면 안정이고 하나라도 음이면 불안정이다. 감쇠와의 관계로는, 감쇠계수가 크면 위상여유가 커서 안정도는 좋아지지만 응답이 느려 응답성은 나빠진다고 2013-03-10 시행 70번 해설이 설명한다.

3 이 개념이 나온 기출문제

해설·법령 근거까지 가입 없이 보실 수 있습니다. 최신 5개년 문항은 여기 나오지 않습니다.

4 체크리스트 + 암기팁

암기팁 연속계:

s

평면 좌반면이 안정 · 샘플치계:

z

평면 단위원 안이 안정.

암기팁 유한 입력

\to

유한 출력 = 안정. 입력이 없으면 출력은 0 으로 돌아가야 한다.

함정 주의 좌반면·우반면은

s

평면의 표현이다. 샘플치 제어계의

z

평면에서는 단위원의 안팎으로 가른다. 또 근이 허수축 위에 있으면 불안정이 아니라 안정과 불안정의 경계(임계 안정)이다.

안정의 정의는 유한한 입력에 유한한 출력이다. 입력이 없을 때 초기값에 관계없이 출력이 0 으로 돌아가는 것은 안정이지만, 입력이 있는 경우에 출력이 0 으로 간다는 말은 맞지 않다. 입력이 없는데 출력이 무한대로 가거나 유한한 입력에 무한한 출력이 나오면 불안정이다.
$s$ 평면: 모든 근이 좌반면이면 안정, 근이 모두 허수축( $j\omega$ 축) 위에 있으면 임계 안정, 우반면에 하나라도 있으면 불안정이다. 보기에 준안정과 조건부 안정이 섞이면, 준안정(임계 안정)은 근이 허수축 위에 있는 경우이고 조건부 안정은 이득 값에 따라 안정과 불안정이 갈리는 계이다.
샘플치 제어계는 $1+GH(z)=0$ 의 근이 $|z|=1$ 인 단위원 안에 있어야 안정이다. $z$ 평면에서는 좌우가 아니라 단위원의 안팎으로 안정을 가르므로, 좌반면·우반면을 안정 구역으로 쓴 보기는 오답이고, 단위원 밖의 근은 $|z|>1$ 이어서 샘플 값이 점점 커지는 불안정한 근이다.

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극점으로 판정할 때는 분모를 0 으로 놓아 근을 구하고 실수부의 부호를 본다. 분자의 $s$ 는 극점이 아니라 영점이어서 판정에 쓰지 않는다.
판별법 짝짓기: 파라미터가 변할 때 근의 움직임으로 판별하는 방법은 근궤적법이고, 극점·영점이 우반면에 있으면 판정할 수 없는 방법은 보드 선도이다. 라우스-후르비츠는 특성방정식의 계수만 보고, 나이퀴스트는 우반면 극점 수를 알면 판정한다.
보드 선도 안정 조건은 이득여유와 위상여유가 모두 0 보다 큰 것이다. 감쇠계수가 크면 안정도는 좋아지고 응답성은 나빠지며, 감쇠계수가 작으면 응답은 빠르지만 출렁임이 커서 안정도가 나빠진다.

5 예제 — 이 개념, 실제로 이렇게 나왔습니다

2013년 1차 회로이론 및 제어공학 61번 — 샘플치계가 안정한 근의 위치Z 변환법을 사용한 샘플치 제어계가 안정되려면 1 + GH(Z) = 0 의 근의 위치는?옳은 것 고르기해설 보기 →2017년 2차 회로이론 및 제어공학 68번 — 근이 모두 좌반면일 때 상태특성 방정식의 모든 근이 s 복소평면의 좌반면에 있으면 이 계는 어떠한가?옳은 것 고르기해설 보기 →2018년 3차 회로이론 및 제어공학 65번 — 제어시스템 안정의 조건일반적인 제어시스템에서 안정의 조건은?옳은 것 고르기해설 보기 →

6 이론 근거 — 정의가 곧 정답입니다항목 11개 · 눌러서 펼치기눌러서 닫기

감쇠와 안정도·응답성

감쇠계수가 크면 위상여유가 커져 안정도는 좋아지고, 응답은 느려져 응답성은 나빠진다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

극점 위치에 의한 안정 판별

모든 극점의 실수부가 음수이면 계는 안정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

극점과 안정도

전달함수의 모든 극점이 복소평면의 왼쪽 반평면에 있으면 제어계는 안정이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

근궤적법(Root Locus)

파라미터 변화에 따른 특성방정식 근의 이동 경로를 s평면에 그려 안정도를 판별하는 방법이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

보드선도의 안정 판별

이득여유와 위상여유가 모두 양수이면 폐루프계는 안정이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

샘플치 제어계의 안정 조건

샘플치 제어계의 특성방정식

1+GH(z)=0

의 근이 모두

z

평면의 단위원 안(

|z|<1

)에 있으면 안정하다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

안정도 판별법의 적용 조건

보드 선도에 의한 판별은 우반평면에 극점과 영점이 없는 계를 전제로 한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

안정한 제어계의 임펄스 응답

안정한 제어계의 임펄스 응답은 시간이 지나면 0 으로 수렴한다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

제어계의 안정 조건

유한한 입력에 대해 출력이 유한하면 안정이며, 입력이 없을 때는 초기값에 관계없이 출력이 0 으로 돌아간다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

특성 방정식 근의 위치와 안정도

모든 근이 s 평면의 좌반면에 있으면 안정, 허수축 위는 임계 안정, 우반면에 있으면 불안정이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

특성방정식 근의 위치와 안정도

근이 모두 왼쪽 반평면이면 안정, 오른쪽 반평면에 있으면 불안정, 허수축 위에 있으면 임계안정이다.

출처: 기출 해설의 이론 근거 · 이 개념 기출 11문항 중 1문항이 인용

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